大学线性代数练习试题

1、第一局部选择题共28分、单项选择题本大题共 14小题,每题2分,共28分在每题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分.1.设行列式aiia12a22a13a23a11=n,那么行列式a11a12a13a23A. m+nC. n- m12.设矩阵A= 000 02 0,那么A-1等于0 3B. - (m+n)D. m - nA.13000 01 020 1B.1 00 -20 000133C. 0 1 010 02D.1200013033.设矩阵A= 121 , A*是A的伴随矩阵,那么A *中位于1, 2的元素是B. 6D. -2AB=AC,贝

2、"必有()B. B C 时 A=0D. |A| 0 时 B=CAt)等于()B. 2D. 46.设两个向量组a 1,A. 有不全为0的数入B. 有不全为0的数入C. 有不全为0的数入D. 有不全为0的数入B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0Y 1 , Y 2是其任意2个解,那么以下结论 错误的选项是B. 门1 + 门2是Ax=b的一个解 22D.2 Y 1-门2是Ax=b的一个解A. -6C. 24. 设A是方阵,如有矩阵关系式A. A =0C. A 0 时 B=C5. 3X4矩阵A的行向量组线性无关,那么秩A. 1C. 3a 2,a s和6 1, 3 2,3 s均线

3、性相关,那么()1,入2,入s使入1a 1+入2a 2+ +入s a s=0和入1.1+入2.2+入s 3 s=01,入 2,入s 使入 1 (a 1+ 31)+ 入 2 (a 2+3 2)+ + 入 s(a s+.s)=01,入 2,入s 使入 1 (a 1- 31)+ 入 2 (a 2-3 2)+ + 入 s (a s-.s)=01,入2,入s和不全为0的数1,2,s使入1a 1+入2a 2+ - +入s a s=0 和1 3 1+2 3 2+ p s 3 s=07. 设矩阵A的秩为r,那么A中A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组

4、,A.门1+ Y 2是Ax=0的一个解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一个解9. 设n阶方阵A不可逆,那么必有A,秩(A)<nC.A=0B. 秩(A)=n- 1D.方程组Ax=0只有零解10. 设A是一个n(>3)阶方阵,以下陈述中正确的选项是()A. 如存在数入和向量 a使A a =入a,那么a是A的属于特征值入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a ,使(入E- A) a =0,贝U入是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值,a 1, a 2, a 3依次是 A的属于入1,入2,入3的特征向量,贝U a

5、 1, a 2, a 3有可能线性相关11. 设入0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k,贝U必A. k < 3B. k<3C. k=3D. k>312. 设A是正交矩阵,那么以下结论错误的选项是()A.|A|2必为 1B.|A 四、为 1C.A- 1=ATD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13. 设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC4U ()A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14. 以下矩阵中是正定矩阵的为()B.C. 00D.72分)二、填空题(本大题共10小题,每题2分,共20分)

6、不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分.1 1115. 3 5 6_.9 25 36、n 111123m16. 设 A=, B=.那么 A+2B=_1 1112 417. 设 A=(aij)3 * 3 , |A|=2 , Aij 表示 |A| 中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,3 ),那么 (a11A 21+a12A 22+a13A23)2+(a21A21 +a22A22+a23A 23)2+(a31A 21+a32A22+a33A23)2=.18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关,贝U a=.19. 设A是3X 4矩阵,其秩为

7、3,假设门1, Y 2为非齐次线性方程组 Ax=b的2个不同的解,那么它 的通解为.20. 设A是m x n矩阵,A的秩为r(<n),那么齐次线性方程组 Ax=0的一个根底解系中含有解的个 数为.21. 设向量a、3的长度依次为2和3,那么向量a +.与a - 3的内积(也+ 6 ,也-6 )=.22. 设3阶矩阵A的行列式|A|=8,A有2个特征值-1和4,那么另一特征值为 一01023.设矩阵A= 132 103 ,a =1是它的一个特征向量,贝U a所对应的特征值为8224.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,那么其标准形为三、计算题(本大题共7小

8、题,每题6分,共42分)12025.设 A= 340121326.试计算行列式5214227.设矩阵A =11122 31B= 2 4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵 331. 试用配方法化以下二次型为标准形222f(X1,X2,X3)= X1 2X2 3X3 4xX2 4xX3 4X2X3,并写出所用的满秩线性变换.四、证实题(本大题共2小题,每题5分,共10分)32. 设方阵A满足A3=0,试证实E- A可逆,且(E- A) -1=E+A+A2.33. 设门0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解,E 1, E 2是其导出组 Ax=0的一个根底解系 试证实(1) Y 1=

9、门 0+ E 1, Y 2= Y 0+ E 2 均是 Ax=b 的解；(2 ) Y 0, Y 1 , Y 2 线性无关.'.求(1) ABt； (2) |4A|.2 4 011 2134.01153330,求矩阵B使其满足矩阵方程 AB=A+2B.30.设矩阵A= 22D,使 T-1AT=D.32113300128.给正向重组a 1= 0 , a 2=33 =414=.9试判断a 4是否为a 1, a 2, a 3的线性组合；1 210 2',2 426629.设矩阵A=.2 10233 333 4求：(1)秩(A);(2) A的列向量组的一个最大线性无关组.假设是,那么求出组

10、合系数.答案:一、单项选择题本大题共14小题,每题2分,共28分1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题本大题共 10空,每空2分,共20分15. 616.17. 418. -1019. Y 1+C门 2-门 1或 Y 2+C Y 2-门 1 , c 为任意常数20. n- r21. -522. t223. 1222224. Z1Z2 Z3 Z4三、计算题本大题共7小题,每题6分,共42分1 20 2225.解1 ABT= 3 40341211086=1810 .3102 |4A|=43|A|=64|A|,而1 2|A|= 3 4

11、1 2112050311226.解513420111533511=11115505511111131001055302651000所以 |4A|=64 ( - 2) =- 12827.解 AB =A+2B 即(A- 2E)B=A,而22 31143(A-2E) -1 =:11 015312 11641434 23所以B=(A- 2E)-1A,=1531 101641 23386=296 .21292130053213 01130128.解一0224011234190131121 03510 350 11201 120 08800 110 0141400 006530 10 40.50 0 2所

12、以a 4=2 a 1+ a 2+ a 3,组合系数为(2, 1, 1)解二考虑 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2 3x3 0即 X1 3X212x2 2x3 43x1 4x2 x3 9.方程组有唯一解(2, 1, 1) T,组合系数为(2, 1, 1)29.解对矩阵A施行初等行变换1020100622A0013922618302221210 2032830 32 830006=B20 00 310002170 00 0 0(1)秩(B)=5/545/152/331.解 f(x1 , x2, x3)= (x1+2x2- 2x3)2- 2x22+4x2x3- 7x32

13、 =(x+2x2- 2x3)2- 2 ( x2-x3) 2- 5x32.,所以秩(A)=秩(B) =3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而 B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故 A的第1、2、4列是A的列向量组的一 个最大线性无关组.(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)30.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为E 1= (2, - 1, 0) T,E 2= (2, 0, 1) T.2.5/52.5/15经正交标准化,得 Y 1= v'5/5 , ri 2= 4衣/15 .05/3入=-8的一个特征向量为11/3

14、E 3= 2 ,经单位化得门3= 2/3 .22/32、. 5/52.15/151/3所求正交矩阵为T =.5/54.5/152/305/32/3100对角矩阵D= 010 .008yi xi2x22x3xi yi2y2设y2x2x3,即x2y2 y3,y3x3x3y3i2 0因其系数矩阵C=0ii可逆,故此线性变换满秩.00i经此变换即得f(xix2,x3的标准形yi2- 2y22- 5y32 .四、证实题(本大题共2小题,每题5分,共10分)32. 证由于(E-A ) (E+A+A2) =E-A3=E,所以E-A可逆,且(E- A ) -1= E+A+A2 .33. 证由假设 A 门 0=b, A E i=0, A E 2=0.(1) A r i=A ( y 0+E i) =A r 0+A E i = b,同理 A 门 2= b, 所以门i,