三角函数应用题练习及答案

1、学习必备欢迎下载第一阶梯例 1如图，AD/ BCACLBC 若 AD=3 DC=5 且/ B=30,求 AB 的长。解：/ DAC=90 由勾股定理，有CD=AD+AC/ AD=3 DC=5 AC=4/ B=30 AB=2AC求 tg / BAD探索：已知 tg / DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求/ BAD 的正切值需要满足怎样的条件？ 点拨：由于已知中的 tg / DAC 不在直角三角形中， 所以需要转化到直角三角形中，即可地 D 点作 AC 的垂线。又要求/ BAD 的正切值应已知 Rt BAD 的三边长，或两条直角边 AB BD 的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，

2、所以要充分利用已知中的tg / DAC 的条件。由于 AD=DC 即/ C=ZDAC 这时也可把正切值直接移到 Rt ABC 中。解答：过 D 点作 DELAC 于 E,“ 1- tg DAC =-tg DAC=匹且AE设 DE=k,则 AE=4k/ AD=DC,/DACMC, AE=EC AC=8kAB 1BC 4设 AB=m BC=4m 由勾股定理，有2 2 2AB+BC=AC8-171732 1717由勾股定理，有CD=DE?+EC-CD二17k三角函数的应用题 AB=8例 2如图， ABC 中，/ B=90, D 是 BC 上一点，且 AD=DC 若 tg / DAC=4,学习必备欢迎

3、下载何利用两个仰角及 CD 长，由于塔身与地面垂直，且 C D、B 三点共线这时可以构成一个直 角三角形，且有/ ACB=30，/ ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有/ ACB=30，/ ADB=45又 AB 丄 CB 于 B。/ DAB=45 DB=AB设 AB=xBDH17由正切定理，有tg. BAD二DBAB-8例 3如图，四边形 ABCD 中，/ D=90 , AD=3, DC=4 AB=13, BC=12 求 sinB。 探索：已知条件提供的图形是什么形？其中/ D=90 , AD=3 DC=4图形中。点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有

4、/ D=90 , AD=3 DC=4所以可证厶 ABC 是 Rt，因此可求 sinB。解：连结 AC/ D=90可提供什么知识？求 sinB 应放在什么这样可求 AC=5 又因有 AB=13 BC=12由勾股定理，有AC=CD+CD/ AD=3 CD=4 AC=5/ AB=13, BC=122 2 2 13=12+5/ ACB=90由正弦定义，有ACsin B二AB5.sin B二一13第二阶梯例 1如图，在河的对岸有水塔 AB,今在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30 , 仰角为 45 ,前进 20 米后到 D 处，又测得 A 的么求塔高探索：怎样用点拨：ABo在河对岸的塔能否直接测得它的高

5、度？为什么在CD 的长？要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如C D 两处测得仰角的含义是什学习必备欢迎下载由正切定义，有学习必备欢迎下载.CD =x( .3 -1)CD =20,x( .3 -1) =20即塔高AB=10(i3 1)答：塔高 AB 为10C3 1）米。第三阶梯例 1已知等腰三角形的顶点为 A,底边为 a,求它的周长及面积。探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为 能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办?点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三

6、角形，应先假设这个三角形是斜三角形, 再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知 ABC 中， AB=AC BC=a （如图）解： 过 A 点作： ADLBC 竽 D 点， 设/ BAD=a/ AB=ACa,BAD = CAD二： BD=CD=2根据正弦定义，有sin /BAD二BDABsin二a AB+AC+BC=asin a由余切定义，有/ADctgBAD =DBctg : AD=21SABC= BC AD2tg/ADB =ABDB及 tg._ACB =ABCB同理ACa2sin例 2有一块矩形纸片 ABCD 若把它对折，B 点落在 AD 上 F 处，如果 DC=6cm 且/ DF

7、C=20，/ ECB=0, 求折痕 CE 长。探索：根据已知条件图形对折，B 点落在 F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知 DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问 题？点拨：由于 F 点的形成是因对折 B 点而形成的，因此可有 EB3AFEC 同时又可有 AEF CDF 根据已知条件/DFC=20 及/ ECB=0，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE 的长。解：根据已知条件，有EBCAFEC EB=EF BC=FC/ECBMECF/ CFD=20，且/ ECB=0/ ECF=0由余弦定义，有CDcos ADC =CF

8、/ ADC=9020由余弦定义，有/CFcos FCE =CE例 3如图 6-5-5，某船向正东方向航行， 在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30,又航行了半小时，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20 海里，求 A、D 两点间的距离，（结果不取近似值）思路分析:注意：也可设/ BAC=a，则/ BAD=2。CFCDsin 2)CE6sin 2v cos图 6-5-5学习必备欢迎下载1易知 ACD 是等腰直角三角形，要求 AD,不能利用 ACD 直接求得，由于BD =20丄=10,图形中再没有2其他的直角三角形，必须构造直角三角形， 作CELAD

9、于 E,只要求出 CE 就可能以求出 AD,借助两个直角三角形 ( BCE 和 DCE 中，BE DE 与 BD 的关系以及 BE 与 CE 之间的关系就可求 CE。解作 CELAD 垂足为 E,设 CE=x 海里/ CADMCDA=90 -45=45, CE=AE=DE=x在 Rt BCE 中，/ CBE=90 -30 =60,；3BE = CE * cot 60 x,3由 DE-BE=BD 得解得x =15 5. 3。AD =2x =(30 10.3)(海里)。答：A D 两点间的距离为(301.3)海里。第四阶梯例 1有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD AB/ DC 斜坡 AD 的坡

10、度 i1=1:1.2,斜坡 BC 的坡度 i2=1:0.8，大坝顶宽 DC 为 6 米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE EF/ DC 点 E、F分别在 AD BC 的延长线上(如图 6-5-6 ),当新大坝顶宽 EF 为 3.8 米时，大坝加高了几米？图 6-5-6思路分析：本题实质上是梯形 CDEF 勺有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即 DECF 的坡度公别为 1:1.2,1:0.8,又 DC=6米，EF=3.8 米，要求大坝加高的高度，分别作 FHLDC 于 G,FHLDC 于 H,利用 Rt DEG, Rt CFH 和矩形 EFHG 可以求出新大坝

11、的高度解E F学习必备欢迎下载作 EGL DC,FHL DC,垂足分别为 G,H,则四边形 EFHG 是矩形,GH=EF=3.8 米设大坝加高 x 米，则 EG=FH=)米。学习必备欢迎下载/ ii=1:1.2, i2=1：0.8,EG _ 1 FH _ 1 DG 1.2CH - 0.8DG =1.2x,CH =0.8x.由 DG+GH+CH=6 得 1.2x+3.8+0.8=6. 解得 x=1.1答：大坝加高了 1.1 米。例 2如图 6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B

12、 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级, 每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。(1) 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。(2) 若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？思路分析：(1) 作 AD BC 于 D,达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过(12-4)x20=160 千米的范围内，比较 AD 与 160 的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。(2)当

13、A 点距台风中心不超过 160 千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7 , AE=AF=160 千米，当台风中心 从 E处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF 的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。(3) 显然当台风中心位于 D 处时，A 市所受这次台风的风力最大。解(1)如图 6-5-7，由点 A 作ADLBC 垂足为 D。1/ AB=22Q / B=30 , AD AB =110(千米)。2由题意，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110160，所以 A 市会受到这次台风的影响(2)在 BD 及 BD 的

14、延长线上分别取 E,F 两点，使 AE=AF=160 千米.由于当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响所以当台风中心从 E 点移到 F 点时，该城市都会到这次台风的影响在 Rt ADE 中，由勾股定理，得DE二.AE2- AD2=：1602- 1102= 30.5图 6-5-7学习必备欢迎下载EF =2DE =60,15（千米）.学习必备欢迎下载6-5-114 .某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为 60 米，坡角为 30,则坝高为 _米。5.升国旗时，某同学站地离旗杆底部24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30,若双眼离地面 1.5

15、米，则旗杆高度为 _ 米，（用含根号的式子表示）6 .在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方面再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60,那么电视塔高为_。7 .若太阳光线与地面成 37角，一棵树的影长为10m,则树高 h 的取值范围是（）A. 3hw5 B、5h10 C.10h158 .河堤的横断面如图 6-5-11 所示。堤高 BC 是 5 米，迎水坡 AB 的长是 13 米。那么斜坡 AB 的坡宽 I 是（ ）A. 1 : 3 B 、1: 2 6 C.1:2.4 D.1:29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80角。房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子

16、外面上方安装一个水平挡光板AC,使午间光线不能直接射入室内（如图： 6-5-12 ）,那么挡光板 AC 的宽度至少应为（）该台风中心以 15 千米/时的速度移动，这次台风影响该城市的持续时间辽色 二4 15（小时）.15（3）当台风中心位于 D 处时,A 市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为12一110=6.5（级）20四、【课后练习】A 组1如图：6-5-8 , 一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=。2 .如图 6-5-9，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _米（精确到 0.1 米）图 6-5-83.如图 6-5-10，在

17、高离铁塔 150 米的 A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30,已知测角仪高塔高BE=（精确到 0.1 米）图 6-5-10图 6-5-9AD=1.52 米，贝学习必备欢迎下载图6-5-13A. 1.8tan80 m B.1.8cos80 m C.msin 80 10.如图 6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6 米， 坝高 24 米，斜坡 AB 的坡角为 45,斜坡 CD 的坡度1=1 : 2，则坝底 AD 的长为（12.如图 6-5-15，直升飞机在跨河大桥AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为a=30,3=45,求大桥 AB 的长（精确到

18、1 米，供选的数据：, 21.41,31.73 ）.13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16 所示， 其中 AB/CD 根据图中的数据计算 AC BD 和 CD的长度。（结果保留根号）14 .如 6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为6 米，坝高 10 米，斜坡 AB 的坡度是 1 : 2 （ARBR）,现要加高 2 米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50 米的大坝，需要多少土方？15.如图 6-5-18,已知 C 城市在 B 城市的正北方向，两城市相距 100 千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 BC）,经测量，森林保护区A 在 B 城市的北偏东 4

19、0方向上，又在 C 城市的南偏东 56。的方向上，已知森林保护区 A 的范围是以 A 为圆心，半径为 50 千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？1B丿图 6-5-121.8D.1.8cot80mA. 42米 B、米 C、78 米 D、(30+83)米11、如图 6-5-14，两条宽度都为部分）的面积为（ ）A.1sin二B.1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为C.si na D.1a,则它们重叠部分（图中阴影PO=450 米，且 A、B、O 三点在图6-5-14学习必备欢迎下载为什么？（已知 tan40 =0.839,tan56 =1.483）B 组1、1、知小山的高为

20、h,为了测得小山顶上铁塔 AB 的高 X,在平地上选择一点P,在 P 点处测得 B 点的仰角为a,A 点的仰角为3。（见右表中测量目标图 6-5-19 ）学习必备欢迎下载(1 )试用a、B和 h 的关系式表示铁塔高 X；(2) 在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值” 一列中a、3的数值；(3)根据表中数据求出铁塔 x 的值。(精确到 0.01m)2.如图 6-5-20，某校的教室 A 位于工地 O 的正西方向，且OA=200 米，一台拖拉机从 O 点出发，以每秒 5 米的速 度沿北偏西 53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室 A 是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室 A 受污染的时间有几秒？(已知 sin53 0.80,sin37 0.60,tan37 0.75 )D 10、C 11、A 12、329 米 13、AC=3.6米，BD=6 米，CD= (11一3 - 3)米314、5000 米3ADAD15、过点 A 作 ADLBC 垂足为 D,在 Rt ADC 中，CD=;在 Rt ABD 中，BD=，依题意有tan 56tan 40A+AD=100。 所以 AD=100tan56tan40衣53.58，因为 AD50,所以计划修筑的这条高速公路tan 56 tan 40不会穿越森林保护区。B