同角三角函数的基本关系题型全归纳

1、同角三角函数的基本关系题型全归纳1.2.2同角三角函数的基本关系题型全归纳题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】12(1)已知sin a= 13,并且a是第二象限角，求 cos a和tan134、已知 COS a= 5，求 sin a和 tan a【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1) 若已知sin a= m,可以先应用公式 cos a= ± 1 sin2sin a 2sin a cos a COS a(2) 4cos2 a 3si n2 a； a求得cos a值，再由公式tan a=n-a求得 tan a的COS a 值.(2) 若已知cos a= m

2、,可以先应用公式sin a= ± 1 cos2 a,求得sin a值，再由公式tan a= sin a求得tan a的COs a 值.(3) 若已知 tan a= m,可以应用公式 tan a=从=m? sin a= mcos a及 sin2a+ cos212 (3) ；si n 厶 a= 1,求得 cos a=丄 j 1 2,cos a71 + m2sin a=丄厂巴一的值.'1 + m24变式1 : (1)已知tan a= 3，且a是第三象限角，求 sin a, cos a的值.3(2)已知角的终边在直线y 2x上，分别求出sin ,cos 及tan的值。变式 2：已知

3、sin a = 2sin 卩，tan a = 3tan 卩，贝U cos a =题型二、化切求值【例2】 已知tan a= 3，求下列各式的值.4sin a cos a(1) 一 ' 73sin a+ 5cos a1同角三角函数的基本关系题型全归纳2(4) 1 2sin cos 3cos【类题通法】化切求值的方法技巧asin a+ bcos jasin?a+ bsin «cos a+ cco'缩勺值，将分子分母同除以 cos a或 cos2 a,已知tan a= rn,可以求二:严dAesin畑s2a+ fcos a化成关于tan a的式子，从而达到求值目的.对于as

4、in2 a+ bsin acos a+ ccos2 a的求值，可看成分母是1 ,利用1 = sin2 a+ cos2 a进行代替后分子分母同时除以cos2 a,得到关于tan a的式子，从而可以求值.变式3:已知tan a= 2,求下列各式值:2sin a 3cos a4sin a 9cos a；2 -(2)4sin a 3sin acos a 5cos(3)1sin cos1 1(4)11 sin 1 sin(1)已知sincos10 , ,44求 sin ,cos ,sincos2(2)右sincoso, n,求 tan ,5(3)已知sin xcosx3 1x 0 ,，求 tanx2 ，

5、(4)已知sin-.3cos2，求 ta n(5)已知2si ncos, 15，求 tansin cos ,sincos4:求下列各式的值:变式,sin44 cos【反思】同角中的sincos , sincos , sincos 知一可求二，将sincos 与 sincos 联立可求tan .题型三、化简三角函数式【例3】 化简tana 1,其中a是第二象限角.V sin2 a2同角三角函数的基本关系题型全归纳【类题通法】三角函数式化简技巧(1) 化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.(2) 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号

6、达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造Sin2a+ COS2 a= 1,以降低函数次数，达到化简的目的.变式5:化简:(1)sin 0 cos Btan 19(2) psin2 0 sin4 , 0是第二象限角.(3)若x是第三象限的角，化简三角式1 si nx1 sin xsinxsin x变式6 .化简:p1 2sin 130 cOs 130 sin 130 ° 1 sin2130 °变式7.若a为第三象限角，则迹蔦+ 严：的值为().1 sin2 a. 1 COs2 aA . 3B . 3C. 1D . 1题型四、证明简单的三角恒等式【

7、例4】tan asin a = tan a+ sin a tan a sin a tan «sin a '【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1) 从一边开始，证明它等于另一边；(2) 证明左、右两边等于同一个式子；(3) 逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.变式&证明:1 + 2sin 9cos 0 1 + tan Bcos2 0- sin2 0 _ 1 tan 0题型五角的取值范围例5若角a , B满足 <a < 3 < n ,求a - B取值范围2变式9：若(0,2),(0,2)，求2-取值范围1.2.2同角三角函数的基本关系题型全归纳答

8、案125【例 1 】解(1)COS2a= 1 Sin2a= 1 亦 2=石又a是第二象限角，所以cos a<0 ,5cos a= 13,tan asin a = 12. cos a 5 '43(2)sin2 a= 1 cos2 a= 1 5 2= 5 2.5; (4) 10,4因为cos a= 5<0 ,所以a是第二或第三象限角,3当a是第二象限角时，sin a= 5, tansin aa=:cos a当a是第三象限角时，3sin a=-,5ta nsin aa= = cos a34.变式1:( 1)解：由tan a=黑=3得 sin a=43COS a,又 Sin2 a+

9、 cos2 a= 1，16由得 10_cos2 a+ cos2 a= 1 ,即 cos2_9 a= 25.3又a是第三象限角，故 cos a= 3 ,54Sin a= §COS4a= 5.(2)【答案】sin2 "5,cos52 或 sin2-T,cos5变式2: 土亠64【例11石;229(2) 223；40； (4)10变式3:解:2sina 3cosa 2tan(1) = 1.4sin a 9cos a 4tan a 9 4 x 2 922(2)4sin a 3sin acos a 5cos a2.24sin a 3sin acos a 5cos a2i2sin2a+

10、 cos2 a这时分子和分母均为关于sin a, cos a二次齐次式.因为cos2 a 0,所以分子和分母同除以cos2 a,则 4sin2 a 3sin acos a 5cos2 a=4tan2 a 3tan a 5 4 X 4 3X 2 5= 1.tan2 a+ 1变式4:【答案】二：二；空二4324(2)【答案】(3)【答案】3(4)【答案】仝3(5)【答案】123、5【例3】解因为a是第二象限角，所以sin a>0,COSa<0.故ta n a:胡1=tan1 sin a sin2 aCOS asin2 asin aCOS aCOS a sin asin a cos aC

11、Os a sin a-1.sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0变式 5:解：(1)-cos 0.tan 1sin 0 , sin 0 cos 0-1cos 0cos 0(2)由于0为第二象限角，所以sin 0>0, cos 0<0,2(1 si nx)(1 sin x) (1 sinx)故.jsin2 0 sin4 0- /sin2 01 sin2 0 sin2 0cos2 0 |sin 9cos 0- sin Ocos 0 (3) x是第三象限的角1 si nx :1 sin xH= |(1 si nx)2sin x (1 sin x) (1 s

12、inx)1 si nx 1 sinx 1 si nx 1 sinx=2ta n x| cosx| cosx| cosx cosxsin 2130。一 2sin 130 c6s 130 亠 cos2130变式6.解：原式-'.一2sin 130 ° cos2130 °-|sin 130 °os 130 | °-sin 130 羊 |cos 130 | °sin 130 cos 130sin 130 cos 130变式7.解析：选BT a为第三象限角，.原式一COS aCOs a2sin a -sin a【例4】证明右边-tan2 a sin2 atan a sin a tan asin a222tan2 a tan2 acos2 atan a sin atan osin atan2 a 1 cos2 atan a sin a tan asin a22tan2 o(sin2 atan a sin a tan asin atan asin atan a sin a-左边,.原等式成立.变式&证明:左边-sin2 0