概率复习题答案

1、一、全概率公式与贝叶斯公式1、设有一批产品由甲，乙，丙三个工厂生产，甲厂生产其中的，其它二厂各生产，又知甲乙两厂产品各有3%是次品，丙厂有2%是次品，(1)从这批产品中任取一件产品，求取到次品的概率？ (2)已知取到的是次品,求该次品是由乙厂生产的概率?1、解：取到的产品是甲，乙，丙工厂生产的分别记为，取到的产品是次品记为B，则由全概率公式得： = 由贝叶斯公式得： = 2、国美电器商店里的冰箱有三个品牌，“海尔”品牌的次品率为0.01，份额为80%，“天尔”品牌的次品率为0.02，份额为15%，“地尔”品牌的次品率为0.03，份额为5%，随机地调查一名顾客,询问他购得的冰箱的质量.(1) 求

2、顾客购得次品冰箱的概率。(2) 已知顾客购得次品冰箱，求此冰箱恰好是“海尔”品牌的概率。 2、解：购到的冰箱是“海尔”，“天尔”，“地尔”品牌的分别记为，购到的冰箱是次品的记为B，则由全概率公式得： =0.0125 由贝叶斯公式得：= 3、某厂有三条流水线A，B，C生产同一产品，其产品分别占总量的40，35， 25，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件。问（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，则该次品是流水线A生产的概率是多少？3、解： 设 2分则由全概率公式得: 4分由贝叶斯公式得： 4分二、已知联合概率密度求边缘概率密度1、设二维

3、随机变量在区域G:上服从均匀分布，试求：（1）联合概率密度；（2）边缘概率密度,并判断和是否独立；（3）.1、解：(1) (2) 因，所以不独立 (3) 2、已知二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为求：(1)关于和Y的边缘概率密度函数，X、Y是否独立？为什么？(2) (3) 令求E(Z)。2、解：(1)计算可得，由X与Y的对称性知： 因，故x与y不是独立的。 (2), (2分)而，故 (3)E(Z)=E(X)+2E(Y)=， 3、设随机变量的联合概率密度函数为(1) 求；(2)是否相互独立,为什么？3、解：(1) （3分） （3分）(2) 因为，所以不相互独立。（4分）4、设(X,

4、Y)的概率密度为(1) 求边缘密度函数； (2)是否相互独立,为什么？4、解：(1) （6分）(2) 因，所以X与Y相互独立。 （4分）5、已知二维随机变量的联合密度函数为(1)试确定常数;(2)求边缘密度函数,随机变量是否相互独立？5、解： 2分所以 2分 (2) 2分 2分(3)由于对任意,有,故独立.-2分6、设二维随机变量在区域上服从均匀分布。求边缘密度函数。6、解：因， 2分所以有， 4分 4分三、随机变量数字特征的计算1、一射手向指定目标射击2次，各次射击的结果相互独立，且每次射中的概率是，用X表示2次射击射中的次数.（1）求X的分布律并计算E(X)，D(X)。（2）若以Y表示2次

5、射击不中的次数，求，E(Y)，D(Y)，。1、解：(1)X的分布律为： X 0 1 2 E(X)= +2=， +4=， D(X)= (2)Cov(X,Y)=Cov(X,2-X)=-D(X)=-, E(Y)=E(2-X)=2-=, D(Y)=D(X)=, 2、已知随机变量与分别服从正态分布和，且与的相关系数为，设求（1）和；（2）；（3）.2、解：（1）, （3分） （4分）（2） （3分）（3） （2分）3、随机变量的分布函数,求3、解：， （4分） （3分） = （3分）4、随机变量X的分布函数为 ，求E（X）,D（X）。4、解：依题意，随机变量X的概率密度函数为 2分， 3分， 3分所以

6、D(X)= 2分5、已知连续型随机变量X的概率密度为且E(X)=0.5，D(X)=0.15。求a,b,c。5、解：，从中解得a=12,b=-12,c=3 4分四、中心极限定理1、某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年（52周）内售出该商品件数在50件到70件之间的概率.1、解：设该商店第i周售出该商品件数为，则该商店一年内（52周）售出该商品件数， 因服从参数为的泊松分布，所以E(X)=52，D(X)=52 所以 2、某商场计划在元旦期间召开一次规模为120人参加的联谊会，根据以往的经验，接到邀请的人中

7、平均有80%到会，故发出了150张请柬，试求前来参加联谊会的人数为110到130人的概率(用表示)2、解：.设前来参加联谊会的人数为,则有， 由隶莫夫拉普拉斯中心极限定理 3、某食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一块蛋糕的价格是一个随机变量，它取1， 1.2，1.5（元），各个值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5. 若某天售出300块蛋糕，求这天的收入至少有400元的概率.（结果保留） 3、解：设一块蛋糕的价格为，其分布律为：，可求出 （5分）（5分）4、报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为0.6，1.0，1.5，1.8（元），且每份报纸售出的概率分别为0.25，

8、0.3， 0.35，0.1.若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少有450元的概率（结果保留）4、解：设为该天售出第份报纸的收入则，（2分），所以 （3分）令表示该天的总收入，则由独立同分布中心极限定理得 （5分）5、在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量的结果相互独立且服从正态分布。若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使平均重量与a的误差不超过0.1的概率不小于0.95，那么至少要称多少次？5、解：依题意得：， 2分 4分 2分解得 2分五、点估计1、总体X具有分布律 X 0 1 2 2 已知样本值,求参数()的矩估计值和极大似然估计值.1、解：因E(X)=+4=1

9、+2-3， 所以1=1+2-3， 故得的矩估计值为 似然函数， 令，得极大似然估计值为 2、设总体X的概率密度为是未知参数，是来自总体X的一个样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量。2、解（1）(2) (3分)所以参数的极大似然估计量 (2分)3、设总体的概率密度函数为,其中是未知参数，是取自总体的一个样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.3、解：（1）令，又， （1分） （2分）故 的矩估计量为 （1分）（2）似然函数, （2分） 故 （3分） 解得极大似然估计值为故得极大似然估计量为 （1分）4、设是来自总体X的样本，且总体X的分布密度为：其中求的矩估计量和极大似然估计量。4、解：（1）

10、 2分令 2分（2）似然函数为 2分 2分 2分5、设总体的密度函数,未知,是来自总体的样本,求的矩估计量和极大似然估计量.5、解：（1）矩法：（2） 2分 2分 ， 1分 六、假设检验1、某包装机包装物品，在通常情况下每袋物品的重量服从正态分布。现在随机抽取袋物品，算得其重量的样本方差为，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（）1、解：检验假设：， 选取统计量： 拒绝域:=27.488，或=6.262 算得, 拒绝原假设：，即认为物品重量的方差有变化。 2、设某元件的可靠性指标服从正态分布，合格标准之一为标准差，现检测15次，测得指标的标准差为，在显著性水平下可否认为标准差仍为0.

11、05？2、解：检验假设： ， 选取统计量：拒绝域:=23.685，或=6.571 算得, 拒绝原假设：，即认为标准差不是0.05。 3、根据长期经验和资料的分析，某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”服从正态分布，方差.从该厂产品中随机抽取6块，测得,检验这批砖的平均抗断强度为是否成立? () 3、解：检验假设：. （2分）此检验拒绝域为（3分）查表得，又， ，（3分）落在拒绝域中，故拒绝，即不能认为这批砖的平均抗断强度为 （2分） 4、某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布，现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量有关数据，其中，据此能否认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为()4、解：检验假设

12、： （2分）此检验拒绝域为或（3分）查表得，又， （2分）， （2分）故拒绝，不能认为方差为 （1分）5、有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值克，样本标准差，设糖果重量总体服从正态分布，但参数均未知，问在显著性水平下能否接受假设：这批糖果重量的均值为503克？5、解：依题意，检验问题假设如下： 1分由于总体服从正态分布，参数均未知，因此取统计量:6、测定某溶液中的水分，其中10个测定值给出样本均值为，样本标准差，设测定值总体服从正态分布,试在5的显著水平下，分别检验假设：（1） （2）6、解：（1）拒绝域: 2分 拒绝 3分（2）拒绝域: 或 2分，不拒绝 3分七、证明题 1、设X、Y为独立随机变量，EX=EY=0，均存在。求证：存在，且 。1、证明：因X与Y独立，则X与，Y与也相互独立，故2、设总体X服从参数为的泊松分布，是X的简单随机样本，试证：是的无偏估计。2、证明：因总体X服从参数为的泊松分布，所以E(X)=D(X)= 又 故有：E()= 3、设、为两个事件，若，证明：与相互独立、与互不相容、,这三种