2021年中考数学一轮复习训练48中考数学数形结合思想(解析版)

1、专题48中考数学数形结合思想专题知识点概述数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一左条件下可以相互转化。中学数学研 究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数 学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借 助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二 种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要 给图形赋值，如边长、角度等。1. 数形结合思想的含义数形结介思想是指从几何直观的

2、角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法 （以形助数），或利用数疑关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想.数形结合 思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。2. 数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系，借助数轴观察数的特点，直观明了。（2）在解方程（组）或不等式（组）中的应用。利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函 数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式（组）的问题直观，形象，易于找出不等式（组） 解的公共部分或判断不等式组有无公共解。（3）在函数中的应用。借

3、助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧 密结合，体现了数形结合的特征与方法。（4）在几何中的应用。对于几何问题，我们常通过图形，找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系， 得出图形的性质等。3. 数形结合思想解题方法数”和形”是数学中两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置 密切相关的数量关系：反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它 的图形，从而启发思维，找到解题之路：或者在研究图形时，利用代数的知识，解决

4、几何的问题.实现了抽象 概念与具体图形的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.例题解析与对点练习【例题1 （2020-遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tanl5时，如AC _1_2-v 3CD 2+v3 (2+V3)(2-；l)A. V2+1B V2-1D.图.在Rt川方中，Zr=90 , ZABC=3Q ,延长仿使加=/连接初，得ZP=15 ,所以tanl5 =2-V3类比这种方法,计算tan22. 5的值为（【答案】B【分析】在Rt辺中,ZC=90 , ZABC=A5 ,延长 饴使加=丽，连接，得ZP=22. 5 ,设 47=BC=1.则 AB=BD= V2,

5、根据tan22.5 =醤计算即可.【解析】在Rt川方中，ZC=90 , Z磁=45 ,延长仿使 助=初，连接肋，得Z27=22. 5 ,设AC=BC=1.则曲=助=返,tan22. 5U =5-2 1的解集在数轴上表示正确的是（）【答案】c【解答】解：解不等式X- 1 0得X1,解不等式52x$ 1得xW2,则不等式组的解集为10）与y=k：x+b= （k：0)与y轴交于B点,则0B叽 直线y=k3x+b3 (ksABC的而积为4,.OAOB为 A0C 二 4， *2讣1尹2 ( - b2)=4,解得：b； - b：=4.【例题3 (2020通化模拟)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动

6、，将边长为2的正方形ABCD与边长为2血的正方形AEFG按图1位巻放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.(1) 小明发现DG丄BE,请你帮他说明理由.(2 )如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长.(3 )如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H,写出GHE与BHD而积之和的最大值，并简要说明理由.【答案】见解析。【解析】（1）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,AD二AB, ZDAG=ZBAE=90 , AG二AE,任 ZkADG 和 ABE 中，rAD=AB-ZD

7、AG二 ZBAE,AG=AEADG竺AABE (SAS), ZAGDZAEB,如图1所示，延长EB交DG于点H,在 ZkADG 中，ZAGD+ZADG=90 ,A ZAEB+ZADG=90 ,在ZkEDH 中，ZAEB+ZADG+ZDHE二 180 ,ZDHE二90 ,则DG丄BE：(2 ) 四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,AD二AB, ZDAB=ZGAE=90 , AG二AE, ZDABZBAG二ZGAE+ZBAG,即ZDAG二ZBAE.在ADG和AABE中, ZDAG二 ZBAEAG 二 AEADG旦AABE (SAS),DG 二 BE,如图2,过点A作AM丄DG交DG于点M,

8、ZAMD二ZAMG二90 ,VBD为正方形ABCD的对角线，ZMDA二 15 ,在 RtAAMD 中，ZMDA=45 ,/.cos45 卫，ADTAD 二2.DH 二 AMf边( Rt AAMG中，根据勾股疋理得：GM/AG2 - M2=V6，TDG 二 DM-GM 二 7去皿ABE=DG=V2V6：(3 ) GHE和BHD而积之和的最大值为6,理由为：对于AEGH点H在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，AEGH的高最大：对于BDH,点H在以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，ABDR的髙最大， 则GHE和BHD而积Z和的最大值为2+4=6.【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景

9、：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直 角三角形中，如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图1,在RtAABC中，探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.（1）如图1,连接AB边上中线CE,由于CE今AB,易得结论：AACE为等边三角形：BE与CE之间的数量关系为.（2）如图2,点D是边CB上任意一点，连接AD,作等边ADE,且点E在ZACB的内部，连接BE.试探究 线段BE与DE之间的数量关系，写岀你的猜想并加以证明.（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？ 请直接写岀你的结论.拓展应用：

10、如图3,在平面宜角坐标系xOy中，点A的坐标为（-丁了，1）,点B是x轴正半轴上的一动点, 以AB为边作等边AABC,当C点在第一象限内，且B （2, 0）时，求C点的坐标.【答案】见解析。【解答】探究结论（1）如图1中,1TZACB二9(T , ZB二30 ,AZA=60 ,.eAC=jAB=AE=EB,ACE是等边三角形,/. EC 二 AE 二 EB,故答案为EC二EB理由:连接PEACP, 2XADE都是等边三角形, AC二AD二DE, AD二AE ZCAP二ZDAE二60 , ZCAD 二 ZPAE,CAD9APAEZACD=ZAPE=90 ,EP丄AB, TPA二PB,EA二EB,

11、 DE二AE,ED 二 EB （3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED二EB,故答案为ED二EB.拓展应用：如图3中，作AH丄x轴于H, CF丄0B于F,连接0A.ZA0H=30 ,由(2)可知，CO二CB,CF 丄 0B,OF二 FB二 1,可以假设C (1, n ),V0C=BC=AB,.l+n:=l+(V3-2) .n=2+V3:.C (b 2+V3)一、选择题1. (2020温州)如图，在离铁塔150米的川处，用测倾仪测得塔顶的仰角为。，测倾仪高肋为15米，则铁塔的高證为()A. (1.5+150tanci )米B. (1.5+)米C. (1.5+150sina )米D.

12、 (1.5+黑)米【答案】A【分析】过点川乍AE1.BC,厅为垂足，再由锐角三角函数的定义求岀亦的长，由BC=CE+BE即可得岀结论.【解析】过点川作血丄应，尸为垂足，如图所示：则四边形如为矩形，J=150,CE= AD= 1. 5*在磁中，tana = |f =篙,.*.5f=150tan(】，:.BC=CEBE= (1.5+150tana ) 5)2. （2020恩施州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，EFAB交AD于E,交BD于F, DE： EA=3： 4,EF二3,则CD的长为（）A. 4 B. 7 C. 3 D. 12【答案】B【解析】此题考査了平行线分线段成比例宦理与平行四边形的

13、性质.此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.VDE： EA=3： 4,.DE： DA=3： 7VEF/7AB, DE EF 二i 1 DA ABVEF=3 3 3 *7 AB解得：AB二7,.四边形ABCD是平行四边形，CD 二 ABh 故选B3. （2020济南模拟）如图，抛物线y= - 2V+8x - 6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作5将G向右平移得C“ G与x轴交于点氏D.若直线y二x+m与G共有3个不同的交点，则m的取值范围是()C. -3ra解得x=l或3,则点 A (1, 0) ” B (3, 0),由于将C：向右平移2个长度单位得C：,则 G解析

14、式为 y=2 (x-4) 2+2 (3x5),当y=x-m：与C：相切时，令 y=x+m：=y二-2 (x - 4) ：+2即 2x - 15x+30+mi=r0二-8m： - 15=0.即0二3-业,当-3m0； a - 2b+4c=0： 25a - 10b+4c=0； 3b+2c0： a-bm （am-b）：其中所有正确的结论是（填写正确结论的序号）【解析】本题考査的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式由抛物线的开口向下可得：a0故正确;直线x二是抛物线y二axbx+c （a

15、HO）的对称轴，所以-也可得b=2a,2aa - 2b+4c=a - 4a+2= - 3a+4c - 3a0.* 3a+4c0,即” 2b+4c0故错误：抛物线y曲+bx+c的对称轴是x=- 1.且过点（寺0）.抛物线与X轴的另一个交点坐标为（0）,2当 X二.爭,尸0,即& （ -|） 2 -|b+c=0 整理得：25a - 10b+4c=0,故正确：Vb=2a a+b+cVO,2b+b+c0,2即3b+2cma - mb+c （niHl）,.*.a - bm （am - b） 所以匸确。故答案为：.5. （2020泰安）如图，某校教学楼后而紧邻着一个山坡，坡上而是一块平地.BC/AD, B

16、E LAD,斜坡曲长 26皿斜坡曲的坡比为12： 5.为了减缓坡而，防止山体滑坡，学校决世对该斜坡进行改造.经地质人员勘 测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚月不动，则坡顶万沿證至少向右移 加时，才能确保山体不滑坡.（取tan50a =1.2）BC【答案】10【分析】在虑上取点只 使Z磁 =50 ,作FHLAD,根据坡度的概念求出庞.血根据正切的宦义求出AH.结合图形计算，得到答案.【解析】在證上取点斤 使Z用5=50 ,过点尸作曲丄肋于勺: BFEH、BEYAD. FH1.AD.四边形畅为矩形，:BF=EH、BE=FH、斜坡曲的坡比为12： 5,BE 12 _ = A

17、E 5设 BE=2x、则 AE=5x,由勾股定理得,AEBE-AB. E卩(5%) + (12x) 3=26解得,x=2,:.AE=1Q, BE=24,:FH=BE=24,FH在Rt翊中，tanZ別匸笏,山启盏需=2(h:BF=EH=AH- AE=0, 坡顶万沿必至少向右移10加时，才能确保山体不滑坡.6. （2020济南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB二6, ZDAB二60 , AE分别交BC、BD于点E、F, CE二2,连接CF,以下结论：ZkABF/XCBF：点E到AB的距离是巩兮；tanZDCF仝於：AABF的而枳为更 r5岛其中一泄成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）【答

18、案】【解析】此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判怎与性质以及全等三角形的判 泄与性质分析.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.菱形 ABCD,TZDAB二60 ,AB二AD二DB, ZABD=ZDBC=60a ,在AABF与ACBF中，ABF幻ACBF (SAS), 正确;过点E作EG丄AB.过点F作MH丄CD, MH丄AB,如图:VCE=2, BC二6, ZABC二 120 ,BE二6 - 2=4,TEG 丄 AB,EG二 2/3，点E到AB的距离是2馅，故正确；VBE=4, EC=2,Sabjs: Sz.rc=4: 2二2: 19 Sa Aa

19、r x S/.rn=3 2,. ABF 的而积为二*SAiE|x|x6X2V3 丰 故错误:W127V35 _ 5 二仏！令X 6X3后朋 S/XDFC = AAPB _ SaBF _- Sadk4x6XFM=.93【F59ACM=DC-DM=6-=i,5 5.tanZDCF 曙521故正确。三.解答题7.（2019-湖南湘西州）解不等式组:x-2x+2并把解集在数轴上表示出来.一“JIIIII-2 -1 012345【答案】见解析。【解答】解不等式x-2V 1得x*2,得：正-1, 则不等式组的解集为-将解集表示在数轴上如下：I 11161-2-1 01234y8. 我们知道：根据二次函数的

20、图象，可以宜接确左二次函数的最大（小）值：根据“两点之间，线段最短”， 并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两左点之间的距离之和最 短.这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题.请你尝试解决一 下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 （2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC二1千米,BD二2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你： 作图确立水塔的位巻： 求岀所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y二6,求J+9 +

21、少 + 25的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下: 如图3中，作线段AB二6,分別过点A、B,作CA丄AB, DB丄AB,使得CA二 DB二 在AB上取一点P,可设AP二 , BP二 . Vx2+9 + 7/ + 25的最小值即为线段一和线段长度之和的最小值，最小值为【答案】见解析。【解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）如图所示，点P即为所求.（作法：延长AC到点E,使CE二AC,连接BE,交直线CD于点P,则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹：不连接PA不扣分；（延长BD,同样的方法也可以得到P点的位置过点A作AF丄BD,垂足为F

22、.过点E作EG丄BD.交BD的延长线于点G.则四边形ACDF. CEGD都是矩形. FD二AC二CE二DG二 1, EG=CD=AF TAB二3, BD二2, BF二BD-FD二 1, BG二BD+DG二3,在 RtAABF 中，AF=AB:-BF:=8 AAF=2V2 EG=2/2 在 RtABEG 中,BE=EG=+BG:=17,.BE=Vr7 (cm).PA+PB的最小值为JTYcm.即所用水管的最短长度为17 cm.(3)图3所示，作线段AB二6,分别过点A、B.作CA丄AB, DB丄AB,使得CA二3, BD二5,在AB上取一点P,可设AP二x, BP二y,J/+9 +J/ + 25

23、的最小值即为线段PC和线段PD长度之和的最小值，作C点关于线段AB的对称点C,连接C D,过C点作C E丄DB,交BD延长线于点氏AC二BE二3, DB二5, AB二C E二6,/.DE=8,CD = IdE2+CE2 =10.最小值为10.故答案为：4；X, y；PC, PD, 10.9. （2019山东省滨州市）如图，抛物线 尸冷+碍対4与y轴交于点4与x轴交于点氏G将直线4:3应=而T当几的坐标为（10,/. sinZ/MP=425则只的坐标为（2,当只的坐标为（2,34冷），则副=（10-0）2+（*-4）8誉,10山卜可得S贬却的值是警或需.10. （2019湖南湘西州）如图，一次函数y=Z 的图象与反比例函数尸卫的图象在第一象限交于点（3, x2）,与y轴的负半轴交于点氏 且OB=4.（1）求函数y=卫和y=kxb的解析式: x（2）结合图象直接写岀不等式组0旦吃汁6的解集.【答案】见解析。【解析】本题主要考査了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注总：反比例函数与一次函数交点坐 标同时满足两个函数解析式.(1) 把点川(3, 2)代入反比例函数巴.可得加=3X2=6.x反比例函数解析式为y=吕,9：0B=4,:.B (0,4人把点A (3 2), 5(0. - 4)代入一次函数y=&7,可彳