专题02因动点产生的直角三角形问题(解析版)

1、备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根. 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股泄理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形, 这样列比例方程比较简便.【方法揭秘】我们先看三个问题：1. 已知线段以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是

2、什么？2. 已知线段AB,以线段AB'h斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3. 已知点A(4.0),如果AOAB是等腰宜角三角形，求符合条件的点B的坐标.图1图2图3如图1,点C在垂线上，垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形，除了 0、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B,共6个.如图4,已知A(3, 0), B(l,4),如果直角三角形ABC的顶点(7在$轴上，求点C的坐标.我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C.如果作丄y轴于D 那么AOCsCDB.m 1这个方程

3、有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点.【典例分析】2【例2】已知在平面直角坐标系xOy中，直线/别交x轴和丿轴于点A (3, 0), B (0, 3).il/1§1图2(1) 如图1,已知OP经过点O,且与直线h相切于点B,求OP的直径长；(2) 如图2,已知直线?2：别交x轴和丿轴于点C和点D,点0是宜线“上的一个动点，以。为圆心，20为半径画圆. 当点0与点C重合时，求证：直线h与OQ相切； 设O0与直线h相交于M, N两点，连结QM, QN.问：是否存在这样的点0,使得0WN是等腰直 角三角形，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【例3】如图1,在RtAABC中，

4、ZACB=90。，AB=13, CDAB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合)，联结AE交边于F, ZBAE的平分线交BC于点G.(1) 当CE=3时，求Sg : Sm的值；(2) 设CE=x, AE=yt当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；(3) 当AC=5时，联结EG,若ZUEG为宜角三角形，求BG的长.图1【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也 伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借 助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何宜

5、观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数 学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B，落在矩形ABCD所在平面内，B，C和AD相交于点E,连接BD解决问题在图1中， B，D和AC的位置关系为_； 将AAEC剪下后展开，得到的图形是_:(2) 若图1中的矩形变为平行四边形时(ABHBC),如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选 其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3) 小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对 称图形，则小红折叠的矩形纸片的

6、长宽之比为；拓展应用(4) 在图2中，若ZB=30°, AB=4V3 ,当 AB，D恰好为直角三角形时，BC的长度为.【例5】如图，己知二次函数y=ax求此二次函数解析式； 点D为抛物线的顶点，试判断aBCD的形状，并说明理由； 将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M, N两点(点M在y轴的右侧),+bx+3的图象与x轴分别交于A(1,O), B(3,0)两点，与y轴交于点C备用图当AAMN为直角三角形时，求t的值.【例6】如图，抛物线y=mP+nx -3 (mO)与x轴交于A(3, 0), B(l, 0)两点，与y轴交于点C,直 线y=x与该抛物线交

7、于E, F两点.(1) 求点C坐标及抛物线的解析式.(2) P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH丄EF于点H,求PH的最大值.(3) 以点C为圆心，1为半径作圆，0C±是否存在点D,使得aBCD是以CD为直角边的直角三角形？【变式训练】1. 如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N 轴上是否存在点P,使得AlVINP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)()A. 2个 B. 3个 C4个 D. 5个2. 如图，已知A、B两点的坐标分别为(8, 0)、(0, 8),点C、F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=

8、10,点D是线段CF的中点，连接AD交$轴于点E,当'ABE面积取得最小值时，tanZBAD的值 是()173.如图，在AABC中,7179D.AB=2, AO二BO. P是直线CO上的一个动点，ZAOC=60%当ZkPAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为()A V5J.2 B. 、2厅,2 C 371 D vl0, 24. 如图，43是0 0的直径，弦BC = 2cm. F是弦BC的中点，lABC = 60&.若动点E以的速度从4点 出发沿着ArBrH方向运动，设运动时间为t(s)(O<i <3),连结EF,当"EF是直角三角形时，t (s)

9、的值为B7 79c. a或1 d. 4或1或a125. 若。点坐标(4, 3),点F是丫轴正半轴上的动点，点0是反比例函数y = (x > 0)图象上的动点，若x刃0为等腰直角三角形，则点尸的坐标是.6. 如图，长方形 ABCD 中，zA=ABC=乙BCD=zD=90°, AB=CD=J AD=BC=10,点 E 为射线 AD 上的一个动点，若与BE关于直线BE对称，当BC为直角三角形时，AE的长为7. 如图，AB为OO的宜径，C为OO上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D, E为弦AC的中 点，AD = 10, BD = 6,若点P为直径的一个动点，连接EP,当AAEP是直

10、角三角形时，4P的&如图.RtA ABC中，ZC=90°, AC=2, BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段DB ±一动 点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰RtA AOP.当P从点D出发运动至点B停止时，点O的 运动路径长为 9. 如图，AB是00的直径，弦BC=6cm, AC=8cm.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B-A的方向运动，点Q以lcnVs的速度从A点岀发沿着A-C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动设运动时间为Ms),当aAPQ是直角三角形时，t的值为10. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A (

11、71;, b), B (c, d),若点T (x, j)满足二，J = 斗那么称点T是点A, B的融合点.一 1 + 48 + (-2)例如：A (-1, 8), B (4, -2),当点 T (x, j)满足 x=l9 y=2 时，则点 T (1, 2)是点A, B的融合点.(1) 已知点A (1, 5), B (7, 7), C (2, 4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.(2) 如图，点D (3, 0),点E (/, 2/+3)是直线/上任意一点，点T (x, >)是点D, E的融合点. 试确定丿与x的关系式. 若直线ET交x轴于点当AD77/为直角三角形时，求点E的坐标.

12、411. 如图，在矩形ABCO中，AO=3, tanZACB=-,以O为坐标原点，OC为兀轴，OA为)'轴建立平 面直角坐标系.设D, E分别是线段AC, OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点 A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为f秒.(1) 求直线AC的解析式；(2) 用含的代数式表示点D的坐标；(3) 当/为何值时，AODE为宜角三角形？(4) 在什么条件下，以RtAODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于)'轴的抛物线？并请选择一种情况, 求出所确定抛物线的解析式.12. 如图，顶点为M的抛物线y = ax2+bx + 3

13、与"轴交于4(3,0), B(-1,0)两点，与，轴交于点C.备用團(1) 求这条抛物线对应的函数表达式；(2) 问在)'轴上是否存在一点P,使得心M为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说 明理由.(3) 若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足D4 = OA,过D作DG丄兀轴于点G,设AADG的 内心为试求C/的最小值.13. 如图.在等腰R仏ABC中，ZACB = 90AB = 14>/2.点D,E分别在边AB,BC上，将线段ED绕点團1图2(1) 如图1,若AD = ED,点E与点C重合，AF与DC相交于点O.求证：BD = 2DO.(2) 已知点G为

14、AF的中点. 如图2,若AD = BD、CE = 2,求DG的长. 若AD = 6BD,是否存在点E,使得是宜角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理 由14. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线人分别交兀轴和轴于点A(-3,0)、B(0,3).如图1,已知0P经过点O,且与直线厶相切于点求0P的直径长;如图2,已知直线/2： y = 3x-3分别交x轴和)'轴于点C和点D,点0是直线厶上的一个动点，以Q为圆心，2JI为半径画圆. 当点0与点C重合时，求证：直线厶与O0相切； 设O0与直线人相交于两点，连结0AA0N.问:是否存在这样的点0,使得0MN是等腰直角三角形，若存在，

15、求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.点C.(1) 求出直线BC的解析式.(2) M为线段BC上方抛物线上一动点，过M作x轴的垂线交BC于H,过M作M0丄BC于0求出厶血。 周长最大值并求出此时M的坐标；当4应0的周长最大时在对称轴上找一点使AR - MR最大，求出 此时R的坐标.(3) T为线段BC上一动点，将"CT沿边OT翻折得到公OC7,是否存在点7'使AOCT与"BC的重叠 部分为直角三角形，若存在请求出BT的长，若不存在，请说明理由.16. 在平面宜角坐标系中，抛物线y=x2+ (k-l) x-k与直线y=kx+l交于A, B两点，点A在点B的左 侧.(1

16、) 如图1，当k=l时，直接写出A, B两点的坐标；(2) 在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在宜线AB下方，试求出AABP面积的最大值及 此时点P的坐标；(3) 如图2,抛物线y=x2+ (k1) x-k (k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)，在宜 线y=kx+l上是否存在唯一一点Q,使得ZOQC=90°?若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理 由17. 在平面直角坐标系中，抛物线y = /2x + 3与x轴交于A, B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D.(1) 请直接写出点A, C, D的坐标；(2) 如图(1),在x轴上找一点

17、E,使得ACDE的周长最小，求点E的坐标；(3) 如图(2), F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得AAFP为等腰直角三角形？若存 在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.18. 如图，已知抛物线y = ax2+bx + c(aO)的对称轴为直线x = -l9且抛物线与x轴交于A. B两点, 与y轴交于c点，其中a(lo), c(o,3).(1) 若直线y = nn+n经过B、C两点，求直线3C和抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴尤=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3) 设点P为抛物线的对称轴x = -l±的一个动点

18、，求使为宜角三角形的点P的坐标.19. 已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A (0, 6), B (6, 0), C ( - 2, 0),点P是线 段AB上方抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当点P运动到什么位置时，APAB的面积有最大值？(3) 过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE/轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使APDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.20. 如图，己知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A (0, 3)、B (1, 0),其对称轴为直线1： x=2,过点A 作AC/X轴

19、交抛物线于点C, ZAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横图图(1) 求抛物线的解析式；(2) 若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并 求出其最大值；(3) 如图，F是抛物线的对称轴I上的一点，在抛物线上是否存在点P使APOF成为以点P为直角顶点 的等腰直角三角形？若存在，宜接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的 抛物线的一部分G与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲

20、线称 为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,看)，点M是抛物线C2： y = mx2-2mx-3m ( m vo)的顶点.(1) 求A、B两点的坐标；(2) “蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得APBC的面积最大？若存在，求出APBC面积的最大值； 若不存在，请说明理由； 当ABDM为直角三角形时，求m的值.22. 如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y = -討 +hx + c 经过A、C两点，与AB边交于点D.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP,连接PQ,设

21、CP=m, ACPQ的面积为S. 求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；4 当S最大时，在抛物线y = -X2+bx + c的对称轴1上若存在点F,使AFDQ为直角三角形，请直接写 出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由.2备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02因动点产生的直角三角形问【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根. 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题，常常和相似三角形、

22、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形, 这样列比例方程比较简便.【方法揭秘】我们先看三个问题:1. 已知线段AB,以线段为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2. 已知线段以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3. 已知点A(4.0),如果是等腰直角三角形.求符合条件的点3的坐标如图1,如图2,点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形，除了 0、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B,共6个.如图4,已知A(3,0), B

23、(l,4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标.我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C.如果作BDLy轴于D 那么AOCsCDB.m 1这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点.【典例分析】1. 判断点P是线段0P的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点几P的坐标.2. 分别求线段: BB点P到心'的距离：点P到的距离，就可以比较刊川与P'BB的而枳之比.满分解答(1) 当 x=l 时.卩=/ = 1,所以 (1,1), m = l.物线b的表达式为 尸OX2.代入点B2),可得0=1所以y =丄乂2 2(2) 点

24、Q在第一象限内的抛物线&上，宜角三角形Q8F存在两种情况： 如图3.过点B作B3'的垂线交抛物线&于a那么0(2, 4) 如图4, VXBB'为直径的圆D仃棚叽Ei交于点a那么QD= -BB9 =2.2设Q(x*2),因为0(0, 2).根据QD2=4列方程” +仅2 2尸=4解得x=±羽.此时Q(JJ、3) 如图因为点P2分别在抛物线弘 心设P(b占卜P© i?).2、-c2 因为o、p、p三点在同一条直线上，所以 空=竺，即M=2_.Of ON b c所以c=2b.所以P(2b,2b2).如團 6,由 4(1,1), 6(2,2)；可得

25、A4f=2, BB'=A.由A1)、P(b,砒 可得点P到直线朋的距离PMH由8(2,2)x Pf(2b, 2b2),可得点P到直线阳的距离 啲=22-2所以 PA/V与ZkPW的面积比=2(夕一1)： 4(2夕一2) = 1： 4考点伸展 第(2)中当ZBQB'=90°时，求点Q(x,F)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股立理，得BQ如图1,已知OP经过点0 且与直线h相切于点B,求OP的直径长； 如图2,已知直线?2： J=3x一别交x轴和丿轴于点C和点D,点0是宜线上的一个动点，以Q为 圆心，2血为半径画圆. 当点0与点C重合时，求证：直线h与OQ相切； 设

26、O0与直线人相交于M, N两点，连结QM, QN.问：是否存在这样的点0,使得AOMN是等腰直 角三角形，若存在，求出点0的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】1)3运：2)见解析；(3-2，6-3x/2)或(3 +迈，6 + 3血)+B'Q2=B'B2.所以(x-2)2+(W2)2+(兀+2)2+(兀22)2=42 方法三，作QH丄B'B于H,那么QH2 = BfH BH.所以(x2 2)2=(x+2) (2-x)【例2】已知在平面直角坐标系xOy中，直线/别交x轴和丿轴于点A (-3, 0), B (0, 3).（1）证明aABC为等腰直角三角形，则0P的直径长=B

27、C=AB,即可求解：（2）证明CM = AC-sin45° = 4x= 2>/2 =圆的半径，即可求解：2（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可.1V ZBOC=90°, 点 P 在 BC 上，V0P与直线相切于点B,ZABC=90°9 而 OA = OB, .ABC为等腰直角三角形， 则OP的直径长=BC=AB= 3近:（2）过点作CM丄AB.由直线 b： y=3x-3 得：点 C (1, 0),则 CM = ACsin45° = 4x2>/I =圆的Y故点M是圆与直线/i的切点,即：直线h

28、与OQ相切：当点M、N在两条直线交点的下方时，由题总得：MQ=NQ, ZMQN=90。，设点。的坐标为("?，3/h3),则点N (m,加+3,则NQ = m + 3-3m + 3 = 2y/2 , 解得：m = 3 - y/2 :当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m = 3 + 2 -故点Q的坐标为(3-血，6-3血)或(3 + 0, 6 + 3>/2)忌炼点拨解决第(3)问，要分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况求解.【例3】 如图1,在RtAAJ?C中，ZACB=90。, AB=13, CD/ABt点E为射线3 上一动点(不与点

29、C重合)，联结AE交边BC于F, ZBAE的平分线交BC于点G.(1) 当 CE=3 时，求 Sg : Sacaf 的值；(2) 设CE=x, AE=yt当CG=2GB时，求，与x之间的函数关系式；(3) 当AC=5时，联结EG,若ZV1EG为直角三角形，求G的长.1. 第(1)题中的ACEF和CAF是冋高三角形，面积比等于底边的比.2. 第(2)题中的AABC是斜边为宦值的形状不确左的宜角三角形.3第(3)题中的直角三角形A£G分两种情况讨论.(1) 如图 2,由 CEhAB?得兰= AF BA 13由于妙与AG!尸是同高三角形,所以 Smef： SgF=3 ： 13,如图3,延长

30、"G交射线仞于由 CMi.AB,得竺=£2 = 2 所以 CM=Z4B=26.AB BG由 CWAB，得Z£.V£4 = Z5-Vf又因为卫M平分乙恥E,所以ZB/= ZZ.4.W.所以ZEMA = ZEAM所以 y=EA=EM=26-x.图4(3】在 RtZUBC 中'AC=5,所以BU=12. 如图4, Z-4GZ=90°时'延长EG交 朋于嘉 那么所以G是的中点.所咲G是BC的中点，BG=6. 如團 X 当ZEG=90° 时，由厶CAFsHEGF,得 ££ = £!.FE FG 由

31、CE.AB,得 ££ =兰.FE FA所以£1 =竺又因为 厶FG= Z刃2、所以疔GS必1 FG FA所以,/E1G=乙 B 所以 ZGN_S Z0 所以 G/ GB.11作GH丄旳那么BH=AH- 2在 RtAG方刃中，由 cosZ5=,得 BG= = .BG21324考点伸畏第(3)题的第种情况，当ZAEG=90°时的核心问题是说理G4=GB.如果用四点共圆，那么很容易.如图6,由A、C、E、G四点共圆，直接得到Z2=Z4.上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7,当ZAEG=90°时，设AG的中点为P,那么PC和PE分别

32、是RtAACG和Rt/VIEG斜边上的中线,所以 PC=PE=PA=PG.所以Z1=2Z2, Z3=2Z5.如图 8,在等腰APCE 中，ZCPE= 180° -2(Z4+Z5),又因为ZCPE= 180° -(Z1 + Z3),所以Z1 + Z3=2(Z4+Z5)所以Z1=2Z4.所以Z2=Z4=ZB.所以ZGAB=ZB所以 GA = GB.【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也 伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借 助

33、图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数 学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B，落在矩形ABCD所在平面内，B，C和AD相交于点E,连接BD解决问题(1) 在图1中， B，D和AC的位置关系为_； 将AAEC剪下后展开，得到的图形是_；若图1中的矩形变为平行四边形时(ABMBC),如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选 其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3) 小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得

34、到的仍是轴对 称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为;拓展应用(4) 在图2中，若ZB=30°,当 AB，D恰好为直角三角形时，BC的长度为_.B1【答案】BD7/AC,菱形：见解析;(3)1： 1或JJ：1： (4)4 或 6 或 8 或 12.思炼点拨(1)根据折叠的相关性质即可解答，可得到展开的图形为菱形.(2) 根据四边形ABCD是平行四边形可得到ADAC = ZACB,再根据翻折的定义即可得到MEC是等腰 三角形，随之可解答.求岀AD = BC，根据翻折得到ZCB'D = ZADB',即可解答.(3) 分类讨论不同长宽比下的情况进行解答即可.求出四边形AC

35、B D是等腰梯形，再根据题意设ZADB =ZCB'D = y，解岀y,求出BC的长再分类讨 论即可.满分解礬()®BD7/AC.将AAEC剪卜后展开，得到的图形是菱形：故答案为BD7/AC,菱形：选择证明如下：四边形ABCD是T：行四边形，:.ADHBC、:.ZDAC = ZACB,将AABC沿AC翻折至 AB'C.:.ZACB，= ZACB，:.ZDAC = ZACB:.AE = CE,:.MEC是等腰三角形：二将AAEC剪卜后展开，得到的图形四边相等，将MEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形.选择证明如下，四边形ABCD是平行四边形，AD = BC .将AABC沿

36、AC翻折至 AB'C,.B，C = BC,:.B'C = AD,:.B'E = DE,.ZCB,D = ZADBZAEC = 3 ED, ZACB' = ZCAD:.ZADB' = ZDAC,:.B'DUAC.(3) 当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1:1； .ZAB'D+ZADB' = 90。，.y_30° + y = 90。，当矩形的长宽之比为石：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB'是等腰梯形，是轴对称图形; 综卜所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1:1或0 ： 1 ：(4)

37、v AD = BC, BC = BC:.AD = BC,.ACIIB'D、四边形ACB'D是等腰梯形，vZB = 30% :.ZAB,C = ACDA = 30°, AB'D是直角三角形，当 ZB'AD = 90°. AB>BC时，如图 3 中，3B'-T画寸 Hua.A C寸£寸xUQy . T 寸 MW HCQy . OOTOOEIrQEVZ. 009Hi s OOTr Q.gvz r QgulHQQV7$<zs 要慕匸=UCQV0P 006HQ5£T7TT。寸Hgy OOHN .O06H&

38、V7 。06"曾.举眾眾QEOP星勻SI O06H-QQV7 Qm二uv U/Havu空 Hua U0HGVBr5/AD = BC, BC = B'C,:.AD = BCr:ACHB'D、ZB'AD = 90°.Z5 = 30°,個=4苗，:.ZAB'C = 30°:.AE = 4, BE' = 2AE = 8,:.AE = EC = 4,.CB = 12,: AD = BC BC = B C:.AD = B'C.ACHB'D,二四边形ACDBT申腰梯形,vZAB'£> =

39、90%二四边形ACDB'是矩形，:.ABAC = 90°,.*= 30° , AB = 4/J,bc = ab'T=8: 已知当BC的长为4或6或8或12时, AB'D是直角12角形.故答案为平行，菱形，1:1或JT:14或6或8或12：解决第(4)问， ABD恰好为直角三角形时，可得ZBFD=90°( AB>BC)时，如图3；当ZADB' = 90° (AB>BC)时，如图 4：当 ZB'A£> = 90。( AB v BC )时，如图 5：当 ZAB'D = 90。时，如图

40、6：根 据这几种情况求得BC的长.45【例5】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A(1,O), B(3,0)两点，与y轴交于点C备用图（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断ABCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t>0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M, N两点（点M在y轴的右侧）， 当AAMN为直角三角形时，求t的值.【答案】（1）y = r-4x + 3：（2） A BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当 AMN为直角三角形时， t的值为1或4.（1）根据点A、B的坐标，利用待泄系数法即可求出二次函数解析式：（2）利用配

41、方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求岀 CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆泄理可证出BCD为宜角三角形；（3）根搦点B、C的坐标，利用待泄系数法可求岀直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式， 联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出 AN2、MM的值，分别令三个角为直角，利用勾股左理可得出关于f的无理方程，解之即可得出结论.満分解蓉(1) 将4(1,0)、B(3,0)代入)，=俶2+应+ 3,得:a + b + 3 = 0( a = f ,解得：仁 ，9d + 3b + 3 = 0b = -4此

42、二次函数解析式为y = x2-4x+3.(2) 淹仞为直角三角形，理由如下：/ y = x2 -4x + 3 = (x-2)-1,二顶点D的坐标为（2,-1）.当 x = 0时，y = x2 一4x + 3 = 3,点C的坐标为(o,3)点B的坐标为(3,0), BC = (3-0)2+(0-3)2 = 3>/2 BD = >/(2-3)2+(-1-o/ = >/2 , CD = J(2_0)，+(_1_3) = 2 躬.BC2 + BD2 =20 = CD2，.ZCBD = 90。,:.ABCD为直角三角形.(3) 设直线BC的解析弍为y = kx+c(k丰0) 将 B(3

43、,0), C(0,3)代入 y = kx+c9 得:解得:2直线BC的解析式为y = -兀+ 3,将门线BC向上平移r个单位得到的直线的解析式为y = -x+3+t.联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得:y = x2 -4x + 3解得：X=3 + 2f-J9 + 4/3 j9 + 4t _ 23 + 2/ +J9 + 4/2点M的坐标为(3 +豊+ 4/廿m二回卫)，点N的坐标为(3 J9 + 4/ , 3 + 2Z + 4/).2 2 2点A的坐标为(匕0),2 3 + J9 + 4f 3 + 2f J9 + 4,、/AM=1+0 =厂 + 5/ + 7-(l + /)>/9 +

44、4f ,Vz/MN2 =3 -(9 + 4/3 +j9 + 4f '3 + 2/ + J9 + 4/ 3 + 2/ - 丁9 + 4/= 18 + 8/.分三种情况考虑： 当 ZM4N = 90。时，有 AM2+AN2 =MN2,即r2+5r+7-(l+r)/9+47+r24-5r+74-(l+r)/9+47 = 18+& ,解得：右=1, 一=一2 (不合題意，舍去)； '3ZAMN = 90。时，有 AM2+MN2=AN2,即 r+5t+7-(+t)9+4i+S+St=t2+5t + 7+(+t)y/9+4i , 整理，得：*一2一8 = 0，解得：“=4. r2=

45、-2 (不合题意，舍去)； 当ZANM=90。时，有AN2+MN2=AN2, H卩 r+5r+7+(l+r)>/9+47+18 + 8r=/2+5/ + 7-(14-/)x/9+4r , 整理，得：j9 + 4/(l+f + j9 + 4/) = 0.v/>0,该方程无解(或解均为增解).综卜所述：当MA/N为直角三角形时，的值为1或4.考点伸铁(1) 根据点的坐标，利用待定系数法求岀二次函数解析式：(2) 利用两点间的距离公式结合勾股泄理的逆泄理找出BC2+BDCDS (3>分ZMAN=90。、ZAMN=90° 及ZANM=90。三种情况考虑.【例6】如图，抛物线

46、y=mx2+nx3 (m#0)与x轴交于A(3, 0), B(l, 0)两点，与y轴交于点C,直 线y =x与该抛物线交于E, F两点.(1) 求点C坐标及抛物线的解析式.(2) P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PHIEF于点H,求PH的最大值.(3) 以点C为圆心，1为半径作圆，OC±是否存在点D,使得aBCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(l)y=x2+2x-3： (2)经2：点D的坐标为：(迺，-3-西)、(-迺，-3+匹)、8 10 10 10 10(1, -3)息炼点拨(1) 设抛物线的表达式为：y = d(x

47、+ 3)(x-l) = d(x+2x-3)=tu，+2or-3d ,解出"的值即可：(2) 设点 P(X, x2+2x-3).点 M(x, -x),则 PH=2PM=2(-x-x2-2x + 3),将表达式配成顶点式即可得岀答案；(3) 分ZBCD=90。、ZCDB=90°两种情况，作出图形分别求解即可.解:(1) V抛物线与x轴交于A(3, 0), B(l, 0)两点，抛物线的表达式为：y =+ 3)(%-1) = «(x2 +2x-3)=ov +2ov-3d ,即3a=3,解得：a= 1»故抛物线的表达式为：y=x2+2x - 3：(2) 过点P作P

48、My轴交直线EF于点设点 P(X, x2+2x - 3).点 M(x, -x),则 PH 呼 PM= #(_ j _2+)= 一乳+|J+挈,当"时,PH的最大值为攀当点D在BC右侧时,过点D作DM丄y轴于点M,则CD=L OB=L OC = 3,lanZBCO - tanZCDM tana,13cosa=7io:故点D(辔,"c。沖響同理当点D (DJ在BC的左侧时,同理普同理可得：点D'(冬巴，-3+迥)：10 10当ZCDB=90°时，如右侧图，CD=OB = 1,则点D(l,3)：综上，点D的坐标为：(迺，-3-迥)、(-迺，-3+遁)、(1, -

49、3).10 10 10 10【变式训练】1. 如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N °轴上是否存在点P，使得AlVINP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)()【答案】C【详解】MN丄x轴，所以由ON=MN可知，(0, 0)和(0, 1)就是符合条件的P点：又当M运动到第三象限时,要MN=MP,且PM丄MN,设点M(x, 2x+3),则有一x=-(2x+3)解得x=-3,所以点P坐标为(0, 3)如若MN为斜边时，则ZONP=45。，所以ON=OP,设点21(x, 2x+3),则有一x=-|(2x+3),化简

50、得一2x=2x-3,这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又当点M在第二象限,MN为斜边时,这时NEMP ZMNP=45。，设点Mg 2x+3),则OP=ON而OP三MNS 有一x2x+3),解得x=-p这时点P的坐标为(0, 因此，符合条件的点P坐标是(0, 0), (0, 一扌)，(0, -3), (0. 1).2. 如图，已知乩B两点的坐标分别为(& 0)、(0, 8),点C、F分别是直线x =-5和x轴上的动点，CF=1(),点D是线段CF的中点，连接4D交y轴于点E,当A ABE面积取得最小值时，tanZAD的值【答案】B【详解】解：如图.i殳直线x=-5交x轴于K由题意

51、FD = CF = 5,J、 r电/ I rK* Jokjc=5点D的运动轨迹是以K为岡心，5为半径的圆, 当直线AD与OK相切时，ABE的而积最小， TAD是切线，点D是切点，AD 丄 KD,AK=13, DK=5,:.AD=2,OA AD OE 58 12作丄AB于H.7 72：.lanZBAD= =3故选：B.3. 如图，在AABC中，AB=2, AO=BO, P是直线CO上的一个动点，ZAOC=60%当APAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（）A. v5J,2 B.说C VJ.JZl D 2【答案】c【详解】当 ZAPB=90° 时，P0二BO,I ZAOC=60

52、°, ZBOP=60%.BOP为等边三角形，.BP=L在 RtAAPB 中，AP=AB2 BP2 = V2- I- = 3 ；情况二：如图2,oAO二BO, ZAPB=90°,.PO=AO,V ZAOC=60°,.AOP为等边三角形，.AP=AO=1；当ZABP=90°时（如图3）,J ZAOC=ZBOP=60°, ZBPO=30°,OP=2OA=2,BP=VOP二 一0 旷=V22 - l2 =莎在直角三角形ABP中，AP=v*4B= + BP- = J2=+(V3)= =：故选：C.4. 如图，是©0的宜径，弦BC =

53、2cm. F是弦BC的中点，cABC = 60".若动点E以2cm's的速度从A点出发沿着方向运动，设运动时间为t(s)(O<t <3),连结EF,当"EF是直角三角形时，t (s)的值为()7A. 4B17C. 4 或 179d. a或1或a【答案】【详解】:解：TAB是OO的直径,.zACB=90o；.-.AB=2BC=4cm： 当ZBFE=9O°时：RBEF 中，ZABC=6O% 贝ij BE=2BF=2cm；故此时 AE=AB BE=2cm：E点运动的距离为：2cim故t=ls：所以当ZBFE=9O。时,t=ls： 当ZBEF=9O&#

54、176;时；同可求得 BE=0.5cm,此时 AE=AB-BE=3.5cm：E点运动的距离为：3.5cm,故t= 1.75s： 当E从B回到0的过程中，在运动的距离是：2 (4-3.5) =lcm,则时间是：1.75芳卜综上所述，当t的值为Is或l75s和殳时,ABEF是直角三角形.故选D125. 若。点坐标(4, 3),点尸是y轴正半轴上的动点，点0是反比例函数y = (x > 0)图象上的动点，若x丹0为等腰直角三角形，则点P的坐标是【答案】(5,0),0易证得 QPAAQDB,则 BQ二QA,12点D在反比例尸兰(00)图象匕12设Q点坐标为(x,午),在 RtADPH 中，DH二3,【详解】73X4=12,作QA丄x轴于A, DH丄x轴与H. QB丄DH于B,QA=, BQ二x-4,12:=x-4| 解得 x=6 (x=2 舍去),Q点坐标为(6, 2),QA二2, PA二BD二32二1,0P 二5,P点坐标为(5, 0)：当DP=DQ, ZPDQ=90° ,如图2,作QA丄x轴于A, DH丄x轴与H, QB丄DH于B,易证得 DPH竺QDB,则 BQ二DH=3, BD二PH,12Q点坐标为 712