初中数学二次函数的应用

1、二次函数的应用目标指引1 运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，？并在运用中体会二次函数的实际意义.2 体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题.3经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，？学会运用这种转化”的数学思想方法.要点讲解1 在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，？运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2 运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题.学法指导1 当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，？建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：(1)变量的取值范围；(2) ?求最

2、值时，宜用配方法.2 有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，？再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答.例题分析【例1】如图，在 ABC中，/ B=90° AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始，？沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点 Q从点B开始，沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动，？设P, Q同时出发，问：(1) 经过几秒后P, Q的距离最短？(2) 经过几秒后 PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts,显然AP和BQ?的长度分别为AP=t, BQ=2t ( 0 w t炙.6 PQ的距离PQ

3、= =丿5忙12t 36 .因此，只需求出被开方式5t2- 12t+36的最小值，就可以求 P, Q的最短距离.【解】(1)设经过ts后P, Q的距离最短，则：/ PQ=JbP2 BQ2 =J(6 t)2 (2t)2 =(5t2 12t 365(t 6)2 144"55经过6s后，P, Q的距离最短.5(2) 设 PBQ的面积为S,11贝 U S=BPBQ= (6 -1) 2t=6t t2=9( t - 3) 222当t=3时，S取得最大值，最大值为 9.即经过3s后， PBQ的面积最大，最大面积为 9cm2.【注意】对于动点问题，一般采用 以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等

4、量关系.在 求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围.【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为 40元，在销售过程中发现： 当销售单价定为100元时，年销售量为 20万件；销售单价若增加 10元，年销售量将减少 1万 件设销售单价为 x (元)，年销售量为y (万件)，年获利额(年获利额=年销售额生产成本- 投资)为z (万元).(1) 试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；(2) 试写出z与x之间的函数关系式(不必写出 x的取值范围)；(3) 计算销售

5、单价为 160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，？销售单价还 可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？(4) 公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；？第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x (元)？应确定在什么范围？【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动,把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方10程知识来解题.【解】(1)依题意知：当销售单价定为1x元时，年销量减少10 (x- 100)万件.1 / 、 1 y=20 (x 100)

6、=x+30.10 101即y与x之间的函数关系式是 y=x+30.(2)由题意可得:z= (30 丄 x) (x 40) 500 1500= x2+34x 3200.10 101即z与x之间的函数关系式为z=x+34x 3200.10(3) 当 x=160 时,z= 1 X 1634 X 16 3200= 320, 101 o 320=x2+34x 3200 ,10即 x2 340x+28800=0.K由 X1+X2=得，160+x=340, - x=180.a即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元.1当 x=160 时，y= X 160+30=14 10 亠 1当 x=180 时，

7、y= X 180+30=1210所以相应的年销售量分别为14万件和12万件.11(4) / z=x2+34x 3200= ( x 170) 2 310,1010当x=170时，z取得最大值为一310.310万元就可以收回即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差全部投资.第二年的销售单价定为 x元时，则年获利额为: z ' (30 x) (x 40) 310= x2+34x 1510.10 101当 z ' =113时，即 1130= x2+34x 1510,10解得 xi=120, X2=220.1函数z ' 一x2+34x 1510的大致图象如图

8、所示.由图象可看出: 当 120 < x < 220, z > 1130第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.练习提升一、基础训练1 .函数y=j2x2 4x 5的最大值是 2 .炮弹从炮口射出后飞行的高度h （米）与飞行的时间 t （秒）之间的函数关系式为h=votsin a5t2，其中V是发射的初速度，a是炮弹的发射角，当 Vo=300米/秒，a =300°，炮弹飞行的最大高度为 米，该炮弹在空中飞行了 秒落到地面上.如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点 O到水面的距离为2.4米,在图中的直角坐标系中，涵洞所在

9、抛物线的函数关系式为如图，直角三角形 AOB中，AB丄OB,且 AB=OB=3,设直线x=t?截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为（D.h1丄OCD*5如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米,顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，？该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（）A. 2.80 米B. 2.816 米C. 2.82 米D. 2.826 米16 .如图，今有网球从斜坡 OA的点O处抛出，？网球的抛物路线的函数关系是y=4x x2,斜坡21的函数关系是y=-x2，其中y是垂直高度，x是与点O的水平距离

10、.2（1 ）求网球到达的最高点的坐标;(2)网球落在斜坡上的点 A处，写出点A的坐标.7 .某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，？物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1) 求平均每天销售量 y (箱)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式；(2) 求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式；(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？8 如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时

11、，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m .(1 )建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25m处出手，问球出手时，他跳离 地面的高度是多少？、提高训练9 如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是y=ax2;y=bx2;2；y=dx 2 .则a，b, c, d的大小关系为（）A. a>b>c>da>c>b>dD. d>c>b>a10 .为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，？正好射中了 2.4m高的球门横梁，若

12、足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c （如图）.？有下列结论：a+b+c>0 ；1<a<0;a b+c>0;0<b< 12a.其中正确的结论是（）60A.B.C.D. 11.如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A出发，沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点 Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：（1 ）设运动后开始第t秒时，五边形 APQCD的面积为S （单位：厘米2）,写出S与t?之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；（2） t为何值时S最小？并求出S的最小值.12.如图，有一边长为

13、 5cm的正方形 ABCD和等腰 PQR PQ=PR=5cm QR=8cm,点B, C, Q,R在同一直线L上，当C, Q两点重合时，等腰 PQR以1cm/s的速度沿直线L?按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰 PQR?重合部分的面积为 S (单位：cm2).(1 )当t=3s时，求S的值；(2 )当t=5s时，求S的值；(3)当5Wt w时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值.13如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船冋时出发，甲船以每小时12km 的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，?何时两船相距最近？最近距离是多少？A乙ABf

14、B三、拓展训练14.如图，在直角梯形 ABCD中，/ A= / D=90° 截取 AE=BF=DG=x 已知 AB=6, CD=3, AD=4,求：(1)四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围;(2)面积S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由;(3 )当x为何值时,S的数值等于x的4倍?答案：I .32. 1125, 303. y= 3.75x24. D 5. B7、6. (1) (4, 8)(2) A (7,27 . (1) y= 3x+240(2) W= 3x2+360x 9600(3) 当每箱定价为55元时，可获利大利润为1125?元8 . (1) y=