2015-2019年北京市中考数学分类对比分析与分类汇编-近8年中档题

1、解答题11 实数的运算知识点（次数） 年份（题号）19 (17 题)18 (18 题)17 (17 题)16 17题)15 (17 黒!) 14 (14D (13 14|§) (12 13是特殊角的三角函数（8次）sin 60°Sin 45°cos 30°Sin 45°S 泊 60°tan 30°cos45oSin 45°0次幕（8次）(4-)( 一 2)o(I- 2)(3-)o(兀-7)o(6-)(I- 3)o( 3)o绝对值（正有理数、 负无理数、有理数与 无理数的差）（7次）-3-11-33-2-3IWl二次

2、根式（4次）18i218负指数幕（5次）（4（舟(-)-118丿必考知识和方法：特殊角的三角函数值、绝对值、零次幕、二次根式化简、负指数幕【2019年 17题】计算:-3-(4- )° + 2sin6O + (_)-i.2018 年 18题】计算：4sin45o +( -2)018 +-11.【2017年 17题】计算：4cos30+(1-5)° -2÷【2016年 17题】计算：(3-)o + 4sin 45-【2015年 17题】计算：Q-2_(兀滴o+ B-Z+4SI6UQO【2014年14题】计算:(- )3t8n30° Hy3【2013年14题

3、】计算:(1 -12cos45o + 丄UJ【2012年13题】计算：G -3）。弋厂I8-2sin45。2.不等式(组)的求解必考知识和方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、将解集表示在数轴上，写岀不等式(组)的解集、写岀特殊解4(x-1)<x+2z【2019年18题】解不等式组：+7n->X3(x+1)>x-1,【2018年19题】解不等式组：(x + 9>2x2(x+D >3-7【2017年18题】解不等式组：< + 10 Ck>2×2x+5>3(x-1)【2016年18题】解不等式组：<,x÷7Il

4、 4x> 4(x+1)7x+10【2015年19题】解不等式组< -8，并写出它的所有非负整数解。逹-5< 丁34年15题】解不等式麥旁弓并把它的解集在数轴上表示出来.-4-3-2-1012343x> x-2【2013年15题】解不等式组：<X + 1>2x【2012年14题】解不等式组:f4x-3> X, x + 4< 2x-1.3.元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解知识点 年份(题号)19 （19题）18 （20题）17题)16 （20题）14 （17题）13 （18题）给方程判断方(1)给参数的(1)证明有两(1)证明有两程根的情况关

5、系判断方程 根的情况实根实根已知方程根的 情况求参数的 取值有实根且参数 为正整数，求 参数的值，并 解方程(2)有两相等 的实数根，写 参数的值，求 方程组的解(2 ) 一根 V1, 求参数(1) 求参数的 取值范围(2) 任写参数 的值，求方程 组的解两实g 都是整数，求 参数(1) 求参数的 取值范围；(2) 参数为正 整数，根是整 数求参数必考考点和方法：根据判别式b24ac的值判断方程根的情况，根据方程根的情况列方程或不等式求参数的取值范围，确定参数的值再解方程【2013年18题】已知关于X的一元二次方程2+2x÷2k-4=0有两个不相等的实数根(1) 求k的取值范围；(2

6、) 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。V 2+ 打 v + rr- _> 1 【2016年20题】关于X的一元二次方程 +(2m 八"有两个不相等的实数根。(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根。【2019年19题】关于X的方程×2-2x+2m-1 = °有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.【2014年17题】已知关于X的方程m2-(m + 2)x+2= 0(m 0).(1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数RI的值.【2017年21题】关于X的一元二次方程

7、5;2-(k + 3)x+2k+2= 0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.【2018年20题】关于X的一元二次方程ax2+bx+1=0.当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a, b的值，并求此时方程的根.4 四边形中的证明与计算知识点及出现次数 年份19 （ 20题）18 （ 21题）17 （ 22题）16 （ 23题）15 （ 22题）14 （ 19 题）13 （ 19题）12 （ 19题）题目背景菱形背景 下的证明 和求线段 的长度四边形背 景下菱形 的判定和 求线段的 长度四边形背

8、景卜菱形 的判定和 求线段的 长度；四边形中 的线段关 系和计算（和三角 形计算有 关）平行四边 形背景下 矩形的判 定和角平 分线的证 明平行四边 形背景下 菱形的判 定和求线 段的长度平行四边 形背景下 平行四边 形的判定 和求线段 的长度；四边形中 的求线段 长度和求 四边形面 积（和三 角形相 关）平行线的性质（6 次）平行四边形的判定（5次）7角平分线（5次）勾股定理（5次）解直角三角形（5次）菱形的性质（4次）平行四边形的性质（3次）菱形的判定（3次）直角三角形斜边中线定理（3次）J /7等腰三角形的判定（3次）7等腰三角形的性质（2次）三角形内角和（2 次）等边三角形的判定和性质

9、（2次）线段中点（2次）平行线的判定（1 次）三角形中位线定理（1次）1 /7矩形的判定（1次）矩形的性质（1次）求三角形面积（1 次）必考考点和方法：平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三 角形、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理、含30。角的直角三角形、四边形问题转化为三角形问题。【2019年20题】如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E, F分别在AB, AD上，BE=DF,连接EF.(1)求证：AC1EF； (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O,1若 BD=4, tanG=2,求 AO 的长.知识点：菱形的性质；等

10、量减等量差相等；等腰三角形三线合一；平行线 的判定和性质；解直角三角形方法：(1)由菱形的性质得出AB=AD, AC丄BD, OB=OD,得出AB： BE=AD: DF,证出EFBD即可得出结论;(2)由平行线的性质得出ZG=ZADO,由三角函数得出tanG=tanZADO,得出OA= OD,由BD=4,得出OD=2,得出 OA=I.【2018年21题】如图，在四边形ABCD中，ABDC, AB=AD,对角线AC, BD交于点O, AC平分ZBAD,过点C作CE丄AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 若 AB=, BD=2,求 OE 的长.知识点：角平

11、分线的定义；平行线的性质；等量代换；等角对等边；平行四 边形的判定；菱形判定；菱形性质；勾股定理；直角三角形斜边中线定理 方法(1)先判断出ZOAB=ZDCA,进而判断出Z DAC=ZDAC,得岀CD=AD=AB,即可得出结论;(2)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=1,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.【2017年22题】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC, AD=2BC, ZABD=90o, E为AD的中点， 连接BE.(1) 求证：四边形BCDE为菱形；(2) 连接 AC,若 AC 平分ZBAD, BC=I,求 AC 的长.知识点：线段中点定义；等量代换；平行四边

12、形判定；直角三角形斜边中线定理；菱形判定；角平分线定义；平行线的性质；等角对等边；解直角三角形；菱形性质；勾C股定理；三角形内角和方法：(1)由DE=BC, DEBC,推岀四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；(2)在Rt ADC中只要证明ZADC=60 , AD=2即可解决问题【2016年23题】如图，在四边形ABCD中，ZABC=90o, AC=AD, M, N分别为AC, CD的中点，连接BM,MN, BN(1) 求证:BM=MN;(2) ZBAD=60o, AC 平分ZBAD, AC二2,求 BN 的长.知识点：直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；等量代换；角

13、平分线定义；三 角形内角和；等边三角形判定和性质；平行线的性质；勾股定理1方法：(1)根据三角形中位线定理得MN= AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM= C,由此即可证明.(2)首先证明ZBMN=90° ,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题.【2015年22题】在Y ABCD中，过点D作DE丄AB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF, BF.求证：四边形BFDE是矩形；(2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF 平分ZDAB.知识点：平行四边形的判定和性质；矩形的判定；矩形的性质；勾股定理; 等量代换；等边对等角；角平分线定义方法：(1)根据平行四边形的性质，

14、可得AB与CD的关系，根据平行四边 形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；(2)根据平行线的性质，可得ZDFA=ZFAB,根据等腰三角形的判定与性质，可得ZDAF=ZDFA,根据角 平分线的判定，可得答案.【2014年19题】如图，在Y ABCD中，AE平分ZBAD,交BC于点E，BF平分ABC,交AD于点F, AE与BF交 于点P,连接EF, PD.(1) 求证：四边形ABEF是菱形；(2) 若 AB=4, AD=6, ZABC=60°,求 tanZADP 的值.知识点：平行四边形的判定和性质；平行线的性质；角平分线定义；等量代换；等角对等边；菱形判定；菱

15、 形性质；解直角三角形；锐角三角函数方法：(1)先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE, AB=AF, AF=BE, 从而证明四边形ABEF是菱形；(2)作 PH丄AD 于 H, WOI>ABEF½ 4BC=60° , AB=4,得到 AB=AF=4 ZABF=ZADB=30° ,AP丄BF,从而得到PH=V3, DH=5,然后利用锐角三角函数的定义求解即可.【2013年19题】如图，在Y ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E,使CE=-C,连接DE, CF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若 AB=4,

16、 AD=6, ZB=60o,求 DE 的长.知识点：平行四边形的判定和性质；线段中点定义；解直角三角形；勾股定理方法：（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知ADBC,且AD=BC;然后根据中点的定义、 结合己知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE,且DFCE）,即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，如图，过点D作DH丄BE于点H,构造含30度角的直角ADCH和直角 DHE.通过解直角 DCH和在直角厶DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度.【2012 年19题】 如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC, BD交于点EZBAC = 90o, ZCED = 45。，Z

17、DCE = 30o, DE=J, BE = 2JT求CD 的长和四边形ABCD 的面积.知识点：解等腰直角三角形、解含30°角的直角三角形；对顶角相等；求三角形而积；求四边形面积 方法：作DH丄CE交AC于点H,解等腰Rt DEH,得DH长，再解含30°的RtDCH得CD长。再有对 顶角相等及题设条件解等腰Rt ABE,得到AE的长，将四边形而积转化为AACD和AABC的而积和即可。5圆的有关证明和计算知识点及使用次数 年份19 （ 22题）18 （ 22题）17 （ 24题）16 （ 25题）15 （ 24题）14 （ 21题）13 （ 20题）12 （ 20题）直接用圆

18、的定义切线的性质（7次）垂径定理（5次）7解直角三角形（含三角函数）（5次）勾股定理（4次）相似（4次）7等腰三角形的性质（3次）7圆周角定理及推论（2次）7平行线的判定（2次）7弧弦圆心角关系定理（2次）切线的判定（2次）切线长定理（2次）7全等三角形的判定（2次）平行线分线段成比例（2次）等腰三角形的判定（1次）平行线的性质（1次）平行四边形的判定（1次）等边三角形的判定（1次）等边三角形的性质（1次）角平分线（1次）7必考知识及方法：圆的定义、垂径定理、切线的性质和判定、圆周角定理、弧，弦，圆 心角的关系、常用辅助线的添加、锐角三角函数、勾股定理、特殊三角形（等腰、等边、 直角）的性质和

19、判定、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定【2019年22题】在平面内，给定不在同一直线上的点A, B, C,如图所示点O到点A, B, C的距离均等于a （a 为常数），至IJ点O的距离等于a的所有点组成图形G, ZABC的平分线交图形G于点D,连接AD, CD.（1）求证:AD=CD;（2）过点D作DE丄BA,垂足为E,作DF丄BC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求 直线DE与图形G的公共点个数B ÷ C知识点：圆的定义、三角形外接圆、圆周角定理、垂径定理、切线的判定方法：1 根据题中语句能准确画出图形G即AABC的外接圆，再用圆周角、弧、弦

20、的关系得出结论；2.能根据题中条件猜测并用垂径定理证明BC是直径，再判定DE是圆的切线。【2018年22题】如图，AB是OO的直径，过OO外一点P作OO的两条切线PC, PD,切点分别为C, D,连接OP, CD.（1）求证：OP±CD;（2）连接AD, BC,若ZDAB=50o, ZCBA=70o, OA=2,求 OP 的长.知识点：切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形方法：1 方法一：直接用切线长定理和垂径定理得出结论；方法二：用全等三角形的判定和性质、垂径定理得岀;2能用圆内等腰三角形的性质得出等边三角形OCD,再解直角三角形即可。2017年24题】如图，AB

21、是G)O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC丄OA于点C，过点B作。 O的切线交CE的延长线于点D(1) 求证:DB=DE;(2) 若 AB二 12, BD二5,求G)O 的半径.知识点：垂径定理、切线的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理方法：1.能用切线的性质和等量代换得到角相等，再用等腰三角形的判定得出边相等；2关键在于会常用辅助线的添加，并用锐角三角函数和勾股定理求出半径。也可用相似三角形得出对应的比例 式求解。【2016年25题】如图，AB为。O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D,过点D作G)O的切线,交BA的延长线于点E.求证:AC DE;(2)连接C

22、D,若OA=AE=a,写岀求四边形ACDE面积的思路.知识点：垂径定理、切线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质和判定 方法：1能用垂径定理和切线的性质分析出两直线平行；2能猜测出四边形ACDE是平行四边形并证明，会常用辅助线的添加方法，会利用特殊三角形解决问题。【2015年24题】如图，AB是(DO的直径，过点B作C)O的切线BM,弦CDBM,交AB于点F,且DA=DC,连接AC, AD,延长AD交BM于点E(1) 求证：ACD是等边三角形；(2) 连接OE,若DE=2,求OE的长.知识点：切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理 方法：1 能用垂径定理

23、及切线的性质分析出弦相等，从而证出等边三角形；2能做出辅助线，构造出直角三角形，用等边三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定 理求解。【2014年21题】如图，AB是OO的直径，C是弧AB的中点，C)O的切线BD交AC的延长线于点D, E是OB的 中点，CE的延长线交切线BD于点F, AF交(DO于点H,连接BH.(1) 求证:AC=CD;(2) 若OB=2,求BH的长.知识点：切线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。方法：1 能正确作岀常用辅助线OC,并能根据等腰三角形三线合一得出OC丄AB,能由切线的性质得出BD丄AB, 从而得到OC/BD,再用平行线分线段成比例得出AC=CD;2.

24、能判定出其中的全等三角形，并能发现其中的双垂直模型，用相似三角形的性质得出比例式。【2013年20题】如图，AB是OO的直径，PA, PC分别与C)O相切于点A, C, PC交AB的延长线于点D, DE丄PO交Po的延长线于点E。(1) 求证：ZEPD=ZEDO(2) 若 PC=6, tanZPDA=,求 OE 的长。(第2Q题)知识点：切线长定理、切线的性质、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理方法：1根据切线长定理和切线的性质可直接得岀结论；2.能根据题意做出常用辅助线OC,能由给岀的正切值求出CD=4,由第一问的结论证出 OEDSADEP,由相似的性质和勾股定理求出OE长。【2

25、012年20题】已知：如图，AB是。O的直径，C是O±一点，OD丄BC于点D,过点C作。O的切线，交OD的延长线于点E,连结BE.（1）求证：BE与（DO相切;2连结AD并延长交BE于点F,若OB=：9, Sin ABC=I,求BF的长.3知识点：垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数方法：1 能根据要证明的结论做出辅助线，证明三角形全等，得对应角相等，从而证出相切。2能根据条件想到用三角形相似来求，由此想到辅助线的构造方法，再用三角函数求岀相应的线段长，用相似三角形的性质得岀比例式。6 次函数与反比例函数知识点 年份（题号）19 （

26、25题）18 （23题）17 （23 题）16 （21 题）15 （23题）12 （17 题）题目类型整点类整点类数形结合不等 式及取值范围 类一次函数与不 等式线段倍分关系 类面积类函数类型一次函数一次函数与反比例函数一次函数与反比例函数一次函数一次函数与反比例函数一次函数与反比例函数考 察 内容画函数图彖找特殊点 （与坐标轴 交点、临界 上、/匚海、八、丿n、丿9丿榊赋（4次）求点的坐标（3次）7整点砸（2 次）77求参数的取值（2次）一次函数中 k与图象的 关系（1次）求线段的长（1次）比较函数值 大小（1次）三角形的面积（1次）解 法 （6 次）彼寸论（4 次）待定系数法（4次）方程组

27、（1 次）特殊与一般（1次）次）相似（1次）拆分（1次）必考知识点和方法：待定系数法求解析式、由线段之间的关系求系数的取值、由面积得线段长，由线段长得点的坐标，利用交点坐标比较两个函数值的大小、正确画岀函数图 象、数形结合、分类讨论【2019年25题】在平面直角坐标系XOy中，直线I： y=k×+l（k）与直线x=k,直线y=-k分别交于点 a, B,直线X= k与直线y=-k交于点C.（1）求直线I与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB, BC, CA围成的区域（不含边界）为W当k = 2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；若区域W内没有整点，直接写

28、出k的取值范围.方法：一次函数与坐标轴的交点、能分析出一次函数解析式中k与图彖的关系、和直线上的点比较找整点、分类讨论2018年23题】在平面直角坐标系Xoy中，函数y丄(x>0)的图象G经过点A (4, 1),直线I： y=占÷b与图T4象G交于点B,与y轴交于点C.(1) 求k的值；(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图彖G在点A, B之间的部分与线段OA, OC, BC围成的区 域(不含边界)为w. 当b=1时，直接写出区域W内的整点个数； 若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.方法：待定系数法、反比例函数与一次函数及坐标轴的交点、通过比较分析整点、

29、数形结合、分类讨论【2017年23题】如图，在平面直角坐标系Xoy中，函数y= (x>0)的图象与直线y=x2交于点A (3, m).(1) 求k, m的值；(2) 已知点P (n, n) (n>0),过点P作平行于X轴的直线，交直线y=x2于点IZM,过点P作平行于y轴的直线，交函数y=-(x>O)的图彖于点N. 当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； 若PN>PM,结合函数的图象，直接写出n的取值范围.方法：待定系数法求解析式、用点的坐标求线段长、数形结合、分类讨论【2016年21题】如图，在平面直角坐标系XOy中，过点A (-6, 0)的直线

30、9;1直线Y y=2x相交于点B (m, 4)。(1) 求直线Ll的表达式；(2) 过动点P(nQ)且垂于X轴的直线与5%勺交点分别为CQ,当点C位于点D 上方时，写出n的取值范围。方法：待定系数法求解析式、数形结合、由交点坐标比较两个函数值的大小2015年23题】在平面直角坐标系XOy中，直线y=kx+b(k0)与双曲线y=夕的一个交点为P(2,m),与X轴、yX轴分别交于点A, B.(1) 求口的值；(2) 若RA=2AB,求k的值.方法：由点在曲线上求点的坐标、由线段之间的倍数关系求系数、数形结合、分类讨论【2012年17题】如图，在平面直角坐标系Xoy中，函数y= -(x>)的图

31、象与一次函数Xy=kx-k的图象的交点为A(m, 2).(1) 求一次函数的解析式；(2) 设一次函数y =kx-k的图象与y轴交于点B ,若P是X轴上一点，且满足 PAB的面积是4,直接写岀点P的坐标方法：待定系数法求解析式、由面积得线段长、由线段长得点的坐标、数形结合7 其他考点【2019年23题】小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： 将诗词分成4组，第i组有Xj首，i=1, 2, 3, 4； 对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵, 其它天无需背诵，i =1, 2, 3, 4第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7

32、天第1组X1X1X1第2组X2X2X2第3组第4组X4X4X4每天最多背诵14首，最少背诵4首. 解答下列问题：X(1)填入3补全上表;(2) 若× =4, X =3, X =4,则£的所有可能取值为1234(3) 7天后，小云背诵的诗词最多为首.考点：数字的变化规律、不等式的应用。方法：正确理解题意，能用不等式的知识解决该题。【2018年17题】下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线丨及直线丨外一点R 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图， 在直线丨上取一点A,作射线FA,以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B; 在

33、直线I上取一点C（不与点A重合），作射线BC,以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q 作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明:TAB=, CB=,PQ 1（填推理的依据）考点：尺规作图，三角形中位线定理。考点：全等三角形方法：平行得角等、角平分线得角等、边角边证全等、角角边证全等、全等三角形得边等角等、等腰三角形三线合一、等量代换【2017年19题】如图，在2ABC中，AB=AC, ZA=36o, BD平分ZABC交AC点D。求证：AD=BC2016年19题】如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分ZBAD交DC的延长线于点E.求证：DA=DE【2015年20题】如图，在ZXABC中，AB=AC, AD是BC边上的中线，BEl点Eo求证：ZCBE = ZBAD o.Com【2014年13题】如图,点B在线段AD上，BCDE, AB=ED, BC = DB.求证:ZA=ZE.【2013年13题】如图,已知D 是 AC 上一点，AB=DA, DEAB, ZB=ZDAEO求证:BC=AEO（第13题）【2012年16题】已知：如图，点E, A, C在同一条直线上，ABCD, AB = CE