导数题型分类大全同名6159

1、导数题型分类一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：导数的定义及计算a处的导数为A,求limt of a 4t f a 5tf a 4t f a 5tf a 5t f a 4t斛：lim;= lim;t 0tt 0t2 .求y V二在点x 3处的导数。x2 31 323 .若函数 f(x)满足，f(x) -x2x ax (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数v-3 或 a>6 C.-3<a<6 D.a v-1 或 a>2题型三：利用导数几何

2、意义及求切线方程1 .曲线y 4x x3在点1, 3处的切线方程是y x 2 2.若曲线f(x)x x在P点处的切线平行于直线 f (1) x2 x,则 f(1)的值3一a .1) =4 .设曲线y eax在点1)处的切线与直线x 2y 1 0垂直，则5 .利用导数求和：Sn=1+2x+3xA2+.+nxAn-1,(x不等于0且不等于题型二：利用导数研究函数的极值、最值。1 . f(x) x3 3x22在区间1,1上的最大值是22_2 .已知函数y f(x)x(x c)在x 2处有极大值，则常数c=63 .5.已知函数f (x)a的取值范围是(A.-1vav2B.a3x y 0,则p点的坐标为

3、 (1,0)3 .函数y 1 3x x有极小值1 ,极大值 343,若曲线y x的一条切线l与直线x 4y8 0垂直，则l的方程为4x y 3 O（2）曲线y过点P（3,5）的切线;4.求下列直线的方程：（注意解的个数）32.(1)曲线y x x 1在P(-1,1)处的切线;解：（1） 点P（ 1,1）在曲线 y x3 x2 1上， y/2/3x2 2x k y|x1 3-21所以切线方程为y 1 x 1 ,即x y 2（2）显然点P（3,5）不在曲线上，所以可设切点为 A（x0，y0），则y02x0又函数的导数为y/ 2x所以过A（x0，y0）点的切线的斜率为ky/|x x0 2x0 ,又切

4、线过A（xo，y0）、P（3,5）点，所以有2x0X0 3，由联立方程组得,x01 或 x05V。1 一 y。25,即切点为（1, 1）时，切线斜率为k1 2x0 2;当切点为（5, 25）时，切线斜率为k2 2x010 ;所以所求的切线有两条，方程分另IJ为 y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5),即y 2x 1 或y 10x 256.设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点TT p处切线倾斜角的取值范围为0,-,则点P横坐标的取值范围为（）B. -1,0C. 0,1D. 2, 17.下列函数中，在（0, +8）上为增函数的是（A.y=sinxB.xy xeC.D.y=

5、ln(1+x) x8.设 f(x),g(x)是 R上的可导函数，（x）, g （x）分别 为f（x）,g（x）的导数，且f (x)g(x) f (x)g (x)0 ,则当a<x<b时，有（A.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)B.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)10.（本题12分）已知函数f （x）ex ax 1 ,求f（x）的单调增区间题型四：利用导数研究函数的单调性，极值、最值2f （x）1 .已知函数f（x） x 2ax a在区间（一°°, 1）上有最小值

6、，则函数g（x） 在区间（1,x+ 8）上一定（）A.有最小值B. 有最大值 C.是减函数D. 是增函数2 .已知函数f(x) ax3 bx 3x在x1处取得极值，求过点 A(0, 16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.3 .已知函数f (x) xln x(1)求f(x)的最小值 (2)若对所有x>1都有f(x) >ax-1,求a的取值范围.1 24.已知函数f (x) x ln x,其中a为大于零的常数. 2a(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x 1,2时，不等式f(x) 2恒成立，求a的取值范围.325.已知函数f(x) x ax bx c,过曲

7、线y f(x)上的点P(1, f (明的切线方程为y=3x+1 (l)若函数”*)在*2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 yf(x)在3, 1上的最大值；(出)若函数y f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解：(1)由 f (x) x(2)f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2). ax2 bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax b.过yf(x)上点p(1,f(1)的切线方程为：y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过y f (x)上P1, f(1)的切线方程为y 3x

8、1.3 2a b 3 2a b 0即故ac3a c3. y力在*2时有极值，故f ( 2) 0, 4ab 12 32由得 a=2 , b=-4, c=5. . f(x) x 2x 4x 5.2一 一3 x2时，f(x) 0;当 2 x 时，f(x) 0;32f(x)在3, 1上最大值是13。b，由知2a+b=0。当3 x 1 时，f(x) 0. f(x)极大 f( 2) 13 又 f 4,2(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x) 3x 2ax依题意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) >0,即 3x2 bx b 0.bx 1 时，f(x)min f (1) 3 b

9、b 0, b 6当 6bx2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b当 66 g12b b2加2 1 时，f(x)min 0,则0 b 6.当 b12综上所述，参数b的取值范围是0，)32,6 .已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x1时取极值，且f( 2)4.求函数y f(x)的表达式；(2)求函数y f(x)的单调区间和极值； 若函数g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间m 3,n上的值域为 4,16,试求m、n应满足 的条件.2解：(1) f(x) 3x 2ax b,由题意得，1, 1是3x2 2ax b 0的两个根，解得，a 0, b 3.3再

10、由 f( 2)4可彳导c2 .f (x)x3x2(2) f (x) 3x2 33(x 1)(x1),当 x 1 时，f (x)0.当 x1 时，f(x)0；当 1 x 1 时，f (x) 0；当 x 1 时，f (x) 0 ；当X 1时，f (x) 0. .函数f(x)在区间(，1上是增函数； 在区间 1,1上是减函数；在区间1,)上是增函数.函数f(x)的极大值是f( 1) 0,极小值是f(1)4.(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间 3,n m上的值域为 4 4m,16 4ml (m 0).而 f ( 3)20

11、,4 4m 20 ,即 m 4 .于是，函数f(x)在区间 3,n 4上的值域为 20,0.令f(x) 0得x 1或x 2,由f(x)的单调性知，WJn 4 2,即3制n 6综上所述，m、n应满足的条件是：m 4,且3刑n 6.1 a7.已知函数 f(x) x alnx , g(x) ,(a R).x(n)设函数h(x) f(x) g(x),求函数h(x)的单调区间；(出)若在1,e上存在一点xo,使得f(x0)g(xo)成立，求a的取值范围7,设函数 f(x) x(x a)(x b)(1)若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为2 ,且f(x) 在x 1处取极值， 求实数a,

12、b的值；(2)当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数f (x)总有两个不同的极值点.2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由题意f (2)5, f (1) °,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)当 b=1 时，令f(x) 0得方程 3x2 2(a 1)x a 0.2因 4(a a 1)0,故万程有两个不同实根 x1 ,x2 .''.、不妨设x1 x2 ,由f (x) 3(x x1 )(x x2)可判断f (x)的符号如下：当 x x1 时，f (x) > 0 ；当 x1x x2时，f (x) v 0 ；当 x x2时，f (x) >

13、; 0因此x1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1 .如右图：是f (x)的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则 f (x)的图象只可能是(A)(B)(Q(D)y x3 4x 1的图像为2.函数 3( A )3方程2x3 6x2 7 0在(0,2)内根的个数为A、 0 B 、 1题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围-1322f(x) x 2ax 3a x b,0 a 1.1.设函数3(1)求函数f (x) 的单调区间、极值.(2)若当x a1,a2时，恒有1f (x)| a,试确定a的取值

14、范围.解：(1) f (x)22x 4ax 3a = (x 3a)(x a) 令 f (x) 0得 x1a, x23a列表如下：x(-00, a) a(a, 3a) 3a(3a, +°0)f (x)-0+0f(x) 极小 Z极大 f(x)在(a, 3a)上单调递增，在(-OOa)和(3a, +00)上单调递减f极小(x)x a时，b -a33, x3a时，7小(刈 f (x)x22_4ax 3a . . 0a 1, 对称轴x 2a a 1, f (x)在a+1 , a+2上单调递减2/ /fMax(a 1) 4a(a1)23a 2a 1fmm(a 2)2 4a(a2) 3a2 4a

15、4依题1f (x) | fmin | a 即 12a1| a,14a 4|4- a解得51，又0 a，a的取值范围是41)2.已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3与x= 1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f (x)的单调区间 若对x 1,2，不等式f (x) c2恒成立，求c的取值范围。解：(1) f (x) = x3+ ax2+bx+c, f (x) =3x2+2ax+b212由 f (3)=94,八1a+ b = 03, f (1) = 3+ 2a+b = 0得a=2b= 2f (x) =3x2 x2= (3x + 2) (x1),函数f (x)的单调区间如

16、下表:x2(一 ,3)232(-3,1)1(1, + )f (x)十0一0十f (x)极大值极小值所以函数f (x)的递增区间是(一 ，一3)与(1,+ )，递减区间是(一 3,1)12名(2) f (x) = x3 2 x2 2x + c, x 一 1, 2，当 x= - 3 时，f (x) = 27 +c为极大值，而f (2) =2+c,则f (2) = 2+c为最大值。要使 f (x) c2 (x 1, 2)恒成立，只需 c2 f (2) =2+c,解得 c 1 或 c 2题型七：利用导数研究方程的根v -1.已知平面向量a=(3, 1).v b=(2, 2 ).v vv uvvv v

17、v(1)若存在不同时为零的实数k和t ,使x = a+(t2 3) b, y =-ka +tb, x，y,试求函数关系式k=f；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t) k=0的解的情况v v v解：(1) X，y , xv vy =0 即a +(t2-3)b (-k a +t b )=0.v2v vv2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b + (t2- 3) b =01v vv2v2a b=0, a =4, b =1, .上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)(2)讨论方程14 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线1f(t)=4 推2-3)与

18、直线y=k的交点个33于是 f' (t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令f' (t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f' (t)、f(t)的变化情况如下表:t(- oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f' (t)+0-0+F(t)极大值极小值1当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数 他)=4 t(t2-3)的图象如图1321所示,可观察出：11当k> 2或k< 2时，方程f(t) k=0有且只有一解；11(2)当k= 2或k= 2时，方程f

19、(t) k=0有两解；11(3)当一2 v kv 2时，方程f(t) k=0有三解.2.已知函数f(x) kx3 3(k 1)x2 2k2 4,若f (x)的单调减区间为(0,4)(I)求k的值； 2_ (II)若对任意的t 1,1,关于x的万程2x 5x af(t)总有实数解，求实数a的取值范围。1 4分t 1时 f (t) 08a 25 a 82解：(I) f (x) 3kx 6(k 1)x 又 f (4) 0, k 2(II) f (t) 3t 12t1 t0日if (t) 0;02且 f( 1)5, f (1)3, f (t)5 2x 5x8a 25155tH导 a一 12 分88题型

20、八：导数与不等式的综合1,设a 0,函数f(x) x3 ax在1,)上是单调函数.(1)求实数a的取值范围；设 x0., f(x).，且 9两)丸,求证：f(x0) x0. 22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是单调递减函数，则须y0,即a 3x ,这样的实数a不存在.故f (x)在1,上不可能是单调递减函数.若f(x)在1,上是单调递增函数，则aw 3x2,2由于x 1,，故3x3.从而0<a< 3.(2)方法1、可知f (x)在1, 上只能为单调增函数.若1 w x0 f (x0),则 f (x0 ) f ( f (x0 ) x0矛盾，若 1 w f (

21、x0) x0 , 则 f ( f (x0) f (x0 ), 即 x0 f (x0 )矛盾 故 只有f(x0) x0成立.3ax0 u,u aux0,两式相减得2u1a)0, x0、,0 > 1,u >1,1 a 03 方法 2 :设 f(x0) uJf(u) x0 ,x0332(x0u ) a(x0 u) u x0(x0 u)(x°x°u2222x0 x0uu 3,又 0 a3x0x0uu,23f (x)(x-)(xa)2 .已知a为实数，函数2(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求 a的取值范围若f'( 1) 0, (l)求函数f(x)

22、的单调区间(n)证明对任意的x1、x2( 1，0),不等式I f(xi)f (x2) |16恒成立一 3Q f (x) x3解：233 rax - x a f '(x)22 .函数f (x)的图象有与x轴平行的切线,3x2f'(x)4a2f'( 1) 0f'(x) 0,x2a12；f(x)的单调递增区间是f(易知f(x)的最大值为1)2ax 3 20有实数解92 ,所以a的取值范围是f'(x)3x2f'(x),1),(250, 1 xM f(x)在1,0上的最大值27对任意x1, x2( 1,0),恒有a3.已知函数f (x) In x 一 x1

23、3(x 2)(x 1)12,f(x)；单调减区间为f(的极小值为49m 一8 ,最小值 16I f(x1) f(x2)| M1,当a 0时，判断f (x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1,e上的最小值是3求a的值;2设 g(x) ln x a ,若 g(x)2 一 . 一x在(0,e上恒成立，求12)491627f(0) ，又82784916516a的取值范围.题型九：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点解：设 OOx m ,则 1 x 4。到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最

24、大?由题设可得正六棱锥底面边长为：322(x1)2482xx2,(单位：m)3 /3.32、6 ( Q o 2 2(8 2x x )2故底面正六边形的面积为：4 V8 2x x ) = 2,(单位：m )3.321.33V (x) -(8 2x x2)(x 1) 1 一(16 12x x )3帐篷的体积为：232(单位：m)V'(x)(12 3x2)求导得2令V'(x)0,解得x2 (不合题意，舍去)，x 2 ,2时，V'(x)0, V(x)为增函数;4时，V'(x)0 , V (x)为减函数。.当x 2时，V(x)最大。y (升)关于行驶速度 x (千米/答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16丁3 m3。2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量1 Q 3yx3 x 8(0 x 120).小时)的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距 100千米。(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少