数列的通项公式与求和的常见方法

1、111 1,- 4,-2 7,22变式练习1.已知数列an中,12n3n 2,2.已知数列an中, 类型三：倒序相加法an 2n 3n,求 Sn.an (2n 1)或，求 Sn.例.求 sin2 1 sin2 2 sin23sin2 88 sin2 89的值.一11.已知 f(x)，求 f(1) f (2) f (3)1 x类型四：错位相减法：例.数列an中，an(2n 1) 2n 1,求 Sn.变式练习1.求数列2二_6-2T,前n项的和.2,222n2.数列an的前n项和为Sn 2n2 , bn为等比数列,且 a1 b1, b2 (a2 a1) b1.(1)求数列an和bn的通项公式;、一

2、a。(2)设cn，求数列cn的刖n项和Tn. bn类型五：裂项相消法一 _ . 、1 一例.已知数列an中，an ,求Sn.n(n 2)1.求数列的前n项和. 12n2.在数列an中，an n 1 n 1 n 1一 .2又bn ,求数列bn的刖n项的和.an an 13.求和求数列的通项与求和作业1.已知数列an的首项a1 1(1)若 an 1 an 2 ,则 an 若 an 1 2an ,贝U an 常见数列通项公式的求法类型一：公式法1 (或定义法)例1.已知数列an满足a1 1 , an 1 an 2 (n N ), 求数列aj的通项公式。例2.已知数列an满足以 2,亘3 (n N*)

3、,求 an数列an的通项公式。变式练习：*1 .已知数列aj 满足 ai 2, an i an 1 0 (n N ), 求数列an的通项公式。2 .已知数列an满足 a16 , an 1 an 3(n N),求数列an的通项公式。13 .已知数列an满足a1 1 ,a2 -,2112 (n 2),求数列an的通项公式。an 1 an 1 an4.已知数列an满足a1 1, an 1 3an (n N ),求数 列an的通项公式。类型二：(累加法)an 1 an f (n)解法：把原递推公式转化为 an 1 an f(n),利用累 加法(逐差相加法)求解*例：已知数列an满足an 1 an 2n

4、 1 (n N ), a11,求数列an的通项公式。变式练习：1*1 .已知数列 an满足a1 , an 1 an 2n, (n N )求 2数列an的通项公式。12 .已知数歹U an 满足a1 1 , an an 1 ,n(n 1)(n 2),求数列an的通项公式。n 一*3 .已知数列an满足 an 1 an 2 3 1, (n N),a13,求数列an的通项公式。4.已知数列an中，a12 ,an 1an一1、 一ln(1 -) , n列an的通项公式。尖型二：(登乘法)an 1f(n)an解法：把原递推公式转化为an 1f (n),利用累乘法(逐a n商相乘法)求解例：在数 列an中

5、，已知a1 1 , nan 1 (n 1)an , (n 2),求数列an的通项公式。变式练习：2n*1.已知数列 an 满足 a1 - , an 1 an , (n N ),3 n 1求数列an的通项公式。一3n 12 .已知a1 3, an 1 -an (n 1),求数列an的 3n 2通项公式。n3 .已知数列an满足an1 2 5 an (n N ),a13,求数列an的通项公式。类型四：递推公式为 Sn与an的关系式Snf (an)解法：这种类型一般利用与 an Sn Sn 1f(an) f(an1)消去 Sn (n 2)或与Sn f(Sn Sn 1) (n 2)消去an进行求解。例

6、.已知数列an的前n项和为Sn , a1 2且Sn 2an 1 (n 2).求数列an的通项公式。1 .已知数列an的前n项和为Sn, Sn 4an 2, 求数列an的通项公式。22 .已知数列an的前n项和为Sn, Sn n 5n 1 求数列 an的通项公式。3 .已知数列an的前n项和为Sn, Sn 2n 3,求数列an的通项公式。类型五：待定系数法an 1 pan q (其中 p, q 均为常数，(pq(p 1) 0)解法：构造新数列 bn ； 寺 p解出 ，可得数列 anbn an为等比数列例：已知数列an中，a1 1, an 1 2an 1,求数列an的通项公式。变式练习：1 .已知

7、数列an满足a1 3 , an 1 2an 1一一* 一(也知儆列,08凝晶:aan的an项公式a11,求数列an的通项公式 3 an1 12 .已知数列 an中，a11, 3an 1 4an 6 ,求数列 an的通项公式。3 .已知数列an的前n项和为Sn , 且一 一 一一* 一 一 一2Sn 3an 2n (n N ),求数列an的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。2a*例：已知数列an满足a1 1, an 1 (n N ),an 2 ''求数列an的通项公式。变式练习：1 . 已知数列 an 满足 a11,*nan 1 (

8、n 1)an n(n 1), (n N ),求数列an的 通项公式。2 .已知首项都为1的两个数列an、 bn(bn 0 n N ),满足anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 ,令 cn 冬求数列cn的通 bn项公式。类型七：(公式法2)(an 1 pan pn)p>0;解法：将其变形为刍二包一，即数列亘为以一 n 1 nnpppp p为公差的等差数列；例.已知数歹U an满足an1 2an 3 2n, a1 2 ,求数列an的通项公式。变式练习： n 11 .已知数列an满足an 1 5an 5 , a1 1 ,求数列an的通项公式2 .已知数列an满足an1 3an 4 3

9、n, a1 1 ,求数列an的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法一一123n例.已知log 3 X ，求x x x x 的log 2 3前n项和.变式练习1 .数列an中，an 2n 1,求 Sn.2 .等比数列an的前n项和Sn 2n 1 ,求2222a1 a2 a3an.类型二：分组求和法例.求数列的前n项和：(3)若 an i an n 1 ,贝U an ；(4)若 an i 2n an,则 an (5)若 nan (n 1)an 1 ,贝U an ;(6)若 an 3an i 2 (n 2)，贝U an ；(7)若 an 1an ,贝U an 。an 12 .3 .24 .5 .等比数列 的前n项和Sn 2n 1 ,求6 .求和：7 .求和：8 .设 an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且 a1 “ 1 , a3 bs 21, a5 b