2019届河南省郑州市高三第三次质量检测数学(理)试题(解析版)

1、2019 届河南省郑州市高三第三次质量检测数学（理）试题、单选题1已知集合 AA 1,3B1 2 ，集合 B1,3x1y 2 ,xC 0,3，则集合D 0,3等于答案】解析】先分别求出集合A 和集合B，再求其交集即可 .详解】因为集合2xx1x,x2yy所以AI B0,3故选点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题2已知z 1 i 2 i ，则 z2A2B 3 iD10答案】解析】先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可详解】因为 z1i2i3所以 z2 2 22 32 ( 1)210故选 D点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题223“0 m 2 ”是

2、“方程 x y1表示椭圆 ”的（ ）m 2 mA 充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件答案】 C2解析】 先求得方程 x2y2m1表示椭圆的 m 的取值范围， 再利用充分必要条件去判断可得答案 .详解】方程x22y2m1表示椭圆，所以2m 2”是 “方程 xm2y2mm0m 0 0 m 2且m 12m1 表示椭圆 ”的必要不充分条件故选点睛】本题考查了椭圆的概念与简易逻辑用语，易错点为椭圆中a b ，属于较为基础题 .4已知2019 cos，则 cos1A2BCD 32答案】解析】先由诱导公式求对原式进行化简，可得sin ，再利用角的平方关系可得结果详解】2019因

3、为 cos1 ，诱导公式可得，22019 cos( 23cos(2) sin，又因为所以 cos1 sin2故选 C点睛】易错点为没有注意角的范围，本题考查了诱导公式， 解题的关键是在于诱导公式的掌握， 属于较为基础题 .5我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数A的图象大致是B4 x 4x 1解析】 先有函数的奇偶性，可排除A 、B 选项，再取特值求得 f (3), f (4) ，根据函数的单调性排除选项C，可得答案 .详解】因为函数 f

4、 x4x4x 1， f ( x)( x)414x x1f (x)所以函数 f(x) 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、 B 选项；81又因为 f (3) , f (4)63256255f(3)f (4) ，而选项C 在 x 0 是递增的，故排除故选 D点睛】本题考查了函数的图像和性质，利用性质取特值判断图像是解题的关键，属于较为基础题.6等比数列an的前 n 项和为Sn，若S2n 4a1a3L a2n 1 BD PD(6 2) 6 ， a1a2a327则 a5 ( )A81B 24C 81D 24答案】解析】 由题，等比数列及其性质，易求出 a23，再取 n 1 ，求得 a1，即可

5、求得公比，既而求得答案【详解】因为等比数列an ， a1a2a327 ，由性质可得3 a227a23又因为 S2n4 a1 a3 La2n 1 n N *所以当 n 1 时，有 S2 a1a2 4a1 a1 1，即公比 qa2a134所以 a5 a1q481故选 C【点睛】本题主要考查了等比数列， 掌握好等比数列的性质和通项是解题的关键， 属于较为基础 题.7某同学 10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12 ，若要使该总体的标准最小，则 4x 2y 的值是( )A 12B 14C 16D18【答案】 A【解析】 由题，中位数为 12，求得 x y 4 ，再求得平均数，利用总体标准差

6、最小和基 本不等式求得 x，y 的值，即可求得答案 .【详解】由题，因为中位数为 12，所以 x y 2 x y 421数据的平均数为： (2 2 3 4 x y 20 19 19 20 21) 11.410要使该总体的标准最小，即方差最小，所以2 2 2 2 xy 2.8 2(10 x 11.4) 2(10 y 11.4)2(x 1.4)2(y 1.4)2 2( )20.722当且紧当 x 1.4 y 1.4 ，取等号，即 x y 2 时，总体标准差最小此时 4x 2y 12故选 A【点睛】 本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档 题型 .8关于圆周率，

7、数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启 发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值， 试验步骤如下： 先请高二年级 n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对 x,y 0 x 1,0 y 1 ；若卡片上的 x， y 能与 1构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为m；根据统计数 n， m估计 的值.那么可以估计 的值约为（ ）mnm4nm 4mABCDnnnn【答案】C【解析】由题，先求得实数对x,y区域的面积，再求得x， y能与1构成锐角三角形的面积，根据几何概型求得概率，代入m， n 即可求得的估计值 .【详解】由题意，实数对 x,y 0 x1,0y

8、1 ，即面积为12 2 0 x 1 且卡片上的 x ， y能与 1构成锐角三角形，即满足 x2 y2 1，且，所以面0 y 1积为 14144(n m)n所以 x， y能与 1构成锐角三角形的概率为： 由题， n 张卡片上交 m 张，即 m 1n4故选 C【点睛】本题考查了几何概型，清楚掌握几何概型中的面积型是解题的关键，属于基础题9已知函数 f x Asin xA 0, 0,的部分图象如图所示，2则使 f a x f a x 0成立的 a 的最小正值为（A 12答案】 BB 6C4解析】 先由图像，求出 A, , ，可得函数f (x) 的解析式，再由题ax0易知 f(x) 关于 xa对称，即

9、可求得 a的值 .详解】有图像易知，f(0) 1 ，即 2sin1，11因为有图可知， f (11120, 所以 sin(1112，即21112k ,k Z611周期 T11 21124又因为有图可知，121211所以当 k2,2所以函数f (x)2sin(2 x)6因为 f axf a x0，函数f (x) 关于 xa 对称，即 2ak,k Z可得 ak ,kZ6226所以 a 的最小正值为6故选 B点睛】且12k 2即 ,k Z本题考查了三角函数的图像和性质，熟悉清楚运用三角函数的图像和周期对称性是解题的关键，属于中档题 .10如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视

10、图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是(A19 57B 22 66 C19 D 2254 54 3 3【答案】 A【解析】 由三视图，先得出几何体的形状，还原到长方体中，求得外接球的半径，即可 求得体积 .【详解】 根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为 3 的四棱锥，且侧面 PAB 垂直底面ABCD ，如图所示：还原长方体的长是 2，宽为 1，高为 3设四棱锥的外接球的球心为 O，则过 O 作 OM 垂直平面 PAB，M 为三角形 PAB 的外心， 作 ON 垂直平面 ABCD ，则 N 为矩形 ABCD 的对角线交点，OM12,ON 31 3 33所以外接球的半径R2ON

11、2所以外接球的体积4 R3319 5754故选 A点睛】本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是在于还原几何体和求得其半径，易错点在于错把长方体的外接球当成该四棱锥的外接球，属于较难的题目2211 F1 ， F2是双曲线 x2 y2 1 a 0,b 0 的左右焦点， 若双曲线上存在点 P 满足 a2 b2uuur uuuurPF1 PF2a2 ，则双曲线离心率的取值范围为()A 3,B 2，+C1，+D， 1U 1，【答案】 B【解析】 由题，PF1 m,PF2 n,F1PF2先由双曲线的定义 m n2a，再利用余弦定理 cos2 2 2 m n 4c由题意uuuvPF1uuuuv 2 2

12、2PF2 a 可得 m2 n2224c2 2a2 ，2mn最后再用m a c,n c a可得 c、 a的不等关系，可得离心率【详解】由题，取点 P 为右支上的点，设 PF1m,PF2 n,F1PF2根据双曲线的定义知： m n 2a在三角形 F1PF 中，由余弦定理可得：cosn2 4c22mn又因为uuuv uuuuv2PF1 PF2a2可得mncos即 m2n2 4c2 2a2又因为mac,n c所以 (c a)2(c a)2224c2 2a22a2即 e2 2 e故选 B点睛】本题考查了双曲线的知识，解题的关键是在于定义、 性质，以及焦三角形中的余弦定理，得出 c、 a之间的关系是解题的

13、关键，属于较难题目.12设函数 f (x)在 R上存在导函数 f '(x)， x R，有 f(x) f( x) x3 ，在(0, ) 上有 2f '(x) 3x2 0，若 f (m 2) f (m)3m2 6m 4，则实数 m的取值范围为( )A 1,1B ( ,1C 1, )答案】解析】单调性，( , 1U1,由题，构造新函数再利用fm得 m 的取值 .详解】因为 f xg(x)fmf (x)3x，再由题判断出新函数 g(x) 的奇偶性和223m26m 4可得出 g(m 2) g(m) ，即可求3x3，所以 f(x)f( x) ( 2x)3令 g(x)x f (x) x2g(

14、x)g(x)即函数g(x) 为偶函数，因为0,上有 2f所以 g(x)f (x) 32x 0即函数g(x) 在 (0,)单调递增；又因为fm 2 fm23m6m 4所以 g(m2) g(m)f(m2)(m 2)32f (m2) f (m)3m26m403f (m)即 g(m2)g(m)x3x2 0，所以 mm ，解得 m 1故选 B点睛】本题考查了函数的综合，构造新函数，利用函数的奇偶性、单调性是解题的关键所在，属于难题 .二、填空题13 已知向量 ar 1,【答案】 2 .r r r r【解析】 由题意，先求得向量 a b,a b 的坐标，再根据共线向量的运算求得的值即可 .【详解】因为向量

15、 ar 1, ，r b,2rrrr所以 a b (1 ,2),a b(1 ,2)r r r又因为 a b / / a所以 (1 )( 2)(1)(2)2故答案为 2【点睛】本题考查了向量的基本知识点， 熟悉向量的坐标运算和共线向量是解题的关键， 属于基 础题 .14 12本相同的资料书配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配 方法共有 种【答案】 25.【解析】 先由题，将 12 本相同的资料书配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本， 进行分组，再分别计算每一组的情况，最后求得答案 .【详解】当一个班分3 本，一个班分3 本，一个班分6 本，不同的方法有AA32323种；当一个

16、班分3 本，一个班分4 本，一个班分5 本，不同的方法有6 种；5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共 6 中情况个班分1 本，一个班分5 本，一个班分6 本，不同的方法有A336 种；个班分2 本，一个班分4 本，一个班分6 本，不同的方法有A336 种；个班分2 本，一个班分5 本，一个班分5 本，不同的方法有A3323种；1、先分组，再排序， 12 本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，可能有1种；当一个班分 4 本，一个班分 4 本，一个班分 4 本，不同的方法有所以一共有 6 6 3 3 6 1 25 故答案为 25【点睛】 本题考查了排列组合，此种

17、情况解题的关键是向凤珠再排序，属于中档题 .15 设函数 h x 的定义域为 D ，若满足条件：存在 ，使 h x 在 上的 值域为 ，则称 “倍胀函数 ”若.函数 f x 为 “倍胀函数 ”，则实数x f x ax a 1 中 a 的取值范围是 2 答案】 (1,ee2 ).解析】 由题，可得 m,n是方程： ax 2x 的两个根，即函数 g(x) ax 2x有两个零点，然后利用导函数判断单调性求最值，解方程即可求得答案详解】am 2man 2n因为 f x ax a 1 ，所以函数为单调递增的函数，2 x log a 2ln a ln a又因为 f x 为 “倍胀函数 ”，所以由题可得：即

18、 m,n 是方程：ax 2x 的两个根，即函数 g(x) ax 2x 有两个零点g (x) ax ln a 2 ，令 g (x) a x ln a 2 0 可得 ax2易知当 x loga ,g(x) 取最小值ln a2 2 2所以 g(x)min g(log a) 2log a 0ln a ln a ln a2令 ln2a t(t0) 此时 a2即 t 2log a t 0a ，又因为 a et所以 te ，即ln a解得a2 ee所以 12 a ee故答案为 1 a2 ee点睛】本题考查了函数的综合，解题的关键是在于函数与方程思想的合理运用，难点是在函数的计算，以及公式的变换，属于难题16

19、已知数列 an 满足 a1 1， an 1 2an 1 ，若集合M n n n 1 t an 1 ,n N 中有 3个元素，则实数 t 的取值范围是 5【答案】 1 t 5 .4【解析】 由题， a1 1，an 1 2an 1，先求得数列 an 的通项，然后代入题中，利 用参变分离，再构造新函数，利用导函数求单调性，再讨论集合只有 3 个元素，可得最 后的结果 .【详解】由题，因为数列an 满足 a1 1 ， an 12an 1 ，所以 an 1 1 2 an 1即数列 an 1 是以 2 为首项，公比为 2的等比数列，所以 an 1 2n an 2n 1所以 n n 1 t an 1 ，化简

20、可得 tn(n 1)2n记 f (n) n(n2n 1), f (n)(2n 1)2n(n2 n)2nln 2(2n)22n 1(n2 n)ln 22n当 n 4, f (n) 0，此时 f(n) 是单调递减的；3 355因为 f(1) 1, f (2) ,f(3) ,f(4) , 当n 5， f(n)2244* 3 35 集合 M n n n 1 t an 1 ,n N * 中有 3个元素，所以这三个元素只能是, ,n 2 24 5 所以 1 t45 故答案为 1 t4【点睛】 本题考查了数列，函数，集合的综合知识，利用递推数列求通项公式、构造函数，利用 导函数判断单调性是解决题目的关键，属

21、于难题 三、解答题17在 ABC中， AB 2 3， AC 3， AD 为 ABC的内角平分线， AD 2.BD（）求 BD 的值DC）求角 A 的大小 答案】（）2；)3解析】（）分别在三角形 ABD 、ACD 中，利用正弦定理可得答案）分别在三角形 ABD 、ACD 中，利用余弦定理可得答案，可求得A的大小 .详解】）在三角形 ABD 中 ,由正弦定理得：在三角形 ACD 中,由正弦定理得：CDA sin2BD AB sin A sin ADB sin2ACsin ADC因为 sin ADB sin ADC , AC3, AB2 3, DCBD AB 2 AC）在三角形 ABD 中 ,由余

22、弦定理得 BD 2 AB2AD22ABAAD cos2168 3cos A2在三角形 ACD 中,由余弦定理得22CD 2 AC2AD22ACAAD cos24 3cos A22又CBDD22又A20,2点睛】AcosA2 解得4 3cosA216 8 3A3cos22A ,A2 6 3本题考查了利用正余弦定理解三角形，合理运用正余弦定理是解题的关键，属于较为基础题 .18如图， ABC， AB BC 2，ABC 90 ，E，F 分别为 AB，AC 边的中）设 N 为线段平面 PBE ；AEF 折起，使点PF 上动点，求直线答案】（）见解析；A到达点 P 的位置，且 PB BE.BN 与平面

23、PCF 所成角的正弦值的最大值) 4 70 .35【解析】（）由题，易证得 EF BE,EF PE ，即可证得结论；（）取 BE 的中点 O,连接 PO,易证得 PO BCFE ，然后以 O为原点，建立直角坐标 系，利用空间向量求得 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值，求得其最大值即可 . 【详解】（ ） E,F 分别为 AB ,AC 边的中点 ,所以 EF BC 因为 ABC 90 , EF BE,EF PE又因为 BE PE E ，所以 EF 平面 PBE （ ）取 BE 的中点 O, 连接 PO,由（ 1）知 EF 平面 PBE ,EF 平面 BCFE， , 所以平面 PBE 平面 B

24、CFE因为 PB=BE=PE,所以 PO BE ,又因为 PO 平面 PBE, 平面 PBE I 平面 BCFE=BE所以 PO BCFEOM，OP 所在直线为过 O 作 OM/BC 交 CF 于 M, 分别以 OB ，x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示 .得 N 2, , 23(1 )22uuurBN21, , 23(131 P 0,0, C ,2,01 uuur1 3 uuur1,1, 3F ,1,0 PC,2, ,PF2222222uuuruuurN 为线段 PF 上一动点设 N(x,y,z),由,PNPF(0 1)设平面 PCF 的法向量为 m （x,y,z）uuuvPC 则

25、 uuuvPFm0m013x 2y z2213x y z220即取 mr ( 1,1, 3)设直线 BN与平面sin |cosuuurBNPCF 所成角uuur r BN m uuur r |BN| |m|uuurBN4 7035直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值为 4 7035点睛】 本题考查了立体几何，利用空间向量解决线面角是解题的关键，属于中档题目大学19在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，生创业意识，就业方向也悄然发生转变.某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数y

26、i （单位：万元）与时间 ti （单位：年）的数据，列表如下：）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y与 t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）.（若 r 0.75 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式nti y ntyn参考数据 56.95 7.547 .（）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案 方案一：每满 500元可减 50 元；2方案二：每满 500 元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 ，中奖就可以获得 100元现5金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立 .某位顾客购买了 1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得1

27、00元现金奖励的概率 .某位顾客购买了 1500 元的产品， 作为专营店老板， 是希望该顾客直接选择返回 150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由答案】（）见解析；） ； 见解析 .25解析】（）先由题求得 t和 y 的平均数，再利用相关系数公式求得r，可得结果；2 3 12（ ）顾客选择参加两次抽奖的概率为 P（A） C21， 先求得选择三次抽2 5 5 25 奖的期望，再与选择不抽奖进行比较可得结果 .【详解】（ ）由题则r53,y 4.7, ti yii185.2,ti yi ntyi1ni1ti14.7227.82t14.7 14.72 56.95 15.09522.780.97

28、0.75故 y 与 t 的线性相关程度很高 ,可用线性线性回归模型拟合）顾客选择参加两次抽奖 ,设他获得 100 元现金奖励为事件A. P(A) C21 2 32551225,则 设 X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数 , 由于顾客每次抽奖的结果相互独立2X B 3,52所以 E（X） np 3 1.25由于顾客每中一次可获得 100 元现金奖励 ,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为 1.2 100 120由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值 120 小于直接返现的 150元,所以专营店老板希望顾客参加抽奖点睛】本题考查了相关系数以及二项分布，理解题意是解题的关键，属于基础题22

29、0已知抛物线，圆 E : x 3 2 y2 1.uuur（） F 是抛物线 C 的焦点， A是抛物线 C 上的定点， AF 0,2 ，求抛物线 C的 方程；（）在（）的条件下，过点 F 的直线 l 与圆 E相切，设直线 l 交抛物线 C于P，Q两点，则在 x 轴上是否存在点 M 使 PMOQNO ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】（） y2 4x ；（ ）见解析 .【解析】（ ）由题，求得焦点 F 的坐标，再求得点 A 的坐标，代入求得方程；QNO ，转化为 ）先由题求得直线 l 的方程，再假设存在点 M 使 PMO0，解得 M 的坐标即可kPM kBM 0 ，然后

30、联立方程，求得斜率相加为 【详解】( )抛物线 C的焦点为 F(p,0),2uuur p由 AF (0,2) A p, 22代入抛物线方程得 p=2,故抛物线 C 的方程为： y2 4x）当直线的斜率不存在时 ,过点 F（1,0） 的直线不可能与圆 E 相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在 , 设直线斜率为 k,则所求的直线方程为 y k（x 1）,所以圆心到直线 l 的距离为 d当直线 l 与圆相切时 ,有 d1 1 k2 ,k所以所求的切线方程为3(x 1)或 y333(x 1)不妨设直线 l ：333(x1) ,交抛物线于 P x1,y1 ,Q x2,y2 两点,y3联立方程组

31、 32y2(x 1) 得x24x14x1 0.所以 x1 x2 14,x1x2 1,假设存在点 M （t,0） 使 PMOQNO ，则 kPMkBM0. 所以kQNy1x1 ty2x2 t33x1 tx1 13 x2 1x2 tx23 x1 1 x2 t x2 1 x1 t3x1 tx2 t2x1x2 (t1) x1 x2 2tx1 t x22 (t 1) 14 2tx1 tx2 t3 ( 123x1 t x212t) 0t即 t=-1 故存在点M ( 1,0)符合条件当直线 l： y33(x 1)时,由对称性易知点M （ 1,0） 也符合条件综上存在点 M （1,0) 使 PMO QNO【点

32、睛】 本题考查了圆锥曲线的综合知识，求得抛物线方程以及角相等转化为斜率是解题的关 键，属于难题 .直线与圆锥曲线解题步骤：，利用韦达定理；（1） 设出点和直线的方程（考虑斜率的存在） ；（ 2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式）（ 3）转化，由题已知转化为数学公式；4）计算，细心计算21已知函数xx a x ln x ， a R. x）当 a e 时，求 f x 的最小值；）若 f x 有两个零点，求参数 a 的取值范围答案】()0；) ae.解析】()求函数的定义域，再求导，判别导函数的正负可得原函数的单调性，可 求得最小值；)对 a 进行分类讨论，分别利用其导函数的应用，判别其单调

33、性，求其最值，可得 参数 a的范围 .详解】)f(x)a(xln x) ,定义域 (0,)(x)xe (x1)2x(xax1)(x 1) ex ax2x(x 1)ex exe 时, f (x),由于 ex ex 在 (0, ) 恒成立 2xf (x)在(0,1)单调递减 , f(x)在(1, )单调递增 .故 f ( x) min f(1) a e 0() f (x) (x 1) e2x axx当ae时, f (x)在(0,1)单调递减 , f ( x)在(1, )单调递增f (x)min f (1) a e 0, f(x) 只有一个零点当 a e时,axex ,故 ex ax ex ex 0

34、 在(0, )恒成立 ,故 f (x)在(0,1)单调递减 , f (x)在(1, )单调递增 f (x)min f (1) a e 0, 故当 a e时, f(x) 没有零点 .x x x当 a e时,令 ex ax 0,得 ea, (x) e , (x) (x 12 )e ,x x x (x)在(0,1)单调递减 , f(x)在(1, )单调递增 . (x)min(1) e,(x)在 (0, )有两个零点， x1,x2,0 x1 1 x2f (1) a e 0 ,又 x 0, f (x),x, f (x)f ( x)在(0, x1)单调递减 ,在( x1,1) 单调递增 ,在(1,x2)单调递减 ,在(x2, )单调递增，此时 f （x） 有两个零点，综上 f （x） 有两个零点 ,则 a e【点睛】本题考查了导函数的应用， 掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键， 属于难 题.x 2 t,22在平面直角坐标系 xoy中，直线 l 的参数方程为 （ t为参数），曲线 y1tC1 : y 1 x2 .以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 4 2sin 4）若直