2012量子力学期末考试试卷及答案

1、选择题（每题3分共36分）1黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。2关于波函数 的含义，正确的是：BA. 代表微观粒子的几率密度；B. 归一化后， 代表微观粒子出现的几率密度；C. 一定是实数；D. 一定不连续。3对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。4对于一维的薛定谔方程，如果 是该方程的一

2、个解，则：AA. 一定也是该方程的一个解；B. 一定不是该方程的解；C. 与 一定等价；D.无任何结论。5对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。6如果以表示角动量算符，则对易运算为：BA. ihB. ihC.iD.h7如果算符 、 对易，且 =A，则：BA. 一定不是 的本征态；B. 一定是 的本征态；C.一定是 的本征态；D. 一定是 的本征态。8如果一个力学量 与 对易，则意味着：C A. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率

3、会变化。9与空间平移对称性相对应的是：BA. 能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。10如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev，则 n=5能级能量为：DA. -1.51ev;B.-0.85ev;C.-0.378ev;D. -0.544ev11三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且 l=N-2n，则在一确定的能量 (N+)h下，简并度为：BA. ；B. ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12判断自旋波函数 是什么性质：C A. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. 本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1如果已知氢原子的电子能量为 ，则电子由

4、n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：，光的波长为。2如果已知初始三维波函数 ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 =，任意时刻的波函数为。3在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 点波函数（连续或不连续），它的导数（连续或不连续）。4如果选用的函数空间基矢为 ，则某波函数 处于 态的几率用 Dirac符号表示为，某算符 在 态中的平均值的表示为。5在量子力学中，波函数 在算符操作下具有对称性，含义是，与 对应的守恒量 一定是算符。6金属钠光谱的双线结构是，产生的原因是。三计算题（40分）1设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0xa，V(x)=,当x0,求粒子的能量

5、和波函数。(10分)2设一维粒子的初态为，求。（10分）3计算表象变换到表象的变换矩阵。（10分）4 。4个玻色子占据3个单态 ，把所有满足对称性要求的态写出来。（10分）B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在A表象中算符的

6、本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）线性谐振子在时处于状态 ，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号

7、，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，则有 ，这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为：二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是： 设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符

8、，令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：2、在A表象中算符的本征方程为：即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为： ， 当时有：，于是时的波函数可写成：，容易验证它是归一化的波函数，于是时的能量取值几率为：，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：2、 时体系波函数显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。四、解：将矩阵改

9、写成：能量的零级近似为：，能量的一级修正为：，能量的二级修正为：， ，所以体系近似到二级的能量为：，先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为：，利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：，近似到一级的波函数为：，五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）；（2）（3）； （4）一、（20分）已知氢原子在时处于状态 其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为 ， （1）将时的波函数写成矩阵形式 （2）利用归一化条件 （3）于是，归一

10、化后的波函数为 （4）能量的可能取值为，相应的取值几率为 （5）能量平均值为 （6）自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为 （7）自旋分量的平均值为 （8） 时的波函数 （9）二. （20分） 质量为的粒子在如下一维势阱中运动 若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解 对于的情况，三个区域中的波函数分别为 （1）其中， （2）利用波函数再处的连接条件知，。在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 （3）得到 （4）于是有 （5）此即能量满足的超越方程。当时，由于 （6）故 （7）最后得到势阱的宽度 （8）三、（20分） 证明如下关系式（1）任意角动量算符满足 。证明 对分量

11、有同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。证明 在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为 而投影算符的共軛算符的矩阵元为 显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。证明 四、（20分） 在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解 在与表象下，当轨道角动量量子数时，显然，算符、与皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有 （1）相应的本征解为 （2）对于算符

12、、而言，需要用到升降算符，即 （3）而 （4）当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且， （5）只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即 （6）于是得到算符、的矩阵形式如下 （7）满足的本征方程为 （8）相应的久期方程为 （9）将其化为 （10）得到三个本征值分别为 （11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 （12）满足的本征方程为 （13）相应的久期方程为 （14）将其化为 （15）得到三个本征值分别为 （16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 （17）五、（20分） 由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项（分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能

13、量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为 式中， 。解 体系的哈密顿算符为 （1）其中 （2）已知的解为 （3）其中 （4）将前三个能量与波函数具体写出来 （5） 对于基态而言，体系无简并。利用公式 （6）可知 （7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有 （8）于是得到基态能量的二级修正为 （9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为 （10）其中 （11）将上式代入（10）式得到 （12）整理之，满足 （13）于是得到第二激发态能量的一级修正为 （14）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。2德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率n、波长l之间

14、的关系，其表达式为： E=, p= 。3根据波函数的统计解释，的物理意义为：粒子在xdx范围内的几率 。4量子力学中力学量用 厄米 算符表示。5坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为： 。6量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数y(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符的 本征值 。7定态波函数的形式为： 。8一个力学量为守恒量的条件是：不显含时间，且与哈密顿算符对易 。9根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_,玻色子体系的波函数是_对称的_ _。10每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 。1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明： 2、（10分）由Schrdinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度证明：考虑 Schrdinger 方程及其共轭式：在空间闭区域中将上式积分，则有：1、（10分）设氢原子处于状态 求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。 解：在此状态中，氢原子能量有确定值 ，几率为1 角动量平方有确定值为 ，几率为1 角动量Z分量的可能值为 其相应的几率分别为， 2、（10分）求角动量z分量 的本征值和本征函数。解：波函数单