一元二次方程的知识点梳理

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持、知识结构:元二次方程C ax bx c 0D x 2x x解与解法 根的判别 韦达定理二、考点精析考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是 元二次方程。（2） 一般表达式： ax11A 3x12 2x1B-12 1 2 0 bx c 0（a 0）变式：当k 时，关于x的方程kx2 2x x2 3是一元二次方程。例2、方程m 2 x|m| 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为针对练习:1、方程8x2 7的一次项系数是 ,常数项是。2、若方程m 2 x'm 难点：如何

2、理解“未知数的最高次数是2” ：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（） 0是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。3、若方程m 1 x2 Vm?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解-1-文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎

3、下载支持概念：假方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为。例2、关于x的一元二次方程a 2 x2 x a2 4 。的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b ,则此方程 必有一根为。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两个根， 则m的值为。针对练习：1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2,则k为,另一根是。2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程 上3的解相同。x 1求k的

4、值；方程的另一个解。3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式m2 m 。4、已知a是x2 3x 1 0的根，贝（J2a2 6a 5、方程a b x2 b c x c a 0的一个根为（A 1 B 1 Cb c D6、若 2x 5y 3 0,则 4x?32y 。考点三、解法.方法：©直接开方法;因式分解法；配方法；公式法关键点：峰次类型一、直接开方法：| x2 m m 0 , xv'm222对于x a m, ax m bx n等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程：1 2x2 8 0;_ _222 25 16x =0;3 1x90;-2 -文档来源为：从网络收集

5、整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持O例2、若4x0 ,贝 4x+y的值为4yyo2 3 4x例2、若9x 12 16 x 2 2,则x的值为变式1： a2b2 2 a2b20,则 a2 b2变式2:若3 0 ,则x+y的值为变式3:若xy2y xyx+y的值为例3、方程0的解为（A. x13,B.x13, X 2C.xi3,D. x1 2, x2针对练习:1、下列说法中:方程x2 px0的二根为xi ,px(xxi)(x x2)% x2 6x 8(x 2)(x 4).D a2 5ab6b2(a 2)(a 3) x2 y2(xy)方程（3x1)2

6、7 0可变形为（3x1，7 )(3x正确的有（A.1 个 B.2个 C.3 个D.4、万为根的次方程是（）-3 -文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持A. x2 2x 6 0 B . x2 2x 6 0C. y2 2y 60 D .y2 2y 603、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 1 或-2 D 、1 或 222b b 4ac2a4a24、若实数x、y满足x y 3 x y 2 0,则x+y的值为（A -1 或-2B 、-1 或

7、 2 C5、方程：x2 乂 2的解是 x类型三、酉己方法|ax2 bx c 0 a 0在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值。针对练习：1、试用配方法说明 10x2 7x 4的值恒小于0。 3x2 4x 1 0文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持例2、在实数范围内分解因式：(1) x2 242x 3；(2) 4x2 8x 1, 2x2 4xy

8、 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根，再写成2ax bx c = a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应丁求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：32例1、已知x2 3x 2 0,求代数式 三x一1的值。x 13-2例2、已知a是一元二次方程x2 3x 1 0的一根，求-20一旦的值。a 1例3、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 元。但都

9、体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 2Vkx 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则m的取值范围是()A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC勺周长。-5-文档来源为：从网络收集整理.word版

10、本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持例4、已知二次三项式9x (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.22例5、m为何值时，方程组 x 2y ,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解? mx y 3.针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程mx2 mx 2 。有两个不相等的实数根，则m的值是y kx 24、k为何值时，方程组 y2,y 4x 2y 1 0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)有两组不相等的实数解； (3)没有

11、实数解.5、当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2 m考点五、方程类问题中的“分类话曲"-典型例题：例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m为，只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程x2 2x k考点六、根与系数的关系前提：/于ax2 bx c 0而言，当满足a才能用韦达定理。主要内 I Xi x2b , XiX2 -a a应用：昧体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 角形的斜边是()4k 0的根与m均为有理数?k23根的情况0、0时,2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三-6 -文档来源为：从网络收集整

12、理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持A. .3B.3C.6D.例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1,x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不 存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 a b, a2 2a 1 0, b2 2b 1 0,求 a b 变式：若a2 2a 1 0, b2 2b 1 0 ,则与b的值为。b a例5、已知，是方程x2 x 1 0的两个根，那么 4 3.针对练习：1、解方程组x2 y 23,x2 y2 5 (2)2.已知 a2 7a 4 , b