材料力学课后答案

1、第六章 应力状态理论和应变状态理论6-1构件受力如图所示。确定危险点的位置。用单元体表示危险点的应力状态。（）不计自重时，危险点为任一横截面上的任意一点（）危险点在与之间的任一截面的边缘上任一（）危险点在图示三处（）危险点为任一截面的外边缘上任一点题6-1图题6-2图6-2已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为兆帕。试用解析法及图解法求：主应力大小，主平面位置；在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；最大剪应力。解：（）解析法得，从而，用图解法，按几何关系可求得（）解析法：，得，（）解析法：， 无穷大，（）解析法：， （e）解析法：，（）解析法： ，6-3在图示应力状态中，试用解析法和图解法求指

2、定斜截面上的应力（应力单位为兆帕）。解：（）解析法： ,即： 图解法：斜面法线与轴夹角为，应力图中，（）解析法：斜面与轴正向夹角为，应力图中，（）解析法： 题6-3图6-4已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为，试绘制截面上1、2、3、4各应力点应力状态的单元体，并求其主应力。解：点1：,点2：，处于纯剪状态,点3：，式中静矩,得,点4：题6-4图6-5薄壁圆筒扭转拉伸试验的示意图如图所示。若，且，。试求：点在指定斜截面上的应力；点主应力的大小及方向（用单元体表示）。解：，数据代入，得：，所以现已知,得题6-5图题6-6图 题6-7图6-6图示简支梁为工字梁，。点所在截面在集中力的左侧，且无

3、限接近力作用的截面。试求：点在指定斜截面上的应力；点的主应力及主平面位置（用单元体表示）。解：所处截面上弯矩、剪力：，查型钢表后，点以下表面对中性轴静矩：正应力、剪应力：则： 主应力计算： 6-7二向应力状态如图所示，应力单元为兆帕。试求主应力并作应力圆。解：,已知： ,且,联立解得：，从而注：凡是涉及某斜面上的应力，应从角定义出发，准确找出角的值题6-8图6-8在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。解：取出图示单元体，依

4、题中条件有： 联立求解，得到则： ， ，则题6-9图6-9试求图示各应力状态的主应力及最大剪应力（应力单位为兆帕）。解：（） （） ，（），注：此类问题中，受力状态是三向的，不再是平面问题，以（）为例作详细分析：在图示坐标系下，因为面内应力情况复杂，先进行分析：则：，而，又有，综合知：题6-10图6-10列车通过钢桥时，在钢桥横梁的点用变形仪测得，。试求点在及方向的正应力。设，。解：广义虎克定律知：，代到上述两式中，解得，即：方向应力为方向为0。6-11 在6-9题中的各应力状态下，求单元体积的体积改变、比能和形状改变比能。设，。解：各量的求解公式同前；6-12薄壁钢圆筒受到内压，内径，壁厚，

5、计算筒中主应力。若最大主应力限制为，则在筒的两端可加多大的扭矩。解：取轴向长为的管分析：微元上，作用力为向分量，积分得则：，而则：题6-12图 题6-13图6-13长输水管受内压，管的内径为，用第四强度理论计算壁厚。（提示：可设管的轴向应变为零。）解：取任一单元体，向与管轴向一致，由提示，认为广义虎克定律设内压力为，内径为，厚为，则积分表明：，则条件（第四强度理论）在平面应力下为：，即：，各数据代入：，6-14炮筒横截面如图所示。在危险点处，第三个主应力垂直于图面是拉应力，且大小为。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。解：第三强度理论下： 第四强度理论下：6-15钢制圆珠笔柱形薄壁容器，直

6、径，壁厚，。，试用强度理论确定可能承受的内压力。题6-14图 题6-15图解：作用下：周向，轴向，轴向外力作用下：，数据代入，解得：，则：化简得，解出即：按两种强度理论，内压极限分别为和6-16如图示简支梁，截面为工字钢，。试对梁作强度校核。已知，。解：求得处支反力，处支反力为，绘出剪力图、弯矩图：截面上，处，有：，几何数据查型钢表可知，有题6-16图截面上，处有， 截面上的点，由于都较大，也很危险： 得按第三强度理论：按第四强度理论：第七章7-1 箱形截面悬臂梁受力如图，计算固定端截面三点的正应力。题7-1图解：如图示，向截面的几何中心简化后，其中已知。对固定端截面，引起，引起，得作用下：，

7、得，作用下：同上，得。叠加得：7-2 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力和铅锤力作用。若，试求以下两种情况下梁内的最大正应力及其作用位置。（1）梁的截面为矩形，其宽和高分别为。（2）梁为圆截面，其直径。题7-2图解:(1)矩形截面引起，引起两者叠加(2)圆形截面:设该点坐标为(y,z)引起;引起; 两者叠加 得 ，7-3 图示起重机的最大起吊重量（包括行走小车等）为，横梁由两根槽钢组成，材料为钢，许用应力。试校核横梁的强度。解：小车位于中点时，最危险，处支反力（杆上受到力），c处中点处引起的应力，在下侧边沿为正，上侧边沿为负（压）则 题7-3图7-4 拆卸工具的抓由号钢制成，其许用应力,

8、试按抓的强度确定工具的最大顶压力。解：由强度条件，则： 解得7-5 图示钻床的主柱为铸钢制成，许用应力，若。试确定立柱所需直径。解：内力而，为简化求解，先不计入的影响：则取再计入的影响以校核，但超出部分为，认为合适。上述计算表明，引起的应力是明显大于引起的应力的，所以无须按确定综合，取题7-4图 题7-5图7-6 承受偏心载荷的矩形截面杆如图所示。今用实验方法测得杆左、右两侧面的纵向应变和，试证明偏心矩和、满足下列关系式： 解：偏心力的作用等效为（简化为）轴力（拉），和弯矩组合变形下：左侧表面处，右侧表面处，代到中： 则：,两式比较：即：7-7 手摇式提升机如图所示，轴的直径，材料为钢，试按第

9、三强度理论求提升机的最大起吊重量。解：受力分析知，轴的中间截面为危险面：忽略剪应力影响，则：，解得 题7-6图 题7-7图 题7-8图 题7-9图7-8 图为某型水轮机主轴的示意图，水轮机组的输出功率为，转速，已知轴向推力，转轮重，主轴的内径，外径，自重。主轴材料为号钢，其许用应力。试按第四强度理论校核主轴的强度。解：扭矩，危险面在轴上方，其中，则7-9 图为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率，转子转速，转子重量，砂轮直径，砂轮重量，磨削力，砂轮轴直径，材料为轴承钢，。（1）试用单元体表示出危险点的应力状态，并求出主应力和最大剪应力；（2）试利用第三强度理论校核轴的强度。解：则，解出两个

10、支承处的反力（作铰接处理，无弯矩约束）：砂轮轴发生组合变形，各向弯矩图如图示：因为砂轮轴是圆截面，故，很明显，距左端处为危险面，如图，第三强度理论，故砂轮轴强度足够。 题7-10图7-10 图示重的标牌由外径为、内径的钢管所支撑，作用在该标牌上的最大水平方向的风力估计为。试确定由这些载荷在固定端点处所引起的应力状态，并在管子的这些点处切出的单元体上表示出结果。这些单元体都是从管子外侧观察的。（钢管的面积，惯性据）解：受力化简后可知，（与轴正向相反）分布如图。略去的影响，则，得作用下，（拉）作用下，（拉）作用下，所以：处有处有 题7-11图 题7-12图7-11 一实心圆轴同时承受扭矩和弯矩作用

11、，且，试用表示最大主应力和最大剪应力之比。当此轴直径为，以及最大剪应力为，且轴以每分钟300转时，试求它所能传递的功率。解：实心轴，则而如图示，设对单元体而言，代入最大剪应力为求得时，则返回主应力，最大剪应力公式中： 得，而且，求出又因为解得所以，传递功率为。7-12 铸钢曲柄如图所示，已知材料的许用应力，试用第四强度理论校核曲柄的强度。解：表面上内力分量， 为弯曲、扭转组合变形：处：，求得处： 题7-13图7-13 直径的圆轴，承受扭转力矩及水平面内的力偶矩的联合作用，为了测定和，今在轴表面图示轴线方向和轴线成方向贴上电阻应变片。若测得应变值分别为，已知材料的，试求和。解：已知，则已知： 分

12、析处应力状态，有，方向上，有：和，即为：， 解得：，得 题7-14图7-14 某锅炉汽包的受力情况及截面尺寸如图所示。图中将锅炉自重简化为均布载荷。若已知内压力，锅炉总重，平均直径，壁厚，试按第三强度理论校核该汽包的强度（薄壁圆筒可采用近似公式： 式中，为平均直径，为厚度）。解：分析受力状态，引起汽包壁上各处均有周向正应力和轴向正应力，设自重简化为均布载荷，则可计算出弯矩最大值为，其中，求得，得：。，得单元体上则7-15 一个等截面的实心圆轴要驱动一船舶推进器，此轴因而必须同时承受推力和扭矩作用。推力的大小与扭矩之间可以用简单的关系来联系，式中表示推力的大小，表示扭矩的大小，而为一常数。同时轴

13、上还将有弯矩产生。假定计算的要求是轴中的最大剪应力在任何地方均不超过某一个用表示的值，试证明允许的最大弯矩其表达式为 式中表示轴截面的半径。 一个等截面的实心圆轴要驱动一船舶推进器，此轴因而必须同时承受推力和扭矩作用。推力的大小与扭矩之间可以用简单的关系来联系，式中表示推力的大小，表示扭矩的大小，而为一常数。同时轴上还将有弯矩产生。假定计算的要求是轴中的最大剪应力在任何地方均不超过某一个用表示的值，试证明允许的最大弯矩其表达式为 式中表示轴截面的半径。 证明：令因为二维应力状态下：，则：即：化简即得： 第八章 变形能法8-1两根圆截面直杆的材料相同,试比较两根杆件的变形能。解：此杆为均匀杆，轴

14、力为，则变形能 杆为分段均匀，轴力均为， 题8-1图 题8-2图8-2图示桁架各杆的相同，试求在点的力作用下，桁架的变形能。解：处支反力，对点作受力分析，可求得：（压），（拉）进而求得（拉），由求得：8-3计算图示各杆件结构的变形能。 题8-3图解：首先求解处的约束反力为弯矩方程为： 则分段积分： 解：以逆时针方向为正， ，积分得8-4试求图示各梁的点的挠度的转角。 题8-4图解：以点为轴起点，结构的弯矩方程为：则：得撤去和，在处作用逆时针向 则 （逆时针向）简单起见，轴起点选在点，向左为正 只有竖直向下的单位力作用于点时只有顺时针向力偶矩作用于点时积分得：和值均为正，其方向与相同。8-5试求

15、图示阶梯截面梁在力作用下截面的转角和截面的挠度，弹性模量已知。 题8-5图解：本题中，值沿轴向是分段相等的，为使积分计算简单，在两端上取不同的坐标起点（向右为正）：仅处作用单位力偶矩（顺时针向）： 仅处作用单位力（竖直向下）：其积分得： 可见，大小为，方向为逆时针（与所加单位力偶矩反向）；为竖直向下，为。同中处理，为配合分段积分的简便，在三段值变化的部分，取不同的坐标起点（向右为正），载荷作用下：在处加顺时针向单位力偶矩后，支反力 分段积分得：单独在处加单位力，支反力，同理，积分得所以，处转角为，为顺时针方向；处挠度为，为竖直向下。8-6试求图示各刚架点的竖直位移，已知刚架各杆的相等。解：段：

16、；段上由卡氏定理，处的竖直位移 分段带入后面积分：为正值，则与同向，竖直向下分析可知，处已经作用有竖直方向的力，为了能利用卡氏定理解题，处和竖杆中间处的分别为 则： 题8-6图 题8-7图8-7图示正方形桁架各杆的相同，试求节点处的水平位移和竖直位移。解：各杆在载荷作用，处单独施加水平，竖直单位力时，轴力为（水平单位力向左，竖直单位力向上），则8-8图示正方形桁架各杆的相同，试求在载荷作用下，节点和之间的相对位移。解：于上加一对反向（共同指向内部）的单位力，各杆在原载、单位力下的轴力：则，与单位力指向同趋势，是相近的。注：因为所求的是之间的相对位移，所加单位力，就应该是一对反向力。 题8-8图

17、 题8-9图8-9轴线为四分之一圆周的平面曲杆位于水平面内。端固定，自由端受竖直力作用。设和为常量，试求截面在竖直方向的位移。解：以为起始边，有，内力：可见曲杆的变形应该计入的影响，与同向。8-10试求图示半圆形平面曲杆点的水平位移。等于常量。解：以为起始边，有，内力：在处水平方向向右的单位力作用下：则： 积分得：，向右。 题8-10图 题8-11图8-11水平面内的刚架由圆截面折杆组成，转折处均为直角，求点沿竖直集中力方向的位移。和已知。解：取由指向，由指向，由指向段：；段：段：。由卡氏定理： 则： ，与同向。8-12有切口的平均半径为的细圆环，截面为圆形，其直径为。试求在两个力作用下切口的

18、张开量。弹性模量已知。 题8-12图解：结构与载荷均有对称性，取其上部分析： 处截面无转角无位移，相当于固定约束。原题中所求张开量，则8-13图示直角刚架各杆的抗弯刚度相等。均为铰。试求在一对水平集中力作用下，节点和之间的相对位移。 题8-13图解：可以肯定的是，在作用下，四杆中的内力为零，中的弯矩如上右图所示：现在在上施加一对相离的单位力，则四杆的内力则有各段弯矩为图示：按图形互乘法，上部四杆，不需计算： 所以，与单位力同向，相离。8-14等截面平面曲杆轴线为四分之三圆周，杆为刚性杆。试求作用于曲率中心的集中力引起的截面的水平位移及竖直位移（力在曲杆平面内）。解：以边为起始边，有，弯矩处分别加上水平向左，竖直向下的单位力，引起的弯矩为：则： 题8-14图 题8-15图8-15子母梁以中间铰相连。试求梁在图示载荷作用下铰的竖直位移和铰两侧截面的相对转角。解:载荷作用在母梁上，在子梁上为零，简单起见，现把集中力与