2020年高考数学全真模拟试卷六(江苏南通专用)(解析版)

1、2020年江苏（南通）高考数学全真模拟试卷（六）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合？?= ? ?|?>2,集合？?= -2, -1, 0, 1, 2.则（？?）A?冲的元素个数为 .【答案】3【解析】解：.集合？?= ?|?>2 = ?|?箕-力或？?>0,集合？= -2, -1, 0, 1, 2.,.?= ?卜 V2 V ?< v2,.（?）n?= -1, 0,1,（? ?）n ?冲的元素个数为3.2. 已知复数？?= 总在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是 .【答案】（-1,-2）【解析】解。. ?= =5（1-2?）=1-2?用干.1+2?

2、 （1+2?）（1-2?）'.复数？?= 总在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（-1, -2）.3. 连掷两次骰子分别得到点数m, n,则向量？?= （?,?分向量？?= （-1,1）的夹角?> 90?的概率是【答案】512【解析】后连掷两次骰子分别得到点数m, n,所组成的向量（?？,？?的个数共有36种，由于向量（?？,？?疗向量（-1,1）的夹角？?> 90° ,.（?, ?）?（-1,1） < 0,即？- ?> 0,满足题意的情况如下：当？=2时，?=1;当？=3时，？?=1,2；当？=4时，？?=1,2,3；当？=5时，？?=1,2,3,4

3、;当？=6时，？?=1,2,3,4, 5;共有15种，155故所求事件的概率是15=刍36124. 统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示.则图中 a的值为.【解析】由题意可知:(0.005 + 0,01 X2 + 0.02 + ?+ 0.025 ) X 10 = 1 ,解得？?= 0.03 .故答案为0.03 .5. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，九儿问甲歌”就是其中一首：乙个公公九个儿

4、， 若问生年总不知，自长排来差三岁， 共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：幺位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第 n个儿子的年龄为？?？则？ =.【答案】29【解析】解：由题意可知，数列?初是以-3为公差的等差数列，因为?= 9? +iX (-3) = 207 ,解可得，? = 35,贝 IJ? = 29。6. 在1930年，德国汉堡大学学生考拉兹提出猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1:如果它是偶数，则对它除以

5、 2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果？=.【答案】8【解析】解：？?= 3, ?= 1 ,a为奇数，？?= 10, ?妾2,a 为偶数，？?= 5, ?= 3,a为奇数，？?= 16, ?妾4,a 为偶数，？?= 8, ?= 5,a 为偶数，？?= 4, ?= 6,a 为偶数，？?= 2, ?= 7,a为偶数，？?= 1, ?= 8,跳出循环。7.如图，在体积为V的圆柱？2中，以线段？上的点O为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为？,?,则学的值是【解析】由?+?= ；?)? ?+ ：?)? ?= ；?)? ?2 = 1? 3333?+?殳 ?

6、故答案为8. 已知首项与公比相等的等比数列?中，若m, ?6 ?,满足？?？?= ?,则?+3?的最小值为 【答案】1【解析】.,?= ?,. ?= ?,.,.?+ 2?= 8,. ?> 0, ?> 0,则?+ ?= 8(?+ ?)(? + 2?)=1(4 + 4?+ ?) > - X8 = 1 ,8 '? ?8'4?.当且仅当_=斤且？+ 2?= 8即？= 4, ?= 2时取等号，故答案为：1.?Q ?< 09. 设P：实数x、y满足：?+ 2?<2,q：实数x、y满足(?+ 1)2+ ? < ?,若？是？勺充分不必要条件, ?> -

7、2则正实数m的取值范围是.【答案】(0,1【解析】若？是？的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q对应的平面区域在 P对应平面区域内，作出不等式组对应的平面区域，(?+ 1)2 + ? = ?对应的圆心为(-1,0),半径？?=的，由图象知当圆与 ？ ?= 0相切时，圆心到直线的距离 ？?二 q=三=3，则？ = 1, V2V21217若q是p的充分不必要条件，则10< ?，一、一 1即实数m的取值范围是(0,2,1故答案为：(0,2C,则?面积10.已知函数？?=寸3?2?象与函数？?= 3?2图象相邻的三个交点分别是A, B,为.【答案】3? 2【解析】函数？?=言?？?2?

8、象与函数？?= 3?2?点为(?？?)令母？2?2? ?2?, ? 4? 7?解得2?= 3石行， ? 2? 7?所以？?=: 2r )6,3 , 6，即？?。2), ?伊,-3), ?/,3),所以三角形的底边长为？高为3 + 2 = 3.一1 一3 一?2 ? 2 x ?x 3 = 2 ?4的实线部分上运动,11.如图，点F是抛物线C： ? = 4?勺焦点，点A, B分别在抛物线 C和圆？+(?- 1)2 = 且AB总是平行于y轴，则?长的取值范围是 .【答案】(4,6)【解析】解：抛物线 ？ = 4?勺焦点为(0,1),准线方程为？?= -1 ,圆(?- 1)2 + ? = 4 的圆心为

9、(0,1),与抛物线的焦点重合，且半径？?= 2, ."?= 2, |?= ?+ 1, |?|= ?- ?,三角形 ABF 的周长=2 + ?+ 1 + ?- ?= ?+ 3,.,1 < ?< 3三角形ABF的周长的取值范围是(4,6).12.?,? 1 已知函数？(?= 1 .?+ n 2 (?+ I，？<故答案为：(4,6).，若？ ?且?(?)= ?(?)贝IJ ?+ ?勺取值范围是 1【答案】虞+8)【解析】如图,若?(?)= ?(?)即氐?？+ 1) = ?,所以?= 2?- 1,由图可知?> 1,则？+ ?= 2? + ?- 1 ,其中?>

10、1 ,令？(？= 2? + ?- 1 ,则? ' (?-2?-? +1 = 0,解得？?= ?2 1 ,所以？(?限(1, +8)上单调地增， 则？(？/？6= ?所以？+?酌取值范围是£+ 8)且的？的?13 .已知平行四边形 ABCD的面积为96，/?2?, E为线段BC的中点.若F为线段DE上的一点, 35?2? -? ?贝IJ | ?的最小值为【答案】黄【解析】设| ?:?，|的?>? = ? ?的的的的0 < ?K 1则.， .,.?= 18 .?乃线段BC的中点，.,.?= ?+? ?+? ?=? ?1?2.? ?，？?>?2? ?讣?=?+ ?

11、加? -?2=(1 - ?+ ?2又？=?+? 5 ?6 y?_ 5.,. 1 - 2 = 6 .-.?= ?= 1.，3?= ?.? 1?5?36|?= |1?+? 5?I , rcl36=+ -v* + 2x-x-xmxnx eos9 蜀3 6=1?2 + 25? - 59361 -q 25 2 >2-/9?2x36?- 5= 5,（当且仅当1?2 = 25?,即？= 5?= 3为时等号成立） 9362.,.I ?M v5.故I ?最小值为V5.14 .已知在?, a, b, c分别为三个内角 A, B, C的对边，若？=?2?,?测【答案】2【解析】解：由?=?2?竺?2 竺?&#

12、39;? ?所以?2?利?r! = 2?4+ 2?' '2?2,整理可得3?另+ ? = 3?,所以以2 + (书2= 1，令?= ?崔;=? 一一他？' 则？?+?= ?3?2?(?§ <2,即安的最大值为 2.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在?,角A, B, C的对边分别为 a, b, c.若23?+ ?=?0,且?锐角三角形，？?= 7, ?= 6,求 b 的值;_?,、（2）若?="，?= 求？?+ ?的取值范围.【答案】解： .-23?/2/?+ ?=?23?+ 2?- 1 = 0,?= !，又 :？效锐角，？?，

13、COS 255而？ = ?+ ?- 2?,? - 12-?- 13=055解得？?= 5（舍负），.？?= 5; 方法一：（正弦定理）由正弦定理可得2?+ ?= 2(?2(?-?sin (-一?)= 2”sin(?+排-.-0 <?< 2-?, .,.?< ?+3 '6?5?66 '1-<2sin(?+ 入，.,.?+?6 (V3,2".方法二：（余弦定理） 由余弦定理？=?+?- 2?/?2 + ?- 3 = ?3n即(?+ ?2- 3 = 3? 4 (?+ ?2 ,.,.?+ ?< 2v3,又由两边之和大于第三边可得？?+ ?>

14、 V3,. .?+ ?6 （资,2贫.16 .在三棱柱？中，侧面？?会面 ABC,?= ?= ?= ?= ?= 2,且点。为 AC 中点.（1）证明：？"面 ABC;求三棱锥?- ?的体积.【答案】证明：（I ） .?= ?且。为AC的中点. .?，？?又.平面？府？"面ABC ,平面？?n平面？?？ ?且？平面？?？"面 ABC解：（II） .?/?, ?平面 ABC, ?平面 ABC,.,.?/ 平面 ABC,即？到平面ABC的距离等于？到平面ABC的距离由（I）知？产面 ABC 且？="？?？ ？?2?="，1_X- X2 X，3X，3=

15、 12.三棱锥？ - ?的体积:?-?户 ？扁-?户 ? ? ?= 一, 1 , i 33Q,其中17 .如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB为6,。是圆心，且？?！?在OC上有一座观赏亭/ ?咛计划在？力再建一座观赏亭p,记/?乳0 <?<?）,?酌正当/ ?越大时，游客在观赏亭p处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭p处的观赏效果最佳时,弦值.【答案】解：（i）.设/?=?由题意,?,?= 3,2?/?- /?=?=33 '.,.?= v3.在? ?= 3, / ?- ?= 2?- 3? = 6?, 2236.由正弦定理得?sin / ?=? sin / ?3 _3 一

16、. 'sin? = sin(?-?- 6)V3sin?= sin(? - ?- 6? = sin(56?-v3sin?= sin 5?cos?- cos5?sin?= 1cos?+ 3 sin?, 6622.,.v3? ?.?为锐角,，？?？0, .?承?彳4?= 6-;(2) .设 / ?在?, ?2 3, /?=?- ?=?- ?=?, 2236由正弦定理得?sin / ?=? sin / ?餐3sin? = sin(?-?-( ?)'?."？? ? ? (_ ?),?=sin2- (?- ? = cos(?2 ?, =? ?22?2?2? ? .( V3- ?)

17、?=?22222?其中菸'-?, ?0,?.'.?=?=,通-?记？?(? = we? (=?F3s3黑，？6(。当； .令？ '(=?0 .二？?", 3 存在口f 一 ? (0, ?),使得 sin? = 33,当? (0, ?对,?' (?0, ?(?学调增,?当？ 6 (0, 2)时？(<?0, ?(?学倜减， .,当？?= ?i寸，？?(?僦大， .tan / ?222：,又,/ ?锐角， _,.一 、点.,从而 / ?锐：，此时？?2?2,3答：观赏效果达到最佳时，？酌正弦值为 3.3?18 .如图，已知椭圆？ 了 + ? = 1,

18、F为其右焦点，直线l： ?= ? ?(?0 0)与椭圆交于？(?？?)，?(?, ?)两点，点 A, B 在 l 上,且满足 |?= |?,| |?|= |?| |?= |?|(点 A, P, Q, B 从上到下依次排列(I)试用？表示|?刁【答案】解：(1) .椭圆(n)证明：原点o到直线? 了 +.,.?= 2, ?= aA,由椭圆的第二定义可知,|?|一?1? 1?=?=-?|?|V3-4冠?1v3.,.|?= 2 - £?(2)设AB的中点M , PQ的中点？?(?？,？?),则 |?|= |?- ?= |?+?+? I2 I|?-?|?-?|西j? -?2|4，?= ? ?

19、消去 y 可得,(1 + 4?)? + 8? 4?28?+?=- 121+4?2_ 4?2-4，？+?= ?(?1?+ ?) + 2?=? = 1+4?22?1+4?2 '.,.|?2 =?+?= ：(? + ?)2 + (? + ?)2=?2(16?2+1)(1+4? 2) 22216(4?2-? 2+1)|?- ?|2= (?+ ?)2- 4?=(1+4?平，,.,|?|= |?! M 为 AB 的中点,.原点 o 到直线 i 的距离? = |?2 = |?2 - |?2 =(1+4?2)2c cC4?2-3?2(16?2 + 4) - 3(4?2 + 1) = +.而由点到直线的

20、距离公式可得,原点0到直线l的距离？=, 二.驾三二 二化简彳导,?名=?+14?修+1?2+15故原点0到直线l的距离为1,是定值.19 .已知 a, ? ?设函数?（?= ?- ? ?媳?？ 1 .（I ）若？?= 0,求？（?朝单调区间；（II）当？6 0, + 8）时，？（?赛最小值为0,求？?+法?？勺最大值.注：？?= 2.71828.为自然对数的底数.【答案】解： 当？?=0时,?（?=?- ?.？，（?- ?当？?< 0时，？（野）0,所以？（?）调递减，当？?> 0时，？（?冬（-8, ?刊调递减，在 （?8）上单调递增.当？?=如，?2) =2?- ?>

21、0,.,.?+ v5?( 23？下面证？?+ 0?= 2/簿号可以取得：?(=?- ?0?孕+1 '1 , 一v5,?”=/?一 3？?= 0解得,?+ v5?= 2。？?= ?=3V?4v5?4即证：？(?= ?- 34-?-等，?+ 1 >0(?>0)恒成立,?(?)?-33？ V5?1丁一 Tx2V?+1 x2?29 V5?=?x 4 V?+ 1-?!工 ?=3？(？2 - -x='4 3修+13储？4?(存)3?-2 - ?(-=) Z = 3?2-v514 ?(，?+1) 3，八一1,. ?> 0, .,.?= ?+ 1单调递增， ?= - （基用3

22、单倜递增,.,.?''单（?硬增，.? （管?？（0） "?篇 9） > 0,.?'（W递增，考虑到？'；）（= 0,.当0<?< 1时，？（?）0,当？?> 1时，？（?）0,.?(?限0, 1)上单调递减，在(1,+ 8)上单调递增，1.,.?(?户?2)= 0,.,.?+ 途?酌最大值为 26?)?+1_ _ ? ?+1_ _ ?3?20 .已知数列? , ?，满足？=?= 1 ,?=?= 2 ,并且其=?-1 ,同 > ?五，(?为非零参数，？?= 2 ,3, 4,).(1)若？，？，？成等比数列，求参数 ？?&g

23、t;。时，数列?的通项公式；?，？(2)(?股?=F?当？?>0时，证明：对任意的？6?，?+1 <?;。制?>1 时证明 H+*+? +?)?< 上(?？6?)(.N)一I H' 以刀 ?1-?2?-?3?+1-?+1?-1 I八?2?2?32 ?R【答案】解：(1)由已知？=?= 1,旦河=?踪？ ？?= ?五二?玄？ ?= ?，西=? ? = ?, 213243若？、？?、？成等比数列，贝IJ ? = ?,即？ = ?,而？?> 0,解得？?= 1,当？?= 1数列?为等比数列,?= 1,? ?夕;(2)(?)由已知？?> 0, ?= ? =

24、1 及？? = ? = 2,可得？?> 0, ?> 0.上,扇七 ?3?+1、CC ?、c2 ?-1c c?-1 ?c?-1由不等式的性质，有 其 >?-1 >?可?2= ? = ? = ?另一方面止=?江=?也=? = ?-1 ?!= ?-1?3?3?-1?-2?.?+1一2?-1?+1 一一一 一一？. ?+1?_因此，高 >?1 =不?(?£ ?)，故而；<?(? 6 ?), ?初是递减数列-?+1 <(?)?> 1 时，由(?冽知？?> ? > 1(? ?);?+1?？今又由(?=<?；(? 6?)，则?+1-

25、?+1?+1?+1-?+1n*，从而F；而->?+1?=?-1 (? ?夕)因此黑+装+?+ ?+1-?+1 & 1?+ ?+ J?-11-( 1?/<?-1数学附加题21 .【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2 :矩阵与变换(本小题满分10分)已知AABC的顶点坐标分别为 A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)分别求两次变换所对应的矩阵Mi,M2；(2)求点C在两次连续的变

26、换作用下所得到的点的坐标【答案】解：(1) M1二0 -10,M 2=1-10(2)因为 M =M2M1二1-1-1，所以M故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1,2).B：选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)x sin ,已知曲线C的参数万程为2 代0,2n曲线D的极坐标万程为y cossin(1)将曲线C的参数方程化为普通方程(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由.【答案】解：(1)曲线C的普通方程为x2+y=1,x 6 -1,1.(2)由 p sin4 二-,2,得曲线D的普通方程为x+y+2=0.x联立 2x0,得x2-x-3=0,1,解得 x= 1_113

27、 ? -1,1, 2故曲线C与曲线D无公共点.C：选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 已知 x>1,y >求证:x2y+xy 2+1 <fy2+x+y.【答案】解：左边-右边=(y-y 2)x2+(y 2-1)x-y+1=(i-y)yx 2-(i+y)x+i二(i-y)(xy-i)(x-i),因为x>1,y >所以1-y<0,xN>0,xQ0从而左边-右边(0,即 x2y+xy 2+1 < xy2+x+y.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)如图，在三年薪t P-ABC中，已知平面PAB,平面ABC,AC，BC,AC=BC=2a,点O,D分别是AB,PB的中点，PO，AB,连接CD.(1)若PA=2a,求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(第22题)【答案】解：连接OC.因为平面PAB，平面ABC,平面PABH平面ABC=AB,PO ±AB,所以PO,平面ABC.因为AB ?平面ABC,OC ?平面ABC,所以 POX AB,PO ± OC.因为AC=BC,点。是AB的中点，所以OC, AB,且OA=OB=OC= & a.如图，建立空间直角坐标系 O-xyz.(1) PA=2a,PO=、2a.A(0