2021高中数学一轮复习课时过关检测(五十一)抛物线

1、第9页共11页课时过关检测（五十一）抛物线A级夯基保分练1,若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为（）A. （8,8）B. （8, 8）C. （8,九）D. （-8, i8）解析：选C设P（Xp, yp）,点P到焦点的距离等于它到准线x= - 2的距离，-XP= 8,则 yp= d8,.点P的坐标为（8,均.故选C.2. （2020广东广州一模）已知F为抛物线C: y2=6x的焦点，过点 F的直线l与C相交 于 A, B 两点，且 |AF|=3|BF|,则 |AB|=（）A. 6B. 8C. 10D. 1233解析：选B 抛物线y2=6x的焦点坐标为 3, 0 ,准线方

2、程为x=-2,3 -3设 A（x1，y1）, B（x2, y2）, -. |AF|= 3|BF|, /.x1 + 2 = 3 x2+2 , -x1=3x2+3,91. |y1|=3|y2|, - x1 = 9x2, - x1=2, x2 = 2, 33 .|AB|= x+2 + x2 + 2 =8.故选 B.3. （2019河南郑州二模）已知抛物线C： y2 = 2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A, B两点（A, B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点 F到直线AB的距离的最大值为 （）A. 2B. 3D. 4C3C.2解析：选C 设直线AB的方程为x= my + t, A（x1，y

3、1），B（x2, y2）.x= my+ t,由？ y22my2t =0? y1y2 = 2t,y2= 2x2yy2 2由 OAOB?xix2+ y1y2=4+ y1y2= 0? y1y2= 4,. t = 2,即直线 AB过定点（2,0）. 1 3，抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为 2 2 = 3故选C.4. (2019河南郑州二模)已知抛物线C： y2 = 4x的焦点为F,直线l过焦点F与抛物线C 分别交于A, B两点，且直线l不与x轴垂直，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则 SaAOB=()B. 3A. 2 V2C.mD. 3邓解析：选A 如图所示，F(1,0).设

4、直线l的方程为y=k(x-1)(kw0), A(x1, y1), B(x2, y2),线段 AB 的中点 E(xo, y。).则线段AB的垂直平分线的方程为y= 1(x- 5).k、 y= k x1 ,、412联立化为 ky24y 4k= 0,，y1 + y2=” y1y2=4,，yo=(y1 +y2) = ,y2= 4xk2kyo2,22 ,、_ 11 2xo=? + 1 = k2+ 1,把Ek2+1,代入线段AB的垂直平分线的方程 y= k(x5),可得=1 2. 一 .-k- - 2+ 1-5 ,解得 k2= 1.Szoab= 2X 1 X |y1 y2|= 2 4 y1 +y2 2 4

5、y1y2 = 2第+ 16= 2 *.故选 A.5.(多选)设抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上，|MF|=5.若以MF为直 径的圆过点A(0,2),则C的方程为()A . y2= 4xB . y2= 8xC. y2= 2xD. y2= 16x解析：选AD由已知得抛物线的焦点F p,。设点M(x。，y。)，则Q = ：, - 2 , AMty。)c8=2p，yo-2 .由已知得， AF AM =0,即 y。一8y。+16=。，因而 yo=4, M 6, 4 .由 |MF| =5,得 勺。2 2+ 16 = 5.又 p>0 ,解得 p = 2 或 p= 8.故

6、 C 的方程为 y2= 4x 或 y2= 16x.6.(多选)已知抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为 值且经过点F,直线 l与抛物线C交于A, B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D,若|AF|=4,则 以下结论正确的是()A. p=2C. |BD|= 2|BF|B. F为AD中点D. |BF|=2解析：选ABC 如图，F P 0 ,直线l的斜率为 后则直线方程为y=43x 2，y2=2px,联立p 得 12x220px+3P2=0.y= V3 x-2解得 xa= 2p, xb = 6p,3 pm由 AF| = p + 2 = 2p=4,得 p =2.

7、抛物线方程为y2=4x.1 1 14xb=6p=3，则|bf|=3+ 1 = 3,4|BF| 3 8 lBDl=CF=3, IbdI=2ibfi,2|BD|+|BF|=：+ 8=4,贝U F 为 AD 中点， 3 3，运算结论正确的是 A、B、C.故选A、B、C.7. （2019河北衡水三模）设5为抛物线y2=4x的焦点，A, B, C为该抛物线上三点，若， ，一-， 一 一 ,A, B, C 三点坐标分别为（1,2）, （x，y1），（x2, y2）,且 | FA |+| FB |+| FC |= 10,则 x1 + x2解析：根据抛物线的定义，知PFa |, PfBl, |记|分别等于点

8、A, B, C到准线x=- 1的距离，所以由 | FA |+ | FB |+ |FC |= 10,可得 2+xi + 1 + X2+ 1 = 10,即 xi + X2=6.答案：68.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F,且倾斜角为60°的直线交抛物线于 A, B两点，若AF|>|BF|,且 |AF|=2,则 p =.解析：过点A, B向抛物线的准线x= p作垂线，垂足分别为 C, D,过点B向AC作垂线，垂足为E, . A, B两点在抛物线上，AC|=|AF|, |BD|=|BF|.BEXAC, .,.|AE|= |AF|- |BF|, 直线AB的倾斜角为60； 在

9、RtBE 中,2AE|= |AB|= |AF|+ |BF|,即 2(|AF|BF|)=|AF|+|BF|,，|AF|=3|BF|. .|AF|=2, . .|BF| = |, .|AB尸 AF|十|BF|=8.33设直线AB的方程为y=V3 x p ,代入y2=2px,得 3x2 5px+3p2一=0,设 A(xi,yi), B(x2, y2),-xi + x2= 5p,. |AB|= xi+ x2+ p=-.p= 1.答案：19. (2020江西萍乡一模)已知抛物线 C: y2 = 2px(p>0)的焦点为F,准线l: x=1,点M在抛物线C上，点M在直线l: x=- 1上的射影为A,

10、且直线AF的斜率为<3,则4MAF的面积为解析：如图所示，设准线l与x轴交于点N,则|FN|= 2. 直线AF的斜率为一 击，辛FN=60： .JMAF =60 °, |AF|= 4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|, .AMF是边长为4的等边三角形.Szamf = 4X 42= 4 我.答案：4 .310 .(一题两空)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F, M为抛物线上一点， O为坐标原 点. OMF的外接圆N与抛物线的准线相切，外接圆 N的周长为9兀.(1)抛物线的方程为 ;(2)已知不与y轴垂直的动直线l与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线

11、和直线x=3于A, B两点，则辐=.解析：(1)ZOMF的外接圆N的圆心N必在线段OF的垂直平分线上，且外接圆N与准线相切，外接圆 N的周长为9%39，外接圆的半径为4P=9,即p=6,.抛物线的方程为y2=12x.(2)由题知直线l的斜率存在且不为 0,可设 l: y= kx+ b(kw0),y= kx+b,由消去 x,彳导 ky2-12y+12b=0.y2= 12x,直线l与抛物线只有一个公共点，且kw 0,.A= ( 12)24kx 12b=0,即 kb=3.,直线l: y=kx+b与准线x= 3交于点A,. A(- 3, -3k+b),即 A 3, - 3k + 3，同理 B 3, 3

12、k+f , kk胆二正-32+ -3k+3-02|BF| 勺 33 2+ 3k+ 3 0 2、卜6+ 9k2 18 + 19k2+18+j9答案：(1)y2=12x (2)111 .已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2企的直线交抛物线于 A(Xi, y1), B(x2, y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9.(1)求该抛物线的方程；(2)o为坐标原点，c为抛物线上一点，若 Oc = -Oa + xOb，求入的值.解：(1)由题意得直线AB的方程为y=2V2 x-p ,与y2= 2px联立，消去y得4x2 5px+ p2= 0,所以xi + x2=臂.由抛物线定义

13、得|AB| = xi + x2+ p =个+ p= 9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得 4x25px+p2=0,即 x25x+ 4=0,则 xi=1, x2 = 4,于是 y1= 2强 y2=4隹从而 A(1 , 272), B(4,4m).设 C(x3, y3),则 oK=(x3, y3)=(1, -22)+ ?(4, 4 V2)=(4 计 1,4加入一班).又 y3=8x3,所以2加(2 卜 1)2=8(4 计 1),整理得(2L 1)2=4计1 ,解得上0或上2.故入的值为0或2.12 .设抛物线 C: y2=2x,点A(2,0), B(-2,0),过点A的

14、直线l与C交于M, N两点.当l与x轴垂直时，求直线 BM的方程；(2)证明：/ ABM = /ABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x= 2,可得M的坐标为(2,2)或(2, -2). 1.1所以直线BM的方程为y = 2x+1或y= 2x 1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以/ABM = /ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x2)(kw0),M(x1, y1), N(x2, y2),则 x1>0, x2>0.y= k x 2 ,由得 ky22y 4k= 0,y2= 2x2可知 y1+y2=7，y1y2= 一4.y1y2x2y +

15、x1y2 + 2 y1 + y2直线BM, BN的斜率之和为 kBM + kBN =J+-=.x1+2 x2+2x + 2 x2+2公V1V2 一一将x = 1+2, x2=2及y+y2, yy2的表达式代入式分子，可得x2y1 + x1y2 +2(y1=0.所以kBM + kBN=0,可知BM, BN的倾斜角互补，所以+ y1)=2y1y2+4k y1 + y28+8/ABM = /ABN.综上，/ABM = /ABN.提能综合练x213.(多选)如图，已知椭圆 C1： 4+y2=1,过抛物线 C2： x2=4y焦点F的直线交抛物线于 M, N两点，连接NO, MO并延长分别交 Ci于A,

16、B两点，连接 AB, OMN与 OAB的面积分别记为 SaomnOAB,则在下列命题中，正确的为()A.若记直线NO, MO的斜率分别为ki, k2,则kik2的大小是定值为一B. 4OAB的面积 生oab是定值1C.线段OA, OB长度的平方和|OA|2+|OB2是定值S；A oab解析：选ABCD A. F(0,1),设直线 MN的方程为y= kx+1, M(x1，y1), N(x2, y2),y= kx+1,联立方程组消元得：x24kx4=0,x2= 4y，X1 + X2=4k, x1X2=-4,. y1y2= (kx1+ 1)(kx2+ 1)= k2x1x2+ k(x1 + x2)+

17、1 = 1,y2 y1y1y21,*水2 =芯2=装=4,故A正确;211 x2B.设直线OA的方程为y= mx(m>0),则直线 OB，、-1的万程为y=一而x,y= mx,联立方程组x27+y2=1不妨设A在第象限，则+ 4m22m41+4m2，用一1，一.r4m®煲m可彳导B211+4m212m1+4m2第10页共11页.'SZOAB11 %，16m2 + 12+ 8m22 |OB| d =万 i= 1,故 B 正确弋 4m2+1 y1+4mq 1+16m22244m2 4+4mC,又 0A1 =1 + 4m/1+4m2= 1 + 4m2'16m2+11O

18、B12=f5 + 20m2.|OA|2+|OB|2=7=5,故 C 正确;1 + 4m2y= mx,D.联立方程组x2 = 4y可得 x(x 4m)=0,故 N(4m,4m2), .|0N|= 4m>J m2+ 1,1 一 一,r 114m替才m可彳导M 一启病. M到直线OA的距离h =1白4mAJm2+ 11 +1 4m21 + m2-111 Szomn = 2 |ON | h= 2m 1+4巾2 = 2m +2m> 2,当且仅当11 一2m即三时取等号.S ZOMN，入=Szomn>2,故 D 正确.S ZOAB故选 A、B、C、D.14. (2019江西九江二模)已知

19、抛物线C: x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,8|AF| |BF|B两点，连接AF并延长交抛物线 C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当/ AFB最 大时，|AD| =.解析：设 A(x1，y1), B(x2, y2), D(x3, y3),由抛物线定义得 y+y2+2= |AF|+|BF|,y1 + y2-2-=|AB|1, .|AF|十|BF|=2|AB|,|AF|2+|BF|2一|AB|2 ,COS/AFB=2|AF| |BF|3 |AF|2 + |BF|2 2|AF| |BF |第13页共11页6|AF| |BF|2AF| |BF| 18AF| |BF| 2，当且

20、仅当|AF|=|BF|时取等号.当"FB最大时，AFB为等边三角形，y= >/3x+ 1,联立消去y得，x2 45x4=0,x2=4y,. Xl + X3=4 艰，. yi + y3= >/3(xi + x3)+ 2= 14. .|AD|= 16.答案：1615.已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线11, 12,设11与轨迹C相交于点 A, B, 12与轨迹C相交于点D, E,求AD*B的最小值.解：(1)设动点P的坐标为(x, y),由题意得y x- 1 2+y2

21、|x|=1,化简得y2=2x+2|x|.当 x>0 时，y2=4x;当 x<0 时，y= 0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x>0Dy=0(x<0).(2)由题意知，直线11的斜率存在且不为 0,设为k,则11的方程为y= k(x 1).y= k x 1 ,由得 k2x2 (2k2+4)x+k2 = 0.y2=4x,设A(x1，y1), B(x2,y),则x1, x2是上述方程的两个实根，于是x1 + x2=2+2, x1x2 =一， ,，一，1 1.因为11 1 12,所以12的斜率为一片设D(x3, y3), E(x4, y4), k则同理可得 x3+x4=2 + 4k2, x3x4=1.一 .、.所以 AD EB = ( AF + FD ) ( EF + FB )> > > > > > > >=AF EF + AF FB + FD EF + FD FB> > > >= |AF | |FB |+|FD