2011年中考数学复习教案函数与一元二次方程

1、中考复习之函数与一元二次方程 知识考点: 1、 理解二次函数与一元二次方程之间的关系； 2、 会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与 X轴的交点情况； 3、 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题： 【例 1】已抛物线y=(m-1)x2 (m-2)x-1 ( m为实数)。 (1) m为何值时，抛物线与 x轴有两个交点？ (2) 如果抛物线与 x轴相交于 A、B 两点，与y轴交于点。，且厶 ABC 的面积为 2,求 该抛物线的解析式。 分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 将问 题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根 m应满足的

2、条件。 m -1 式 0 略解：(1)由已知有 2 ，解得m式0且m式1 严=m 0 (2)由 X =0得 C(0, 1) 1 1ml, o S也BC = ； AB OC =二 - 1 = 2 2 2 |m-1| 4十 4 m 或m = _ 3 5 12 2 64 y x x1 或 y x x1 3 3 5 5 【例 2】已知抛物线y =x2 -(m2 8)x 2(m2 6)。 (1)求证：不论 m为任何实数，抛物线与 x轴有两个不同的交点，且这两个点都在 轴的正半轴上； (2) 设抛物线与y轴交于点 A,与x轴交于 B、C 两点，当 ABC 的面积为 48 平方单 位时，求m的值。 (3)

3、在(2)的条件下，以 BC 为直径作 O M,问 O M 是否经过抛物线的顶点 P? 解析：(1)，二(m2 4)2 0，由 x1 x2 = m2 8 0 , %x2 二 2(m2 6) 0 可得 证。 (2) BC| =论x2 +x2)2 4x2 = J(m2 +8)2 8(m2 + 6) =m2 4 OA =2(m2 6) 又 S ABC - 48 1 (m2 4) 2( m2 6) = 48 2 解得m2 =2或m2二-12 (舍去) m = 、2 2 m -1 又 (3) y = x 10 x + 16，顶点(5, 9), BC = 6 / -9 6 O M 不经过抛物线的顶点 P。

4、评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系， 因此，善于促成二次函数问题与二次 方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新： 2 2 C 【问题】如图，抛物线 y = x -(a b)x ，其中a、b、c分别是 ABC 的/ A、 4 / B、/ C 的对边。 (1) 求证：该抛物线与 X轴必有两个交点； )设有直线y=axbe与抛物线交于点 E、F,与y轴交于点 M ,抛物线与 y轴交于点N，若抛物线的对称轴为 X = a , MNE 与厶 MNF 的面积之比为 5 : 1 , 求证： ABC 是等边三角形； (2) 当S.ABC二-3时，设抛物线与x轴交于点 P、Q,问是否存

5、在过 P、Q 两 点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆， 求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：(1) ： = (a b) -c =(a b c)(a bc) / a b c 0, a b_c 0 . 0 a + b (2)由 - 二a得 a =b 2 2 - 2 c 2 y=x-（a b）x c 4 得：x - 3ax + + ac = 0 4 2 c 设 E（ Xi， yi），F（ X2，y2），那么：Xi + X2 = 3a，X1X2 = + ae 4 y = x2 -4X 1的对称轴是x = 2，与X轴的两交点坐 标为 P( 2 ，0)，Q( 2 + 3，0) 设过 P、Q 两点

6、的圆与y轴的切点坐标为(0, t)，由切割线定理有：t2=OPOQ t = -1 故所求圆的圆心坐标为(2, - 1 )或(2, 1) iy 由 S.MNE : S.MINF = 5 1 得： Xr =5X2 或 = _5X2 由x1 x2 0知为=-5X2应舍去。 鼻1 + X2 = 3a a 解得x2 = “ =5x2 2 广 5 i = c + ac，即卩 5a l2丿4 a 二 c或 5a c = 0 （舍去） a = b = c ABC 是等边三角形。 （3） s ABC 二 3，即一3 a a 4 a = 2 或 a - -2 （舍去） a = b = c = 2Xi =5x2 2

7、 4ac c 0 N P O 问题图 M 评注：本题(1) (2)问与函数图像无关，而第( 3)问需要用前两 问的结论，解题时 千万要认真分析前因后果。 同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时， 尽管前一问没有 解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。 X2 1 2 0 3、若抛物线 y = -?x mx m -1交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C,且/ ACB= 90 , 则m =。 4、已知二次函数 y =kx - (2k -1)x-1与x轴交点的横坐标为 他(/ ： x?)，则对于 下列结论：当x = -2时，y =1 ；当x x2时，y 0 ；方程kx2

8、 (2k - 1)x -1 = 0 有两个不相等的实数根 X1、X2 :X1 ： -1 , x2 -1 :X2 - X11 4k ，其中 k 所有正确的结论是一(只填写顺号)。 三、解答题： 跟踪训练： 一、选择题： 1、 已知抛物线y = 5x 49 ，则m的值为 25 A、一 2 2、 已知二次函数 于点 A (- 2, X yi 4)， () -(m-1)x m与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于 B、12 C 24 D、一 2 或 24 二ax bx c ( a丰0)与一次函数 y2二kx m ( k丰0)的图像交 B (8, 2),如图所示，则能使 y1 a y2成立的x的取

9、值范围是() B、 x 8 C、 一 2 ： x ： 8 D、 x ： -2 或 x 8 1 / L 第 4 题图 bx c与两坐标轴的交点分别是 A、B、丘，且厶 ABE 是等腰直角 c2其中 3、 如图，抛物线 三角形，AE= BE,则下列关系：ac=0 :b=0 :ac - -1 :S ABE 正确的有() A、4 个 4、 设函数 y - -X： OA 与 OB 的比为 A、-或 2 3 二、填空题： 1、 已知抛物线 y ：2 行=17, 2 2、 抛物线y = x y = ax B、3 个 C、2 个 D、 :2 - 2(m -1)x m 1的图像如图所示，它与 X轴交于A、 1

10、: 3,则m的值为() D 1 B、 C 1 D、 3 2 -x -(k-1)x-3k-2与x轴交于两点 A (。，0), B 则k =。 -(2m -1)x -2m与x轴的两交点坐标分别是 A ( X1, 0), Xi =1，则m的值为。 2 1、已知二次函数 y = ax2+bx+c ( a丰0)的图像过点 E (2, 3),对称轴为x = 1, 2 2 它的图像与x轴交于两点 A ( x1 , 0) , B ( x2 , 0),且 c X2 , x1 + x2 =10。 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 在(1)中抛物线上是否存在点 卩，使厶 POA 的面积等于 EOB 的面积？

11、若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 2 2、 已知抛物线 y = x +(m 4)x +2m +4与 x轴交于点 A ( Xi, 0), B ( X2 , 0)两 点，与y轴交于点 C,且Xi ： X2 , Xi 2x2 =0，若点 A 关于y轴的对称点是点 Do (1) 求过点 C、B、D 的抛物线解析式； (2) 若 P 是(1 )中所求抛物线的顶点， H 是这条抛物线上异于点 C 的另一点，且 HBD 与厶 CBD 的面积相等，求直线 PH 的解析式； 1 2 3 3、 已知抛物线 y=?x - 2m交x轴于点 A( Xi，0)，B ( X2，0)两点，交 y 轴于点 C,且 x1 :：: 0 ： x2，(AO BO)2 -12CO 1 o (1) 求抛物线的解析式； (2) 在X轴的下方是否存在着抛物线上的点，使/ APB 为锐角、钝角，若存在，求出 P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。 参考答案 一、 选择题：CDBD 二、 填空题： 1 1、2； 2、一； 3、3； 4、 2 三、 解答题： 1、