最经典总结-命题及其关系、充分条件与必要条件

1、命题及其关系、充分条件与必要条件高考导航顺风启程.最新考纲常见题型1 .理解命题的概念.2 .了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否 命题，会分析四种命题的相互关系.3 .理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.多以选择题出现于第1、2题位置、占5分左右.知识梳理概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2.四种命题及其相互关系 四种命题间的相互关系:(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于 逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,21.3.充要条件若p? q,则p是q的充

2、分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件p? q 且 q/? pA是B的真子集p是q的必要不充分条件p/? q 且 q? pB是A的真子集集合与p是q的充要条件p? qA= B充要条p是q的既小充分也不必要条件p/? q 且 q/? pA, B互/、包含件知识感悟1 .四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假.(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假.同时要关 注“特例法”的应用.2 .命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若 p则q、若q则p的真假.(2)等价

3、法：利用 A? B与税B?税A, B? A与税A?税B, A? B与税B?税A的等价 关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3)集合法：若A? B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若 A=B,则A是B的充要条件.知识自测1.下列命题中为真命题的是（）A.命题“若x>y,则x> |y的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x> 1”的逆否命题解析对于A,其逆命题是若x>|y|,则x> y,则真命题，这是因为 x> |y|>y,必有x &g

4、t;y.答案a一兀 兀, 一 ，1 ,一2 . （2017 天津）设R,则“。 < 是 sin 0<万 的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件一兀 兀-711,11 一、4一兀 兀解析。一万 <12? 0V e<6? sin e<5，但 0= 0, sin 0<不满足 9-石 <12,所以是充分不必要条件，选A.答案A3 .在下列三个结论中，正确的是 .（写出所有正确结论的序号）若A是B的必要不充分条件，则税 B也是税A的必要不充分条件；一，a>0,“一”.，.“0”是“一元二次不等式 ax2+bx

5、+c> 0的解集为R”的充要条件; = b2-4ac< 0“xW1”是“x2W1”的充分不必要条件.解析易知正确.对于，若 x= 1,则x2=1,充分性不成立，故错误.答案题型一四种命题及相互关系（基础拿分题一一自主练透）（1）（2018广东肇庆一模）原命题：“设a、b、cC R,若a>b,则ac2>bc2"，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个解析原命题：若c=0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命 题： ac2>bc2知c2>0,由不等式的基本性质得 a>b, .逆命

6、题为真，由等价命题同真同 假知否命题也为真，有 2个真命题.答案C（2）（2018宿州*II拟）下列命题：“若a2vb2,则a vb”的否命题；“全等三角形面积相等”的逆命题；“若a>1,则ax22ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题；“若43x（xw0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是（）A.B.C.D.解析对于，否命题为"若a2>b2,则a>b",为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形 ; 是假命题；对于，当 a>1时，A= 12a<0,原命题 正确，从而其逆否命题正确，故正确；对于，原命题正确，

7、从而其逆否命题正确，故 正确，故选A.答案A思维升华1写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例3根据“ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假” 这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1 写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是

8、假命题，只需举出反例3 根据“ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假” 这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【针对补偿】4 命题“若x， y 都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是 ()A. “若x+y是偶数，则x与y不都是偶数”B “若x y 是偶数，则x 与 y 都不是偶数”C. “若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”D “若x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数”解析 由于 “ x， y 都是偶数” 的否定表达是“ x， y 不都是偶数” ， “ x y 是偶数 ”的否定表达是“ x y 不是偶数” ，故原命题的逆否命题为“ 若 x

9、y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数 ”答案 C2.已知：命题"若函数 f(x)=ex mx在(0,)上是增函数，则 mwi”，则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数 f(x) = ex mx在(0,)上是减函数，则 m>1"，是真命题B.逆命题是“若 m< 1,则函数f(x) = ex-mx在(0,十8)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若 m>1,则函数f(x) = ex mx在(0,)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若 m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0, +°o )上不是增函数，是真命题”解析由f(x) = e

10、xmx在(0, + 00)上是增函数，则f' (x)=ex mR0恒成立，mwi. 命题“若函数f(x)=ex-mx在(0, +8)上是增函数，则 mwi”是真命题，所以其逆否命 题“若m>1,则函数f(x) = exmx在(0, + 00)上不是增函数”是真命题.答案 D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面.高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必

11、要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题.考向一与不等式有关的题型1. (2018山西省大同市豪洋中学四模试卷)“mW J”是“？ x>0,使得3>mXX Xj N是真命题”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若？ x>0,使得2+=2>m是真命题，X NX N皿 X , 13则 m< 2+2T2 min，令 f(x)=X+ 2x-|,则 f(x)R 242 2X 2=11= 2, 故 m< 2，故 mW一"2" 是"m1.1.v2的必要不充分条件，故选 B.答案B考向二与三

12、角有关的题型2. (2018 石家庄一模)若命题 p： (j)= 2+kit, kCZ,命题 q： f(x) = sin(cox+(j)(coW0)是偶 函数，则p是q的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析当4= 2t+ k% kCZ时，f(x)= ±cos cox是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数 f(x)= sin(co x+ M cow 0)是偶函数，则 sin Q ±1,即(f)= 2+kit, kCZ,所以 p 是 q 的必 要条件，故p是q的充要条件，故选 A.答案A考向三与向量有关的题型3. (2018甘肃省兰

13、士卜|市二模)设向量a= (x 1, x), b=(x+2, x4),则"ab"是"x =2” 的()C.充要条件D.既不充分也不必要条件1八解析,. aXb,(x-1)(x+2) + x(x-4)=0,化为：2x23x2=0,解得 x=一万或2.'a± b”是"x=2”的必要不充分条件.故选： B.答案B考向四与数列有关的题型4. (2018北京市西城区一模)数列an的通项公式为an= |n c|(n C N*).则“cwi”是“an为递增数列”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析

14、数列an的通项公式为an= |n- c|(n N*),若“an为递增数列"，则 an+ian= |n+1 c|n c|>0,即(n +1 c)2 >(nc)2,解一 11 3得cv n + 2,n + 2>2,cw 1是 an为递增数列充分不必要条件，故选A.答案A考向五 与几何问题有关的题型5. (2016山东卷)已知直线a, b分别在两个不同的平面% 3内.则“直线a和直线b相交”是“平面 ”和平面3相交”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若a, b相交则 3一定相交.若 “，3相交则不能得出a, b相交.故选

15、A.答案A考向六与函数有关的题型lOg2x,6. (2018合肥一模)函数f(x)=方a()A . aw 0 或 a>11 .C.2<a< 1x> 0,有且只有一个零点的充分不必要条件是x< 01B. 0v av 2D. a<0log2x, x> 0解析因为f(x)= x有且只有一个零点的充要条件为aW0或a>1.由选项2 a, x<0可知，使“aw。或a>1”成立的充分条件为选项 D.答案D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略:常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，

16、根据集 合与充要条件之间的关系进行判断与平向向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件， 可把问题转化为有关向量之间的推理与一角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质 以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、an与S的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲 线的位置关系

17、，然后弄清题意进行判断提醒：解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断.【针对补偿】3. （2018东北三省四市联考）“x<2”是“ x2-3x+ 2<0”成立的（）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析由 x23x+ 2<0,解得 1<x<2,因为x1<x<2 xX<2,所以 X<2”是 “x23x + 2<0”成立的必要不充分条件，故选 A.答案A4. （2018广西名校联考）在4ABC中，命题 p： “BW60°”，命题 q： “ ABC的三个 内角A,

18、 B, C不成等差数列"，那么 p是4的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析命题 p： “BW60°” 则（A+C） 2B=兀B 2BW0, ?命题 q： a ABC 的三 个内角A, B, C不成等差数列 ;故选C.答案C5. （2016浙江卷）已知函数f（x） = x2+bx,则b<0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相 等”的（）A .充分不必要条件C.充分必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件b bb解析由题意知f(x) = x2+bx= x+2 2不 最小值为-X.令t= x2+

19、bx,则f(f(x) = f bb2b2b2= t2+bt= t+b 2-b4, t>-bj；,当 b<0 时，f(f(x)的最小值为一所以 b<0”能推出 “f(f(x) 的最小值与f(x)的最小值相等"；当b=0时，f(f(x)=x4的最小值为0, f(x)的最小值也为0, 所以“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出b<0”.故选A.答案A题型三 充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018皖北第一次联考)已知p：x>k, q： x+ 1 < 1,如果 pA. 2, +oo )C. 1 , +8 ). .3.解析-

20、 x77 <1，是q的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，则实数 k的取值范围是()B. (2, +8)D. (一00, 一 1)32 xrr八1=<0,即(x 2)(x+ 1)>0,，x>2 或 xv1, px+ 1x+1k>2.答案B(2)已知条件 p： 2x23x+ 1W0,条件 q： x2(2a+1)x+a(a+ 1)W0.若税 p 是税 q 的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是 .1 一 一解析命题p为x|2<x<1 ,命题 q 为x|awxw a+ 1.1税p对应的集合A= x|x>1或x<2 ,税q对应的集合 B = x

21、|x>a+1或xv a.税p是税q的必要不充分条件.a+1>1, a+ 1 > 1,1- i 或 1a<2a< 2，一 1一 1OWaW.故答案为0,万.1 1答案0, 2方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1. 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然 后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解.2. 求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间 的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【针对补偿】B. -4,46. 已知条件p： x

22、2 3x4W0；条件q： x26x+ 9- m2<0,若p是q的充分不必要条 件，则m的取值范围是（）A. -1,1C. ( 一00, 一 4 U 4 , +°°)D. (一00, 一 1 U 1 , +°0)解析p： 1WxW4, q： 3 mW xw 3+m(m> 0)或 3+mwxw 3m(m<0),m>0,依题意，3 mW 1,3+ m> 4m>0,或 3一 m<一 1,3+ m>4m<0,或 3 + mW 1,3 m> 4m< 0,或 3+ m< 1, 解3m>4,得 mW4

23、或 m>4,选 C.答案C7,已知不等式|x m|<1成立的充分不必要条件是<x<；则m的取值范围是 32解析由 |x m|<1 得 m1<x<m+1,若1Vx<1是|xm|<1成立的充分不必要条件, 3211得_ 1w mW 423.m 1 w 3 m 1<3则或11m+1>-m+1>-1 4答案£，3牛刀小试成功靠岸.课堂达标（二）A基础巩固练7. （2018山东重点中学模拟）已知命题p： “正数a的平方不等于0"，命题q： “若a 不是正数，则它的平方等于0"，则q是p的（）A .逆命题

24、B .否命题C.逆否命题D.否定解析命题p： "正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于 0”， 从而q是p的否命题.答案B8. （2016 天津卷）设 x>0, yC R,则 X>y”是 X>|y| '的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析若x>|y|,贝U x>y或x>-y,若x>y,当y>0时，x>|y|,当y<0时，不能确定x>|y|. 故选C.答案C9. （2018河北保定二模）“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分

25、条件 是（）A . m>1B. 0Vm<14C. m>0D. m>11解析由题意知，对应万程的A= （ 1）2 4m<0,即m>4.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m>0,故选C.答案C y x10. （2018北东市朝阳区二模）x>0, y>0是 :+72的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析“x>0,y>0"？ 1+ x>2"，反之不成立，例如取 x= y=1.，x>0, y>0”是“y+ x>2"

26、的充分而不必要条件.故选： A. x y答案A11. 题“若a, b, c成等比数列，则 b2=ac”的逆否命题是（）A. “若a, b, c成等比数列，则b2wac”B.“若a, b, c不成等比数列，则 b2wac”C."若b2=ac,则a, b, c成等比数列”D. “若b%ac"，则a, b, c不成等比数列解析根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题 “若a, b, c成等比数列，则b2 = ac”的逆否命题是“若b2wac,则a, b, c不成等比数列”.答案 D12. （2018安徽合肥一模）祖的I原理：“哥势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的

27、问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等设A、 B 为两个同高的几何体，p： A、 B 的体积不相等，q： A、 B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的 （）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析如果A, B在等高处的截面积恒相等，则 A, B的体积相等，因此有 p? q,但 q? p 不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故 p 是 q 的充分不必要条件故选A.答案 A13. “在 ABC中，若/ C

28、=90°,则/ A、/ B都是锐角”的否命题为： .解析原命题的条件：在 ABC中，/ C=90°,结论：/ A、/B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在4ABC中，若/ CW90°,则/ A、/ B不都是锐角”.答案“在 ABC中，若/ CW90°,则/ A、/ B不都是锐角”14. （2018湖南常德一中月考）若“x22x3>0”是“ x>a”的必要不充分条件，则 a 的最小值为 .解析 由 x2 2x 3>0，解得 x< 1 或 x>3.因为“x2 2x3>0"是X>a"的必要不充分

29、条件，所以x|x>a是x|x<1或x>3的真子 集，即a>3,故a的最小值为3.答案 39有三个命题：“若x+y=0,则x, y互为相反数”的逆命题；“若a>b,则a2>b2”的逆否命题；“若x<- 3,则x2+x6>0”的否命题.其中真命题的序号为 .解析命题为"若x, y互为相反数，则x+ y=0”是真命题；因为命题"若a>b,则a2>b2”是假命题，故命题是假命题；命题为“若x>3,则x2+x 6W0”，因为x2+x 6W0? 3WxW2,故命题是假命题.综上知只有命题是真命题.答案C 3310,已知集

30、合 A= y y=x2 -/x+1, xC2, B= x|x+ m2> 1.右 xCA 是 xC B”的充分条件，求实数 m的取值范围.2 3,3 2,7斛y= x2- 2x+ 1= x- 4 +,3c 7 一 .7 一一 x 4 2 , . < y<2, .A= y < yw 2 .由 x+m2>1,得 x>1m2, 1. B= x|x> 1 m2. “xCA”是“xCB”的充分条件，c 73 ,、3 A? B, 1 m2Wy6，解得 m>4或 m< 3 3故实数m的取值范围是8,tU：, + 8.4 4B能力提升练1. (2018湖南衡

31、阳第三次联考)已知函数g(x)的定义域为x|xw0,且g(x)w0,设p：函数f(x)=g(x)1 0x；是偶函数;q：函数g(x)是奇函数，则 p是4的()1 22A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由函数f(x)=g(x)一方一1是偶函数可得：f(-x)=f(x)? g(-x)=- g(x),所以1 22函数g(x)是奇函数，充分条件成立，当函数g(x)是奇函数时，有 g(-x) = - g(x),又g(x) =1 _11 2、2-,可得函数f(-x) = f(x),所以函数f(x)是偶函数，即必要条件也成立，所以 p是qf x的充要条件.答案C2.

32、 (2018长春市质监二)已知p：函数f(x)=|x+a|在(一°°, 1)上是单调函数，q：函数g(x)= loga(x+1)(a>0且aw 1)在(-1,)上是增函数，则税 p成立是q成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由p成立，则aw 1,由q成立，则a>1,所以税p成立时a>1是q的充要条件.故选C.答案C3下列四个结论中：“壮0”是“后=0”的充分不必要条件；在 ABC中，|AB|2+|AC|2=|BC|2是" ABC为直角三角形”的充要条件；若 a, bC R,则“ a2+b2w0

33、”是“a, b全不为零”的 充要条件；若a, bC R,则“ a2+b2w0”是“ a, b不全为零”的充要条件.其中正确的是 .解析由Q。可以推出 后=0,但是由 心=0不一定推出 入=0成立，所以正确；由|AB|2+ |AC|2= |BC|2可以推出 ABC是直角三角形，但是由 ABC是直角三角形不能 确定哪个角是直角，所以不正确；由a2+b2w0可以推出a, b不全为零，反之，由a, b不全为零可以推出a2+b2w0,所以“a2+b2w0”是“a, b不全为零”的充要条件，而不是 “a, b全不为零”的充要 条件，不正确，正确.答案 4 .已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“ f(x) 为 3,4 上的减函数”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析若当xC 0,1时，f(x)是增函数，又 y= f(x)是偶函数，当 xC1,0时，f