立体几何垂直证明题常见模型及方法

1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点： 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 立体几何论证题的解答中， 利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结 论。垂直转化：线线垂直 C线面垂直O面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）O等腰（等边）三角形中的中线.0菱形（正方形）的对角线互相垂直）勾股定理中的三角形（可1:1:2的直角梯形中（Q利用相似或全

2、等证明直角。例：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，0为底面ABCD的中心，E为CCi,求证：AfO OE（2）异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体 ABCD中，求证AC BD变式1如图，在四棱锥P ABCD中，AB 3, AD 2,PA 2,PD 2 2, PAB证明：AD PB;变式2如图，在边长为2的正方形 ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点,将厶AED, DCF分别沿DE, DF折起，使A,C两点重合于 A.求证:AD EF ；变式3如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，/PAC= / PBC=90 o证明：AB丄 PC类型二：线面垂

3、直证明方法 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：AO 平面BDE变式1：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求证：AC 平面BDC1变式 2 :如图：直三棱柱 ABC AiBiCi 中， AC=BC=AAi=2，/ ACB=90 .E 为 BBi的中点，D点在AB上且DE= . 3 . 求证：CD丄平面AiABBi;C变式 3 :女口图，在四面体 ABCD 中，0、E 分别是 BD、BC 的中点，CA CB CD BD 2 , AB AD .2.求证：A0 平面BCD;变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABC

4、D中,1求证：BD 平面PAC2利用面面垂直的性质定理AD II BC, ABC 90 PA 平面 ABCD . PA 3, AD 2, AB 2頂,BC 6例3:在三棱锥P-ABC中，PA 底面ABC ,面PAC方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1,在四棱锥P ABCD，底面ABCD是正方形，侧面 PAB是等腰三角形，且面PAB 底面ABCD，求证：BC 面PAB变式2：平面ACD， ACD为等边三角形,BCFDPABC 60 , E、F分别是棱 CC 与 BB上的点，且 EC=BC =2FB=2 .(1)求证：平面 AEF丄平面 AA C C;Eh类型3:面面垂直的证明。(本质上

5、是证明线面垂直 )例1如图，已知AB 平面ACD , DEAD DE 2AB，F为CD的中点求证：AF /平面BCE ；求证：平面BCE 平面CDE ；例2如图，在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCDAB AD，AC CD， ABC 60 PA AB BC，E是 PC 的中点(1)证明CD AE ；( 2)证明PD 平面ABE ；变式1已知直四棱柱 ABCD A B C D的底面是菱形,举一反三a/ bb Ma MabMa/ bMa Ma ba/Mb/ M a bb M其中正确的命题是()A.B.C.D.2.卜列命题中止确的是()1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:A. 若

6、一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3. 如图所示，在正方形 ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF 把厶ADE、 CDF和厶BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面PF丄平面DEF交bb都垂直CD:F C.P是匚三一条直线和 个平面和列正口体P DEF中，必有 （）A. DP丄平面 PEF B.D4. 设

7、a、b是异面直线，下A. 过不在a、b上的一点B. 过不在a、b上的一点川C. 过a 一定可以作一个平面与b垂直 第3题图D. 过a 一定可以作一个平面与b平行八A. a丄丫且 l丄mB. a 丄丫且 m/3C.m /3 且 1 丄 m D.a/3且a丄丫6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为( )A.1B.2C 2.5C.D.53一557.有三个命题：,ma和m丄丫，那么必有 （） 垂直于同一个平面的两条直线平行； 过平面a的一条斜线l有且仅有一个平面与a垂直； 异面直线a、b不垂直，那么过 a的任一个平面与 b都不垂直其

8、中正确命题的个数为（）5. 如果直线l,m与平面a , 3，丫满足：l= 3y ,l /aA.0B.1C.2D.38.d是异面直线 a、b的公垂线，平面a、3满足 a丄a, b丄3,则下面正确的结论是（ ）A. a与3必相交且交线B. a与3必相交且交线C. a与3必相交且交线D. a与3不一定相交m / d或m与d重合m / d但m与d不重合m与d 一定不平行9设I、m为直线，a为平面，且I丄a，给出下列命题 若m丄a，贝U m / I;若 mil,贝U m /a ;若 m /a,贝U m丄I;若 m / I，则 m丄a,其中真命题的序号是 （）A.B.C.D.10已知直线I丄平面a,直线

9、mEI平面B,给出下列四个命题：若a/B，贝y I丄m；若a丄B，贝y I / m；若I / m,则a丄B ;若 I丄m,则a其中正确的命题是（）A.与 B.与 C.与 D.与、思维激活11如图所示， ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面a的同侧，它们在a 内的射影分别为 A, B,5cm, CC = 4cm，则 AAA= 3cm, BB =C,如果 A B C 是正三角形，且B C 的面积是第12题图12. 如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中,当底面四边形 ABCD满足条件 时,有A1C丄B1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形 ）13. 如

10、图所示，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时,有VC丄AB.（注：填上你认为正确的一种条件即可）三、能力提高14. 如图所示，三棱锥V-ABC中,AH丄侧面VBC,且H是厶VBC的垂心，BE是VC边上的 高（1）求证：VC丄AB;（2）若二面角EAB C的大小为30 ,求VC与平面ABC 所成角的大小.15. 如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN /平面 FAD.(2) 求证：MN丄CD.(3) 若/ PDA = 45，求证：MN 丄平面 PCD.16. 如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是平行四边形,=4

11、, AD = 2,侧棱 PB = . 15 , PD =3 .(1)求证：BD丄平面PAD.若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角 P BCA的大小.第15题图17已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90，/ BAC=30 ,BC=1 , AA1=、6 , M 是 CC1 的中点，求证：AB1丄A1M .N是BD18.如图所示，正方体 ABCD A B C D 的棱长为a, M是AD的中点, 上一点，且 D N : NB = 1 : 2, MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NP丄平面 ABCD.(2) 求平面PNC与平面CC D D所成的角. 求点C到平面D MB的距

12、离.第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行2. C 由线面垂直的性质定理可知3. A 折后 DP 丄 PE,DP 丄 PF, PE 丄 PF.4. D 过a上任一点作直线 b/ b,则a, b确定的平面与直线 b平行5. A依题意，m丄丫且 m a ,则必有a丄丫 ,又因为1= 门丫则有I 丫，而m丄丫则I丄m,故选A.6. D过 P 作 PD 丄 AB 于 D ,连 CD ,贝U CD 丄 AB , AB=AC2 BC 2、5 ,CDAC BC 2AB .、5，7. D 由定理及性质知三个命题均正确8. A 显然a与B不平

13、行9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面 垂直.10. B Ta/B, I 丄 a,. I 丄 m311/cm2设正三角A B C的边长为a2二 AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB 2 = a2+4,又 AC2+BC2=AB2,. a2=2.o恵 2 32Sa b c =acm .4212. 在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD中当底面四边形 ABCD满足条件AC丄BD(或任何能推导出 这个条件的其它条件，例如 ABCD是正方形，菱形等)时，有A1C丄B1D1(注:填上你认为正确 的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性

14、题目， 由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了 三垂线定理但答案不惟一，要求思维应灵活13. VC丄VA, VC丄AB 由VC丄VA, VC丄AB知VC丄平面 VAB14(1)证明：/ H VBC的垂心, VC丄BE,又AH丄平面 VBC, BE为斜线 AB在平面 VBC上的射影， AB丄VC(2)解:由(1)知 VC丄 AB,VC丄 BE, VC丄平面 ABE,在平面 ABE上,作ED丄AB,又AB丄VC, AB丄面 DEC. AB丄CD,： / EDC为二面角 EAB C的平面角，/ EDC=30 AB 丄平面 VCD, VC在底面 ABC上的射影为 CD./ VCD为VC与

15、底面 ABC所成角，又VC丄AB,VC丄BE, VC丄面 ABE,：VC丄 DE,:丄 CED=90 ，故/ ECD=60 ,第15题图解 VC与面ABC所成角为60 .15.证明：（1）如图所示，取PD的中点E,连结AE, EN,贝U有 EN / CD / AB / AM ,11EN= CD = - AB = AM，故AMNE为平行四边形.22 MN / AE./ AE 平面 PAD ,MN 平面 FAD , MN /平面 PAD./ FA丄平面ABCD , PA 丄 AB.又AD丄AB, AB丄平面PAD. AB丄AE,即卩AB丄MN.又 CD / AB, MN 丄 CD.(3) / PA

16、丄平面 ABCD , PA丄AD. 又/ PDA = 45, E为PD的中点. AE 丄 PD，即 MN 丄 PD.又 MN 丄 CD , MN丄平面PCD.16.如图 证：由已知 AB = 4, AD =2,/ BAD = 60,1第16题图解故 BD2= AD2+AB2-2AD ABcos60= 4+16-2 X 2X 4 X - = 12. 2又 AB2 = AD2+BD2, ABD是直角三角形，/ ADB = 90,即 AD 丄 BD.在厶 PDB 中，PD =、3 , PB= . 15 , BD = . 12 , PB2= PD2+BD2，故得 PD丄 BD.又 PD n AD =

17、D, BD丄平面PAD.由BD丄平面PAD, BD 平面 ABCD.平面PAD丄平面 ABCD作PE丄AD于E,又PE平面PAD, PE丄平面 ABCD , / PDE是PD与底面 ABCD所成的角. / PDE = 60,. PE = PDsin60作EF丄BC于F，连PF，贝U PF丄BF , / PFE是二面角 P BCA的平面角又 EF = BD =12，在 Rt PEF 中,tan / PFE =PEEF322故二面角P BC A的大小为arctan 三17.连结 ACi,AC応CC1Ci Ai2.34 Rt ACCis Rt MCiAi,/ ACiC= / MAiCi,AiMCi

18、+ Z ACiC= / AiMCi+ / MAiCi=90 .- AiM丄ACi,又ABC-AiBiCi为直三棱柱，- CCi丄 BiCi，又 BiCi 丄 AiCi，. BiCi丄平面 ACiM. 由三垂线定理知 ABi丄AiM.点评：要证ABi丄AiM，因BiCi丄平面ACi，由三垂线定理可转化成证 ACi丄AiM , 而ACi丄AiM 一定会成立.I8.(i)证明：在正方形 ABCD中,/ MPDCPB，且 MD = 1 BC2 ， DP : PB= MD : BC= I : 2.又已知 D N : NB= I : 2,由平行截割定理的逆定理得NP / DD ，又DD 丄平面ABCD ,

19、 NP丄平面ABCD.(2) / NP / DD / CC , NP、CC 在同一平面内，CC为平面NPC与平面CC D D所成二面角的棱又由CC丄平面 ABCD，得CC丄CD, CC 丄CM ,Z MCD为该二面角的平面角.在Rt MCD中可知Z MCD = arctan 1，即为所求二面角的大小 .等腰 MBD 面积S2 =，设所2 a2由已知棱长为a可得，等腰 MBC面积Si =2 求距离为h,即为三棱锥 C D MB的高.ii三棱锥D BCM体积为ISi DD IS2h33S2空间中的计算基础技能篇类型一：点到面的距离方法1直接法一把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例1:

20、在正四面体ABCD中，边长为a,求点A到面BCD的距离。变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到 底面ABCD的距离。变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底 面VCD的距离。方法2:等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同 的底和高来达到目的。例2 已知在三棱锥 VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求 点V到面ABC的距离。AEGF所截而得到的，其变式1：如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面中 AB 4, BC 2,CC13, BE 1 .(1 )求BF的

21、长；(2)求点C到平面AEC1F的距离.变式2如图，在四棱锥 O ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ABCOA 面ABCD, OA 2,.求点B到平面OCD的距离.变式3在正四面体ABCD中，边长为a,求它的内切求的半径类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）例3如图，在四棱锥O ABCD 中,底面ABCD是四边长为1的菱形,ABC面ABCD , OA 2,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离.举一反三45，严点B . 6 5 C . 6 D . 4 6已知正三棱柱 ABC ARG的底面边长为1，高为8，一质点自A点 沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达A点的最短路线的长为1. 正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为A. 4 5 B . 6 5 C . 6 D2. 如图，A至侧面PBC的距离是出发,A. 10B . 20 C . 30 D . 40二、填空题:3太阳光照射高为.3 m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度AB等于3j3cm,则该球的体积为 .4若一个正三棱柱的三视