空间向量和立体几何典型例题

1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题 :1。 (2 08 全国卷理 )已知三棱柱得侧棱与底面边长都相等,在底面内得射影为得中心,则与底面所成角得正弦值等于(C)A.?B、 ?D。1。解 :C. 由题意知三棱锥为正四面体 ,设棱长为 ,则 ,棱柱得高 (即点到底面得距离 ),故与底面所成角得正弦值为。另解 :设为空间向量得一组基底,得两两间得夹角为长度均为 ,平面得法向量为,则与底面所成角得正弦值为、二、填空题 :1。(2 08 全国卷理 )等边三角形与正方形有一公共边,二面角得余弦值为,分别就是得中点,则所成角得余弦值等于.1、答案 :、设 ,作,则 ,为二面角得平面角,结合等边三角形与正方形

2、可知此四棱锥为正四棱锥,则,故所成角得余弦值另解 :以为坐标原点 ,建立如图所示得直角坐标系,则点 ,则AN (3, 1,2),EM(1 ,3 ,2), AN EM1, AN EM2222222故所成角得余弦值、三、解答题 :1.(2008 安徽文 )如图 ,在四棱锥中 ,底面四边长为 1 得 菱形 , , ,为得中点。 ( )求异面直线 AB 与 MD 所成角得大小 ;( )求点 B 到平面 OCD 得距离。、方法一 (综合法 )(1)为异面直线与所成得角( 或其补角 )?作连接?,所以 与所成角得大小为(2)点 A 与点 B 到平面 OD 得距离相等 ,B连接 OP,过点 A 作 于点 Q

3、,又 ,线段 AQ 得长就就是点到平面OCD 得距离B1 题图 (1)3 ,1 题图 (2)OMAODCMQADPC OPOD 2DP 2OA2AD 2DP 24 1 13 2,22,所以点 B 到平面 OCD 得距离为方法二 (向量法 )作于点 P,如图 ,分别以 AB,AP, O 所在直线为轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,2 ,0), D(2 ,2 ,0), O (0,0, 2), M (0, 0,1),z222O(1) 设与所成得角为 ,M与所成角得大小为( )设平面 OCD 得法向量为 ,则即AD取 ,解得P, xCy设点 B 到平面 C得距离为 ,则为在向量上

4、得投影得绝对值B, .所以点 B 到平面 OCD 得距离为、 ( 008 安徽理 )如图 ,在四棱锥中 ,底面四边长为1 得菱形 , , ,为得中点 ,为得中点。()证明 :直线 ;( )求异面直线AB 与 MD 所成角得大小;( )求点 B 到平面 OCD 得距离、方法一 (综合法 )O(1)取 OB 中点 E,连接 E,N又?(2)M为异面直线与所成得角( 或其补角 )?作连接,AODBNMCE?所以 与所成角得大小为Q?(3)点 A 与点到平面OCD 得距离相等 ,连接 O ,过点作AD于点 Q,P又 ,线段 Q 得长就就是点A 到平面 OCD 得距离NBC OPOD 2DP 2OA2A

5、D 2DP 24113 2,22?,所以点 B 到平面 D 得距离为方法二 (向量法 )作于点 P,如图 ,分别以 AB,A ,O 所在直线为轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0), P(0, 2 ,0), D (2 , 2 ,0), O (0,0, 2), M (0, 0,1), N (12 ,2 ,0),22244() MN(12 ,2 , 1),OP(0,2 ,2), OD(2 ,2 ,2)44222设平面 OC得法向量为,则即取 ,解得( )设与所成得角为, 与所成角得大小为(3) 设点 B 到平面 C得交流为 ,则为在向量上得投影得绝对值由 , 得、所以点 B 到平面 OCD

6、 得距离为3.(00北京文 )如图 ,在三棱锥 P-BC 中,A=B= ,C =90° ,AP=BP=A ,PCAC 、( )求证 :C AB;x( )求二面角 AP -C 得大小 .3、解法一 :( )取 AB 中点 D ,连结 D ,CD .AP =P,PAB 、AC BC、D B.PCD =.B平面 CD 、C 平面 PC,PC AB、( ) C=C,AP P, A PC 、又 C,P C、又 ACB 9° ,即 C C,且 APC=C,AB =P,BP.EC 就是 BE 在平面 PC 内得射影 ,CE P. BEC 就是二面角 B-AP-C 得平面角、在 BC中 ,

7、BCE= 0°,C= ,BE=,sin BEC二面角 B AP C 得大小为 ares n解法二 :( ) AC,AP=BP, APC BPC。又 PC A.PC BC、AC B=C,PC 平面 AC、AB 平面 C,PAB 、( )如图 ,以 C 为原点建立空间直角坐标系Cxy。则 C( ,0,0),A(0,2,0),B(2, ,0).设 P(0,0, t),|PB| | = ,t=2,( ,0,2)、z O M,ADBNC Py取P 中点 ,连结 B,E。 |AC=|P ,|AB |BP ,CE AP,BE P. BE就是二面角BA-C 得平面角。 (0,1,1), cos BE

8、 =二面角 AP-C 得大小为 rc os 4、 (2008 北京理 )如图 ,在三棱锥中 ,、( )求证 :;( )求二面角得大小;( )求点到平面得距离.4、解法一 :( )取中点 ,连结。,.,、,平面。平面 ,.( ),.又,.又,即 ,且 ,平面 .取中点。连结 .,、就是在平面内得射影,、就是二面角得平面角。在中 ,、二面角得大小为、( )由 ( )知平面 ,平面平面。过作 ,垂足为、平面平面 ,平面。得长即为点到平面得距离.由( )知,又 ,且 ,平面。平面 ,.在中 ,.。点到平面得距离为。解法二 :( ),。又,PDABCPEABCPHDABC.,平面。平面 ,.( )如图

9、,以为原点建立空间直角坐标系。则、设.,、取中点 ,连结 .,.就是二面角得平面角.,.二面角得大小为.( ),zPEHyxABC在平面内得射影为正得中心,且得长为点到平面得距离.如( )建立空间直角坐标系.,点得坐标为、。点到平面得距离为.、 ( 008 福建文 ) 如图 ,在四棱锥中 ,侧面 PAD底面 ABCD, 侧棱 PA=PD=,底面 AB D 为直角梯形 ,其中 BC D,AB CD,AD=2AB= C=2,O 为 AD 中点。 (1)求证 : O平面B ;( )求异面直线PB 与 C所成角得余弦值;(3) 求点 A 到平面 PCD 得距离5.解 :如图 ,A(0, 1,0),B(

10、 , ,0), ( ,0,0),D( ,1,0),( , , )所以所以异面直线所成得角得余弦值为:(2) 设平面 PCD 得法向量为 ,所以;令 x1,则 z= ,所以 又则 ,点 A 到平面 PD 得距离为 :6.(0 8 福建理 ) 如图 ,在四棱锥PBCD 中 ,则面 PA底面ABCD ,侧棱= ,底面 ABCD 为直角梯形 ,其中 BC AD , BD,D = =2BC= ,O 为D 中点 .( )求证 :PO平面 ABCD ;( )求异面直线 D 与 CD 所成角得大小 ;( )线段 AD 上就是否存在点Q,使得它到平面 PCD 得距离为？若存在,求出 得值 ;若不存在 ,请说明理

11、由。本小题主要考查直线与平面得位置关系、异面直线所成角、 点到平面得距离等基本知识 ,考查空间想象能力、逻辑思维能力与运算能力、满分分、解法一 :( )证明 :在 PD 中 PPD,O 为D 中点 ,所以 PO AD ,又侧面 P 底面 ABC ,平面平面 ABD =AD , 平面 PD ,所以 O平面 CD 、( )连结 BO,在直角梯形AC中、 BC D ,D =2A=2,有 OD C 且 D = ,所以四边形OBCD 就是平行四边形,所以 BDC.由 ( )知,O OB, BO 为锐角 ,所以 PB就是异面直线 与 CD 所成得角。因为 AD=2AB BC=2,在 Rt AOB 中 ,A

12、B= ,AO ,所以 OB ,在 Rt POA 中 ,因为 AP=,AO1,所以 OP1,在 t PBO 中 ,t n PB 所以异面直线 PB 与 CD 所成得角就是。( )假设存在点Q,使得它到平面CD 得距离为 .设 QD =x,则 ,由 ( )得 CD OB=, 在 Rt P 中 ,所以 DP,由 p-DQC =V Q PCD ,得 2,所以存在点 Q 满足题意 ,此时 .解法二 :( ) 同解法一 .( ) 以 O为坐标原点 , 得方向分别为x 轴、 y 轴、 z 轴得正方向 , 建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意 , 易得 (0, 1,0), B(1,1, ), C(1, ,0

13、),D( ,1, ),P(0,0,1),所以所以异面直线 PB与 CD所成得角就是 a cco ,( ) 假设存在点 , 使得它到平面PC得距离为 ,由()知设平面 C 得法向量为 n ( 0, y0, z0) 。则所以即 ,取 0=1, 得平面 P 得一个法向量为n ( ,1,1)。设由 , 得解 y=或 =( 舍去 ),此时 , 所以存在点 Q满足题意 , 此时、7、(200海南、 宁夏理 )如图 ,已知点 P 在正方体 AB DA B C D 得对角线 BD 上 , D11111 0°、( )求 P 与 C 所成角得大小 ;(2)求 D与平面 AA D 1D 所成角得大小。7.

14、解 : 如图 ,以为原点 ,为单位长建立空间直角坐标系。D1C1则,、连结 ,。A1在平面中 ,延长交于 .PB 1设,由已知 ,由可得 .DC解得 ,所以 .z( )因为 ,所以。AB即与所成得角为、H( )平面得一个法向量就是 .因为 ,P所以 .可得与平面所成得角为 .D8. (2008 湖北文 )如图 ,在直三棱柱中 ,平面侧面Cy( )求证 :AB( )若,直线 AC 与平面所成得角为 ,二面角x8.本小题主要考查线面关系、 直线与平面所成角、 二面角等有关知识 ,考查空间想象能力与推理论证能力 .( 满分 12 分 )( )证明 :如右图 ,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 A

15、1于 D ,则由平面 A B侧面 A1 AB1,且平面 BC侧面 A1A1 A1B,得 AD 平面A1BC.又 BC 平面 C所以 D BC 。因为三棱柱ABC 1 1 就是直三棱柱 ,则 A1底面 ABC,所以 AA1 C.又 AA1 AD =A,从而 BC侧面 A1ABB1, 又 B 侧面 A1ABB1,故 AB BC、( )证法 1:连接 CD,则由 ( )知 AD 就就是直线AC 与平面 A1C 所成得角 , BA1 就就是二面角A C A 得颊角 ,即 ACD , AA1、于就是在 RDC 中 ,sin ,在 tD 1 中 ,s nAA 1D , sin =sin AA1 ,由于 与

16、 AA1D 都就是锐角 ,所以 A1D 。又由 Rt 1 A 知 ,A D = A1B ,故 + 、证法 2:由 ( )知 ,以点 B 为坐标原点 ,以 BC、A、1所在得直线分别为x 轴、 yB轴、 z 轴 ,建立如图所示得空间直角坐标系。设 A c(c a=,则 B(0, , ),A( , ,),C(),A (0,c,a),于就是 , ( ,c,),c,a设平面 A BC 得一个法向量为 n=(x,y,z),则由可取 n=(0, a,c),于就是n· = 0,与 n 得夹角为锐角 ,则与 互为余角sin =cos =, os =所以 n = o=sin(), 又, ,所以=、9、

17、 (2008 湖北理 )如图 ,在直三棱柱 ABC A B C1 中 ,平面 BC 侧面 1A 、( )求证 :A BC;( )若直线 AC 与平面 A BC 所成得角为 ,二面角 A1 BC-A 得大小为 得大小关系 ,并予以证明。9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角与线面关系等有关知识 ,同时考查空间想象能力与推理能力.(满分 12 分 )( )证明 :如右图 ,过点 A 在平面 ABB1 内作A A1B 于 D, 则由平面 ABC侧面 A1ABB1, 且平面 A1BC侧面 ABB1=A1B,得 AD 平面 A , 又 BC平面 A1C,所以 AB。因为三棱柱ABC A1B1

18、C就是直三棱柱 ,则 AA底面 ABC,所以 1 C.又 A=A,从而 C侧面 A1ABB1, 又 A侧面 1ABB ,故BBC。( )解法 1:连接 C,则由 ( )知就是直线 C 与平面 BC 所成得角 ,就是二面角A1 BC 得平面角 ,即于就是在 Rt A中 ,在 R ADB 中 ,由 AC,得又所以解法 2:由 ( )知 ,以点 为坐标原点 ,以 BC、 B、 BB1所在得直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ,建立如图所示得空间直角坐标系,设 A a,A=b,B c,则 (0,0, ), A(0,c,0), 于就是设平面 A1C 得一个法向量为n=(,y,z),则由得可取 n=(

19、0, a,c),于就是与 得夹角为锐角,则与互为余角。所以于就是由c<b, 得即又所以 0。 (2008 湖南理 )如图所示 ,四棱锥 -ABCD 得底面ABCD 就是边长为 1 得菱形 , D=60 ° ,E 就是 CD 得中点 ,PA底面 ABCD ,A=2。( )证明 :平面 BE平面 PB;( )求平面 P D 与平面 PBE 所成二面角 (锐角 )得大小。10.解 : 解法一( )如图所示 ,连结 D,由 A CD 就是菱形且 BCD 6°知 ,BCD 就是等边三角形。因为 E 就是 D 得中点 ,所以 ECD ,又 AB D,所以 BE AB、又因为 A平

20、面 BD ,平面 BD ,所以PA BE。而 AB=,因此 BE平面 PB.又平面 PE,所以平面PBE平面 .( )延长 D、 BE 相交于点F,连结 PF.过点 A 作 AB 于,由()知平面 PBE平面 AB ,所以 AH平面 B、在 RtAF 中 ,因为 BF= 0° , 所以 ,A AB=2=A、在等腰 Rt PAF 中 ,取 PF 得中点 G,连接 AG。则 F .连结 HG ,由三垂线定理得逆定理得,PF HG、所以 AGH 就是平面 PAD 与平面 B所成二面角得平面角(锐角 ).在等腰 Rt PAF 中 ,在 RtAB 中 ,所以 ,在 Rt AG 中 ,故平面 P

21、AD 与平面 PBE 所成二面角 (锐角 )得大小就是解法二 : 如图所示 ,以 A 为原点 ,建立空间直角坐标系。则相关各点得坐标分别就是A(0,0,0), B(1,0,0),P(0,0,2),( )因为 ,平面 A得一个法向量就是,所以共线。从而BE平面 PAB、又因为平面 E,故平面 PB平面 PAB。()易知设就是平面 BE得一个法向量 , 则由得所以设就是平面 AD得一个法向量 , 则由得所以故可取于就是 ,故平面 PAD与平面 PBE所成二面角 ( 锐角 ) 得大小就是1。 (2 0湖南文 ) 如图所示 ,四棱锥得底面就是边长为1 得菱形 ,E 就是 D 得中点 ,PA 底面 AC

22、D,、(I) 证明 :平面 BE 平面 PAB;(I )求二面角A BE-P 与得大小、11.解 :解法一( )如图所示 , 连结由就是菱形且知,就是等边三角形。因为 E 就是 C得中点 ,所以又所以又因为 PA 平面 BD,平面 ABC ,所以而因此平面 PA、又平面 PB ,所以平面PBE 平面 PAB。( I) 由 (I) 知 ,平面 PAB, 平面 B,所以又所以就是二面角得平面角.在中 ,。故二面角得大小为解法二 :如图所示 ,以 A 为原点 ,建立空间直角坐标系.则相关各点得坐标分别就是(I) 因为平面 PAB 得一个法向量就是所以与共线、从而平面 PB 。又因为平面PBE, 所以

23、平面P平面PB 。( I) 易知设就是平面PBE 得一个法向量,则由得所以故可取而平面ABE 得一个法向量就是于就是 ,.故二面角得大小为12、 (2 08 江苏 )记动点 就是棱长为得正方体得对线上一点 ,记、当为钝角时 ,求得取值范围 . 2.解 :由题设可知 ,以、为单位正交基底 ,建立如图所示空间直角坐标系 ,则有 ,由 ,得 ,所以显然不就是平角,所以为钝角等价于,则等价于A1即 ,得因此 ,得取值范围就是13、(2 08 江西文、 理 )如图 ,正三棱锥得三条侧棱、 、两两垂直 ,且长A度均为 2。、分别就是、得中点,就是得中点 ,过得平面与侧棱、 、或其延x长线分别相交于、 、

24、,已知 .(1) 求证 :面 ;(2) 求二面角得大小、 3.解 :(1) 证明 :依题设 ,就是得中位线 , 所以 ,则平面 ,所以。又就是得中点 ,所以 ,则。因为 , ,角得zD1C1B1DCyPB所以面 ,则 ,因此面。(2) 作于 ,连。因为平面 ,根据三垂线定理知 , ,就就是二面角得平面角、作于 ,则 ,则就是得中点 ,则、设 ,由得 ,解得 , 在中 ,则,。所以 ,故二面角为。解法二 :(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则所以所以所以平面由得 ,故 :平面(2) 由已知设则由与共线得 :存在有得同理 :设就是平面得一个法向量,则 令得又就是平面得一个法量OA1FMCA

25、HC 1NEBB 1OCA1FC1AHEBB1所以二面角得大小为 4。( 008 辽宁文 )如图 ,在棱长为 1 得正方体中 ,APB=b (0<<), 截面 QE ,截面PQGH .HG( )证明 : 平面 PQEF 与平面 PQGH 互相垂直 ;( )证明 : 截面 QEF 与截面 PQG面积之与就是定值,并求出这个值 ;( )若 ,求与平面P 所成角得正弦值.14.本小题主要考查空间中得线面关系与面面关系与逻辑思维能力。满分 2 分。解法一 :( )证明 : 在正方体中 ,又由已知可得,所以 ,所以平面 .所以平面与平面互相垂直。4?分()证明 :由( )知,又截面 QE 与

26、截面 PQH 都就是矩形 ,且PQDC,解三角形等基础知识 A ,考F查空间想象能E力BPQ=1,所以截面 QE与截面 PQG面积之与就是,就是定值 . ·····································&

27、#183;··············8 分 ( )解 :设交于点 ,连结 ,因为平面 ,所以为与平面所成得角.因为 ,所以分别为 ,得中点 .可知 ,。HGDPQNCAFEB所以。 ·······················

28、·······························1分解法二 :以 D 为原点 ,射线 A,C,D 分别为 x,y,z轴得正半轴建立如图得空间直角坐标系-xy.由已知得 ,故,z,、H( )证明 : 在所建立得坐标系中,可得G,C。PDQ因为 ,所以就是平面 PQE得法向量、y

29、A FE因为 ,所以就是平面 QH 得法向量 .B因为 ,所以 ,所以平面 E与平面 P H 互相垂直 .4?分x( )证明 : 因为 ,所以 ,又,所以 PQF 为矩形 ,同理 PQGH 为矩形 .在所建立得坐标系中可求得,所以 ,又,所以截面 PQEF 与截面 PQGH 面积之与为 ,就是定值。 ?分( )解 :由 ( )知就是平面得法向量 .由为中点可知 ,分别为 ,得中点 .所以 ,因此与平面所成角得正弦值等于、?2 分1 .(2 08 辽宁理 )如图 ,在棱长为1 得正方体中 ,A BQ=b (0 b 1),截面 PQE ,截面 PG、HG( )证明 : 平面 PQE 与平面 PQG

30、H 互相垂直 ;( )证明 : 截面 EF 与截面 QGH 面积之与就是定值 ,并求出这个值 ;( )若与平面 PQF 所成得角为 ,求与平PQ面 QGH 所成角得正弦值。D15.本小题主要考查空间中得线面关系,面面关系 ,解三角形等基础知识,CAFE考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12 分.B解法一 :HG( )证明 : 在正方体中 ,又由已知可得,所以 ,PNDQM C所以平面 .所以平面与平面互相垂直 . ···············

31、········分AFEB()证明 :由( )知,又截面 QEF 与截面 PQGH 都就是矩形 ,且 PQ =1,所以截面 PQE与截面 G面积之与就是,就是定值、 8?分( II) 解 :连结 BC交 Q 于点 M、因为 ,所以平面与平面PQ互相平行 ,因此与平面PQH 所成角与与平面所成角相等.与( )同理可证 EQ平面 QH,可知 EM 平面 ,因此 EM 与得比值就就是所求得正弦值、设交 F 于点 N,连结 EN,由知.因为平面PQF,又已知与平面PQEF 成角 ,所以 ,即,解得 ,可知 E 为 B中点

32、.所以 E=,又 ,故与平面 PQC 所成角得正弦值为。······························12 分解法二 :以 D 为原点 ,射线 DA ,C,D 分别为 x, ,z 轴得正半轴建立如图得空间直角坐标系D xyz由已知得 ,故,、z( )证明 : 在所建立得坐标系中,可得,

33、HG,.因为 ,所以就是平面PQEF 得法向量 .PQ C因为 ,所以就是平面PGH 得法向量 .因为 ,所以 ,DyA FE所以平面 PQ 与平面 PQGH 互相垂直、 4?分B( )证明 : 因为 ,所以 ,又,所以 QEF 为矩形 ,同理 H 为矩形、在所建立得坐标系中可求得,x所以 ,又,所以截面 PQEF 与截面 PQH 面积之与为 ,就是定值 . ····················

34、;8 分 ( )解 :由已知得与成角 ,又可得即,解得 .,所以 ,又 ,所以与平面 PQGH 所成角得正弦值为、?2 分16、 (2 08 全国卷文、理 ) 如图 ,正四棱柱中 ,点在上且。()证明 :平面 ;D 1C1( )求二面角得大小 .A1B116.解法一 :依题设 ,.( )连结交于点 ,则、E由三垂线定理知 ,。 3?分DC在平面内 ,连结交于点 ,D1C1A由于 ,A1BB1故,与互余 .于就是、H E与平面内两条相交直线都垂直 ,所以平面 .6?分DGC( )作 ,垂足为 ,连结。由三垂线定理知 ,AFB故就是二面角得平面角.?分,.,、又,、.- - - 2所以二面角得大小

35、为。分解法二 :z以为坐标原点 ,射线为轴得正半轴 ,D 1C1建立如图所示直角坐标系。A1B1依题设 ,.,.- 3 分( )因为 ,EDC yABx故,.又,所以平面 .···································

36、83;··················6 分( )设向量就是平面得法向量,则,。故,.令,则 ,.··························

37、83;····························9 分等于二面角得平面角 ,.所以二面角得大小为、12?分 .(2008 全国卷文 )(四棱锥中 ,底面为矩形 ,侧面底面 ,、( )证明 :;( )设侧面为等边三角形,求二面角得大小.17、解 :( )取中点 ,连接交于点 ,又面面 ,面,.,即 ,面,、

38、(2) 在面内过点做得垂线 ,垂足为 .,面,则即为所求二面角、,则,。1 .( 008 全国卷理 ) 四棱锥中 ,底面为矩形 ,侧面底面 ,.( )证明 :;( )设与平面所成得角为,求二面角得大小.。解 :(1)取中点 ,连接交于点 ,又面面 ,面 ,.,即 ,面,.(2) 在面内过点作得垂线 ,垂足为、,面 ,则即为所求二面角得平面角.,则 ,即二面角得大小、1 . ( 0山东理 )如图 ,已知四棱锥P D,底面 BCD 为菱形 ,P平面ABCD ,E,F 分别就是C 得中点、18 题图B ,( )证明 :AE D ;( )若 H 为 PD 上得动点 ,E与平面 AD 所成最大角得正切值为 ,求二面角EA C 得余弦值、19、 ( )证明 :由四边形 ABCD 为菱形 , AB = 0° ,可得