Jordan标准形

1、Jordan标准型与矩阵可对角化摘要：本文归纳总结矩阵论书本中的内容，以矩阵论的性质为基础，简单介绍了Jordan标准型定理以及定理的证明，再用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明，以及在求解线性微分方程组中的应用。关键词：矩阵对角化；-矩阵；Jordan标准型；线性微分方程；1 引言矩阵表示方法贯穿于高等代数的各个章节，通过矩阵表示，许多高等代数中的问题都可归结为矩阵问题，而矩阵标准形的方法又是解决矩阵问题的重要方法之一，它的核心思想就是删简就繁，充分体现了解决数学问题的“转化思想”。矩阵的Jordan标准形问题的讨论，源于如何选择线性空间的基，使得线性变换在

2、该基下的矩阵具有尽可能简单的形式完成这一问题。矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。 Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例。此外，Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明，

3、矩阵分解，线性微分方程组的求解等等。2 -矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对-矩阵的研究。2.1 -矩阵及其标准型定义1 称矩阵为-矩阵,其中元素，为数域上关于的多项式。定义2 称阶-矩阵是可逆的，如果有 ，并称为的逆矩阵，反之亦然。定义3 如果矩阵经过有限次的初等变换化成矩阵，则称矩阵与等价，记为 。22 -矩阵的性质定义4矩阵的标准型中的非零对角元 称为的不变因子。定义5矩阵的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1） 最大公因式称为的k阶行列式因子。定理4 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行

4、列式因子。定理5 矩阵的标准型是唯一的，并且。定理6矩阵与等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）。证明：上一个定理的证明给出了-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系。这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的。因此，说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子。必要性已由定理1.2.1给出。充分性显然.事实上，若-矩阵与有相同的不变因子，则与和同一个标准型等价，因而与等价。证毕。定义6 矩阵的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为的初等因子。定理7 矩阵与等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等。3 Jordan标准型与

5、矩阵可对角化在掌握了-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心。31 对角化的定义及判定定理 定义7 如果方阵相似于对角阵，即存在可逆矩阵和对角阵，使得，则称可对角化。定理 8 (对角化定理) 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。事实上，为对角阵的充分必要条件是P的列向量是A的个线性无关的特征向量。此时，的对角线上的元素分别是的对应于中的特征向量的特征值。换句话说，A可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量形成的基,我们称这样的向量为特征向量基。证 首先看到，若是列为的任一阶矩阵，D是对角线元素为的对角阵，

6、那么 （1）而 （2） 现在假设可对角化且，用右乘等式两边，则有。此时由（1）和（2）得 （3）由列相等，有 （4）因为可逆,故的列必定线性无关。同样，因为这些非零，（4）表示是特征值,是相应的特征向量。这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性。最后，给定任意个特征向量，用它们作为矩阵的列，并用相应的特征值来构造矩阵，由（1）（3），等式成立而不需要特征向量有任何条件。若特征向量是线性无关的，则是可逆的，由可推出。证毕。32 Jordan标准型与对角化的关系定义8 形如,（）的块对角阵为Jordan型矩阵，并称方阵为阶Jordan块。注意 当都是一阶Jordan块时，即,有为对角阵

7、,由此看出对角阵其实只是阵的特例。性质 1 矩阵可对角化，当且仅当。性质2 Jordan块的个数（相同的子块计重复出现的次数）是的.线性无关特征值向量的个数。定理9 两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价。定义9 称阶数字矩阵的特征矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子。定理10 两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。定理11 复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子。注意 其实,结合上定理,不难发现初等因子与阶Jordan块存在一一对应关系。因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的标准型,即有如下定理：定理1

8、2(Jordan标准型定理) 复数域上任何一个数字方阵A都与一个Jordan型矩阵相似，这个Jordan型矩阵除去其中Jordan块排序外是被A唯一确定的，称它为A的Jordan标准型。证明: 设n阶复矩阵的初等因子为 其中可能有相同的,指数也可能有相同的。每一个初等因子对应于一个Jordan块，。这些Jordan块构成一个Jordan型矩阵，易知,J的初等因子就是。由于与有相同的初等因子，所以它们相似。假设有另一个Jordan型矩阵与相似，那么与有相同的初等因子，因此，与除了其中Jordan块排序外是相同的，唯一性得证，证毕。4 Jordan标准型的性质及应用Jordan标准化的应用是广泛的

9、，下面将利用其给出定理的证明，并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用。41 Jordan标准型在证明定理中的应用定理 13 （定理）设是复数域上任意阶方阵，A的特征多项式为,则，其中为阶单位矩阵。证明：存在秩为的阶复方阵，使，其中是的标准型,可以写成，其中代表1或0,因为是的特征值，故.从而 利用定理可以简化矩阵计算。其实，该定理换成线性变换语言为：定理14（关于线性变换的定理） 设为维复线性空间,为给定的线性变换,设为的特征值。为的特征多项式.令表示将中的用代替，用代替之后所得到的常系数变换，即，则是零算子,即将中每一个向量都映为零向量：.注意 每个特征值都满足多项式方程,定理则是

10、说满足方程。42 Jordan标准型在矩阵分解中的应用定理 15 复数域上任意阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其中之一是的非退化的。证明：设的Jordan标准型为则存在，令,与阶数相同。令,则有.故令,则其中,对称且非退化,为对角阵,这是因为.定理 16 设A是数域P上的n阶方阵,能分解成P上一次因子之积，则，其中M是幂零阵，N相似于对角阵，且。证明（证法一） 能分解成上一次因子之积，说明的Jordan标准型是一个阶方阵令是幂零Jordan块,是对角阵。设的阶为,。则其中.令则,N相似于对角阵C，且证毕.证明（证法二）由定理12,存在可逆矩阵P，使,其中并且是主对角线元为的阶块。令,易知

11、是幂零矩阵，因而也是幂零矩阵。在令,则相似于对角矩阵，并且。注意 定理16等价于如下命题：设是数域上维线性空间的线性变换，则.其中是数域上P维线性空间的线性变换且是幂零变换，也是数域上维线性空间的线性变换且可对角化，并且.。45 Jordan标准型在求解线性微分方程组中的应用例题 解线性微分方程组 解 把微分方程组写成矩阵形式，其中对微分方程组实行一个非奇异线性变换，其中.于是得.故其一般解为再由求得原微分方程组的一般解为其中是任意常数。注意 解线性微分方程组可以用Jordan标准型来考察.设是将化为Jordan型的相似变换矩阵,若我们引进新变量，令 ,则,亦即.方程组的矩阵经过了一次相似变换

12、,它现在是的Jordan标准型。 从例题中可以看到，在解决具体问题中不仅要求出Jordan标准型，而且需要求出变换矩阵。结束语本文主要是对所学矩阵论知识的一个总结与回顾，清楚明了地理解了Jordan标准形的理论和矩阵对角的关系，在矩阵应用中有着很多的作用。但唯一遗憾的是在数值应用方面，几乎没有用的Jordan标准形这限制了其在计算机方面的应用。但是通过以上内容显而易见可以看出在具体问题的求解过程中Jordan标准形依然发挥着简化计算的作用；它在线性微分方程的应用中有着很大的作用。尽管限制了其在计算机方面大应用，Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其更加深刻地认识到：在线性代数的理论体

13、系下最深刻的概念之一矩阵的Jordan标准型只不过是包含该矩阵的GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示。这一更深刻的认识涉及到群表示理论。总之，在探寻Jordan标准型与矩阵可对角化的关系中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题，我们也有理由相信还有更加美妙的结果在等待着我们去发现。正因为线性微分方程组的此类解法的加入，无疑大大的扩展了，线性微分方程组的应用领域！与此同时线性微分方程组的适用领域的扩大，也让人们对于矩阵Jordan标准型的研究发展，我们也能从这些探究中获得学习数学的乐趣。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数（第二版）M,北京,高等教育出版社,1998 .2徐立炜,赵礼峰,矩阵论M,北京,科学出版社,2011.3 钱吉林,高等代数解题精粹（第二版）M,北京,中央民族大学出版社,2002.4David C.Lay,Linear Algebra and Its Applications (Third Edition)M,Beijing,Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2005 .5Tom M.Apostol,Linear Al