2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末分层突破学案新人教A版选修1-1

1、第二章圆锥曲线与方程焦点仏轴上：吕*W =H髓点在潮上;-I范商乜称性顶点-离心率*?=缶虫|AfFi|-|iMF：|=2a_|FLF2|廳点在x轴正半轴/=2p#(pG)标准方程 L -|黑点在了轴正半轴护=如如丸)焦点在y轴负半轴X-2py(p0)-WS自我校对IN层-Ml识整台知识慷系反哺载材r定义|+| 林F42(1CD IF FJ!4i鄒曲线与栽曲线焦点偽轴上：吕-羊=3歸0想点在询n匕 T 范閘 斗对掰性几忖性质厂定义.WEI =d2 2八xa+-b2=1(ab0)(0,1) .5）的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B, a5FAB的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是

2、 _【规范解答】（1）延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,如图所示，则APF是等腰三角形，.|PF|=|AP，从而 |AF?| =|AP+ |PFa| =|PF| + |PF| = 2a.由题意知0是F1F21的中点，Q是AF的中点，连接0Q则|0Q=yAFd=a.2 2y x=1(a0,b0)報化整合探究提化ai(1)Fi,F2是椭圆2x2+a2y話=1(ab0)的两焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引3 Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆.故选A.设椭圆的另一个焦点为尸，则厶FAB的周长|FA+ |AB+ |FB 0 时，得y= 4X；当xV0 时，得y= 0.点P的轨迹方程是y2

3、= 4x(x0)或y= 0(xV0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴 的负半轴【答案】 (1)B(2) 一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切和相离把直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消去一个变量后，转化为一元二次方程 +bx+c= 0.当 aK 时，若 0,直线与圆锥曲线相交，有两个不同的公共点；若 直线与圆锥曲线相切，有一个公共点；若 b0)的离心率e=-2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线I与椭圆相交于不同的两点A, B,已知点A的坐标为(一a,0).1若|AB= 字，求直

4、线l的倾斜角；5f 2若点Q0,y。)在线段AB的垂直平分线上，且QA Q B= 4，求y。的值.【精彩点拨】(1)建立关于a,b的方程组求出a,b； (2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解.【规范解答】由e=C=呼，得 3a2= 4c2.a2由c2=a2b2,得a= 2b.12ax = 0,5由题意，知-2 a -2 b= 4,即ab= 2.6胃2b，a= 2,解方程组fab= 2, 得*b= 1.、ab0,2x2所以椭圆的方程为-+y2= 1.4(2)由知，点A的坐标是(一 2,0)，设点B的坐标为(Xi,yi)，直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+ 2)

5、.y= k x+2,于是A, B两点的坐标满足方程组x2214+y=1消去y并整理，得(1 + 4k2)x2+ 16k2x+ (16k2 4) = 0.,16k2 4 e2 8k2“十4k由一 2X1=2，得X1=2,从而y1=2.1 + 4k1 + 4k1+ 4k所以1AB=7(-2-1+40+y- r+y由|AB=警得节奈=舞.整理，得 32k4 9k2 23= 0,即(k2 1)(32k2+ 23) = 0,解得k= 1.n3n所以直线1的倾斜角为&或丁设线段AB的中点为M一 (8k22k、则点M的坐标为 一币 Q, 1+4K2.以下分两种情况：a.当k= 0 时，点B的坐标是(

6、2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA=( 2,yo) ,Q B= (2 , yo).f f由QAQ B=4，得y0=2/2.b.当kz0 时，线段AB的垂直平分线方程为2k18k2y1+?=kx+1 + 4k2.7ffQ A= ( 2，y),Q B= (X1,y1y。),令x= 0,解得y0= 6k1 + 4k2.8Q A Q B= 2xi-yo(yi-yo)216k-4j6k( 4k6k1+4k2+1+4k21+4k2+1+4k2416k4+ 15k2- 11 + 4k2 2整理，得 7k2= 2，故k=一f.所以yo=耳4直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，解题时要注意掌握

7、一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式 还要注意二次项系数是否为 0 ;涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而 对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法” 使运算过程得以简化再练一题2.已知椭圆G a2+器=1(ab0)的离心率为-3，右焦点为(2 2, 0).斜率为 1 的直线I与椭圆G交于A B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P( - 3,2).(1) 求椭圆G的方程；(2) 求PAB的面积.【导学号：97792033】【解】(1)由已知得，c= 2 2,C=a3解得a= 2 ,3.2 2

8、 2.又b=a-c= 4,2 2所以椭圆G的方程为X2+= 1.设直线l的方程为y=x+my=x+m,2 2得 4x+ 6im+ 3m-12 = 0.=4,综上,yo=2 “J2或yo=来进行判断，由$2 2x y丿一+= 1,1245名师j9设A,B的坐标分别为(xi,yi), (X2,y2)(xivX2) ,AB中点为E(x。，y。)，则xi+X23mmxo=2= 4，y0=xo+ m=4,因为AB是等腰PAB的底边，所以PEL AB此时方程为 4x2+ 12x= 0.解得Xi= 3,X2= 0.所以yi= 1,y2= 2.所以 |AB= 3 2. | 3 2 + 2|2此时，点P( 3,

9、2)到直线AB：xy+ 2= 0 的距离d=二-2 219所以PAB的面积S= 2IABd=2圆锥曲线中的定点、定值、最值问题圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关， 如椭圆的长轴、 双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明.圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题， 这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参

10、、转化、代换等途径来解 决.(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时,|PF|取得最小值与最大值；(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1,求椭圆C的标准方程;所以PE的斜率k=3m-3+ 了1，解得 m= 2,短轴,例 如图 2-2 所示，椭圆 C:A为椭圆C的左、右顶点2 210(3)若直线I:y=kx+m与中所述椭圆C相交于A B两点(A B不是左、右顶点)， 且满足AA丄BA,求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标【精彩点拨】(1)利用函数法，设Rx,y)，将|PF|表示为x的函数(3)利用AA丄BA得k,m的等量关系，从而将直线I

11、化为只含参数k(或n)的形式【规范解答】(1)证明：设点P的坐标为(x,y),2 2 2令f(x) = |PF| = (x+c) +y.2 2又点P在椭圆C上，故满足才+b2= 1 ,贝H y2=b2-bzx2.代入f(x)得,2 2-2.2b2C2f(x) = (x+c) +b-尹=2a则其对称轴方程为x=,c2由题意，知一va恒成立,c f(x)在区间a,a上单调递增.当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF|取得最小值与最大值由已知与(1)得：a+c= 3,ac= 1,a= 2,c= 1.2 2 2-b=ac= 3.2 2椭圆C的标准方程为x+3=1证明：如图所示,2 2即 3

12、十 4km0,2+ 2cx+a,11设A(X1,y,B(X2,y2),y=kx+m 2 2x y+ 厶=1_4 十 31，得(3 十 4k2)x2+ 8mkx4(m 3) = 0,2 2 2 2则 = 64mk 16(3 十 4k)(m 3) 0,联立128mk4吊-X1+x2=-3T4k，XlX2=3+4k2又yiy2= (kxi+nj(kx2+ =k2xiX2+mkxi+X2) +m3m-4k2=3 + 4k2.椭圆的右顶点为 A(2,0) ,AA丄BA,(xi- 2)(X2- 2) +yiy2= 0.二yiy2+X1X2 2(xi+X2)+ 4= 0.2 2 7 m+16km+4k=0,

13、解得m=- 2k,m=, 且均满足 3+4k2-m 0.当m=- 2k时，I的方程为y=k(X-2),直线过定点(2,0)，与已知矛盾.当m=-字时，I的方程为y=kX 7，直线过定点|7, 0 ,直线I过定点，定点坐标为 7, 0 .名师屈解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：1 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解 2 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围再练一题3.求抛物线y= x2上的点到直线 4x+ 3y-8 = 0 的最小距离 【解】 法一 设P(t, -t2)为抛物线上的点，它到直线 4x+ 3y

14、- 8= 0 的距离2 2,|4t- 3t- 8|3t- 4t+ 8|d=553m- 4k23 + 4k2i m-*3+4k216mk3+ 4k2卜 4 =0.133 +224=5t- 3 + 3.当t= 2 时，d有最小值，最小值为 4.33法二 如图所示，设与直线 4x+ 3y 8 = 0 平行的抛物线的切线方程为4x+ 3y+m 0,厂2y=x,则有方程组*4x+ 3y+ m= 0,消去y得 3x2 3 4xm= 0, = 16+ 12m= 0,m= 3.21.直线I经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到I的距离为其短轴长的 2,则该椭圆的离心率为（最小距离为5203414iAl2C

15、.23D.3【解析】不妨设直线l的方程为bxcy+bc= 0，由已知得l过椭圆的上顶点（0 ,b）和左焦点（一c,0） ,b0,c0,则直线be122222c一2十2= 4X2b，解得b= 3c,又b=ae,所以a1214,即e2= 4,1e= 2.【答案】2.设F为抛物k曲线y=-（k 0）与C交于点 P,PFL x轴，则k=（）x1A.2B.13C.3D.2152【解析】 易知抛物线焦点为F(1,O)，设P(xo,yo)，由PF丄x轴可得xo= 1，代入y=4x得yo= 2,把 R1,2)代入y=X得k= 2.【答案】 D2 2x y3.已知椭圆 25 +令=1(n0)的左焦点为Fi( 4

16、,0)，贝U作()A.2B.3C.4D.92【解析】 由左焦点为Fi( 4,0)知c= 4.又a= 5,二 25m=16,解得m=3 或一 3.又n0,故m= 3.【答案】 B24.已知抛物线y=2px(p0)的准线经过点(一 1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.( 1,0)B.(1,0)C.(0， 1)D.(0,1)【解析】 抛物线y2= 2px(p0)的准线为x= *且过点(1,1)，故2= 1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【答案】 B2 2x y5.已知双曲线 孑一= 1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x 2)2+y2= 3 相切，则双曲

17、线的方程为()2 2x yA.913=12 2x yB.x3y9=12x2c.3y=12D.x2-七=1b22由双曲线的渐近线y=x与圆(x 2) +y= 3 相切可知ac= 2,a2+b2=c2,故所求双曲线的方程为【答案】 D【解析】解得匕=1, 山=&.16一 126.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为,E的右焦点与抛物线C：y= 8x的焦点重17合，A B是C的准线与E的两个交点，贝y|AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】 抛物线y2= 8x的焦点为(2,0)，二椭圆中c= 2,一C1222又=亍a= 4,b=a-c= 12,a22 2从而椭圆方程为 16+y2=i.

18、抛物线y2= 8x的准线为x=- 2,XA=XB=2 ,将XA= 2 代入椭圆方程可得|A| = 3,由图象可知|AB= 2|yA| = 6.故选 B.【答案】 B2 2Xyl7. 已知双曲线 孑孑=1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y= 0，一个焦点为(，5, 0),贝H a=_,b=_.【解析】由题意知，渐近线方程为y=- 2X,故= 2，由c= ,5,c2=a2+b2可得ba=2,a= 1.【答案】 1228. 设双曲线X2首=1 的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上，且厶RPF2为锐角三角形，则|PF| + |PF|的取值范围是【解析】2双曲线X2-y3 = 1 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，.IF1F2I=4 ,|PF| -|PF| = 2.若厶F1PF为锐角三角形，则由余弦定