2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程学案苏教版选修1-1

1、2. 3.1 双曲线的标准方程【学习目标】1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.IT问题导学-知识点一双曲线的定义思考 已知点Rx,y）的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形?（1）1x+52+y2-, x-52+y2|=6；x+12+y2x12+y2=6.梳理 把平面内与两个定点Fi,F2距离的_ 等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点Fi,F2叫做_, _叫做双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程思考 1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴?a,b,c的意义，你

2、能在y轴上找一点B,使0B= b吗?.2.掌握双曲线的标准方思考 2 如图，类比椭圆中梳理2焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程2 2x y孑-孑=1(a0,b0)2 2b2= 1(a0,b0)焦占八、八、F( -c,0) ,Fa(c,0)F1(0，-c),F2(0 ,c)焦距F1F2=2c,c2=a2+b2题型探究类型一 求双曲线的标准方程例 i 求下列双曲线的标准方程：2 2(1)与椭圆 2y5+16= 1 有公共焦点，且过点(-2,io)；焦距为 26，且经过点M0,12)；反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1) 定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2) 设方程：根据焦点位

3、置设出相应的标准方程的形式，1若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为A+By2= 1(AE0,b 0)共焦点的双曲线的标准方程可设为-7= 1( -ba bak b十kvkva2).计算：禾 U 用题中条件列出方程组，求出相关值.结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练 1 根据条件求双曲线的标准方程：(1)c= 6，经过点A- 5,2)，焦点在x轴上；(2) 经过点P(4 , - 2)和点 Q2 .6, 2 ,2);2 2X y_）已知双曲线与椭圆 27 + 36=1 有共同的焦点，且过点（，石，4）.(3)过点P(3 ,1516R，5)，且焦点在坐标轴上.3类型二由方程判断曲线的形

4、状 例 2 已知 0v a0,b0)，点 A,B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2,AB= m Fi为双曲线的左焦点，则ABF的周长为_4引申探究在本例(2)中，若/FiPR= 90，其他条件不变，求FiPR 的面积.2 2已知双曲线X- 16= 1 的左、右焦点分别是Fi、F2,若双曲线上一点P使得/FiPFa= 60, 则厶FiPR的面积为_.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(i)方法一：根据双曲线的定义求出|PFPB| = 2a；2利用余弦定理表示出PF,PF2,FiF2之间满足的关系式；3通过配方，利用整体的思想求出PFPR的值；i4利用公式SPFIF2= 2X

5、PFPFsin /FiPR求得面积.i一方法二：利用公式SPF/2= 2XFiF2X| yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积.特别提醒：禾U用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PFPF| = 2a的变形使用，特别是与PF+PF2,PFPR间的关系.跟踪训练 3 已知Fi,F2分别为双曲线C x2y2= i 的左，右焦点，点P在C上，/FiPF= 60,贝UPFPF=_ .命题角度 2 由双曲线定义求轨迹方程例 4 已知圆C：(x+ 3)2+y2=i 和圆C2：(x 3)2+y2= 9,动圆M同时与圆C及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_ .登录 91 www. ).听

6、窝师岸讲课程双曲墟的定义忌标准方程反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(i)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.2 2跟踪训练 4 设Fi,F2是双曲线丁一養=1 的左，右焦点，P是双曲线左支上一点.若PF、PF2、445F1F2成等差列，且公差大于 0,则/FiPR=_ .甌当堂训练-1._ 已知双曲线中的a= 5,c= 7,则该双曲线的标准方程为 _ .2 2 2 252 .椭圆 4 + 0= i 与双曲线暑=1 有相同的焦点，贝 U a=_ .2 23 .若

7、方程 10=+ 5 一匸=1 表示双曲线，则k的取值范围是 _ .24 .设F1,F2分别是双曲线x2 24= 1 的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且 3PF= 4PF2,则厶PFF2的面积为_ .5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a= 3,c= 4,焦点在x轴上；焦点为(0， 6) , (0,6)，经过点A 5,6);2 2以椭圆X+ 5 =1长轴的顶点为焦点，且过(3,.10).规律与方法-1 在双曲线定义中|PFPF2| = 2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时， 要

8、先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条 件列出a,b,c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mX+ny2= 1(mn0)的形式求解.提醒：完成作业第 2 章 6问题导学 知识点一思考Tl岑x+ ；：+y -.rx ；：+y| 表示点P(x,y)到两定点R( 5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，FIF2=10,IPFPF?|=6FF2,故点P的轨迹是双曲线. .x+12+亍x 12+y2表示点P(x,y)到两定点Fi( 4,0)、艮(4 , 0)的距离之差，FiF2= 8,PFPH= 60,b0),故所求双曲线的标准方程为2 2y x=1以

9、双曲线与x轴的交点72 2解得a= 5 或a= 30（舍）.2 2方法二 由椭圆方程 16 +鲁=1 知，焦点在y轴上,2 2设所求双曲线方程为J = 1（16入25）.25 一入 入一 16因为双曲线过点（一 2,10） ,所以1025入4X161,解得入=20 或入=7（舍去），2 2故所求双曲线的标准方程为yx= 1.54因为双曲线经过点M0,12），所以M0,12）为双曲线的一个顶点，故焦点在=12.又 2c= 26,所以C= 13 ,所以b2 * * 5=c2a2= 25.2 2所以双曲线的标准方程为 拱莘=1.14425设双曲线方程为mX+ny2= 1（mn0,b0）,/c=6,二

10、b=c2a2= 6a2.254由题意知孑-芦1,25422= 1a6a，1816m 4n= 1,24m 8n= 1,2 2双曲线的标准方程为x8y4 = 1.2 2x V椭圆-= 1 的焦点坐标为F（0， 3） ,F2（0,3）,27362J=1.J_COSasina1 11当 0a45时，0 Sn-，方程表示焦点在y轴上的椭圆.COSaSi na2当a= 45时，方程表示圆x2+y2= 2.1 13当 45a0,方程表示焦点在x轴上的椭圆.COSaSina(2)当a= 90时，方程为y= 1.方程表示两条平行直线y= 1.16m0,跟踪训练 2 解(1)当曲线为椭圆时，依题意得 一m0,16m,解得m0,解得 0n16，即m的取值范围为(0,16).此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(土 4,0).故可设双曲线的标准方程为2 2a2-b2=1._ 2 . 2a+b= 9, 由题意，知 4215贋2-=1,厂2.a= 4,解得*2双曲线的标准方程2V_2x=145解当 0a90时，方程为当 90a0,b0).a b则有