【省级联考】2018年广东省高考数学二模试卷(理科)

1、2018年广东省高考数学二模试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知 x, yC R,集合 A=2, log3x,集合 B=x, y,若 AC B=0,则 x+y= ( )A.二 B. 0C. 1 D. 32 .若复数Z1=1+i, z2=1 - i,则下列结论错误的是()A. Z1?Z2是实数B.包是纯虚数迎C. |z ；|二2|z2|2D. z ； +4=4i3 .已知 a= ( - 1, 3), b= (m , m 4), c= (2m, 3),若a N b,贝m()A. - 7 B. - 2 C.

2、 5 D. 8该点落在阴影区域内的概率为(5.已知等比数列TTD.4 .如图，而是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则an的首项为 1,公比 qw- 1,且 a5+a4=3 (a3+a2),则A. - 9 B. 9C.81 D. 81第3页(共28页)226.已知双曲线C:十二1 (a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0),且双 a2 b2曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为(2 .2A.=1B.-116 16C.D. - J=1 或_Z=1已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（7.y满足约束条件设x8.8t+12D.6Y12|x-F

3、y |<2 '则z=2x+y的取值范围是（A.2B. -4, 4C. 04 D. 0, 29.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人-宰相宰相西萨？班？达依尔.国王问他想要什么，他对国王说： 陛下，请您在这张棋盘的 第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以 后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ ”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当 人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界 的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到

4、底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）B.S=03H=1S=Sf纭C.雎5=0,/?=l| S=25 *w-+1/俞出马/D.错束10 .已知数歹!J an前 n 项和为 Si, ai=15,且?足(2n 5) an+i= (2n 3) an+4n2-16n+15,已知 n, mC N+, n>m,则 Si - Sm 的最小值为()A.494qB.C. - 14D. - 2811 .已知菱形ABCD的边长为2VS, /BAD=60,沿对角线BD将菱形ABCD折 起，使得二面角A BD-C的余弦值为卷则该四面体ABCD外接球的体积为( )A.电工B

5、B. 8面九 C.空逅hD. 36九3312 .已知函数f (x) =e<-ln (x+3),则下面对函数f (x)的描述正确的是()A. ?xC(-3, +2 , f(x) > : B.? xC( -3, +2 , f (x)C. ?xoC( 3, +8), f(xo) =- 1D, f(x)mine (0, 1)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 .将函数f (x) =2sin (2x+(|)(小<0)的图象向左平移 三个单位长度，得到 偶函数g (x)的图象，则小的最大值是.14 .已知a>0,b>0,(ax+=)6展开式的常数项为|

6、，则a+2b的最小值为.15 .已知函数f (x) =log2 (4x+1) +mx,当m>0时，关于x的不等式f (log3x) < 1的解集为.16 .设过抛物线y2=2px (p>0)上任意一点P (异于原点O)的直线与抛物线y2=8px (p>0)交于A, B两点，直线OP与抛物线y2=8px (p>0)的另一个交点为 Q,则一、"=2AAfiO三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)17 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知B=60°, c=8.(1)若点M,

7、N是线段BC的两个三等分点，BM=1-BC,细=R1,求AM的值; 3 Blfl(2)若b=12,求4ABC的面积.18 .如图，在五面体 ABCDEN,四边形EDC支正方形，AD=DE /ADE=90, / ADC=Z DCB=120.(1)证明：平面 ABCDL平面EDCF(2)求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值.第5页(共28页)19 .经销商第一年购买某工厂商品的单价为 a (单位：元)，在下一年购买时,购买单价与其上年度销售额(单位：万元)相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年 0, 100)100,度销售200)额/万元商品单 a 0.9a200,300,

8、300)400)0.85a0.8a400,500, +500)°°)0.75a0.7a价/元为了研究该商品购买单价的情况,为此调查并整理了 50个经销商一年的销售额,得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为 X (单位：元)，且以经销商在各段销 售额的频率作为概率.(1)求X的平均估计值.(2)该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率44记Y (单位：元)表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求 Y的分布列及数学

9、期望.20 .已知椭圆Ci:(b>°)的左、右焦点分别为 Fi, F2,点F2也为抛物线C2: y2=8x的焦点.(1)若M , N为椭圆Ci上两点，且线段 MN的中点为(1,1),求直线MN的 斜率；(2)若过椭圆G的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A, B和C, D, 设线段AB, CD的长分别为m, n,证明：，是定值.21 .已知 f'(x)为函数 f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)ex-f'(0) x.(1)求f (x)的单调区问；(2)当x>0时，af (x) <ex-x恒成立，求a的取值范围.请考生在22、23两

10、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为«为参数)，圆c的y=a+V3t标准方程为(x-3) 2+ (y - 3) 2=4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系.(2)若射线9(1)求直线l和圆C的极坐标方程;与l的交点为M,与圆C的交点为A, B,且点M恰好为线段AB的中点，求a的值.选彳4-5:不等式选讲23 .已知 f (x) =| mx+3| - | 2x+n| .(1)当m=2, n=-1时，求不等式f (x) <2的解集；(2)当m=1, n<0时，f (x)的图

11、象与x轴围成的三角形面积大于24,求n的 取值范围.第9页(共28页)2018年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知 x, yC R,集合 A=2, log3x,集合 B=x, y,若 AC B=0,则 x+y=（ ）A.二 B. 0C. 1 D. 3【分析】根据An B=0即可得出0C A, 0CB,这样即可求出x, y的值，从而 求出x+y的值.【解答】解：AH B=0；, 0 A, 0 B； lOg3x=0；. .x=1, y=0;x+y=1.故选：C.【点评

12、】考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关 系.2.若复数z1=1+i, z2=1 - i,则下列结论错误的是（）A. Z1?z2是实数B.一二是纯虚数2z|C. | z ；| 二2| Z2| 2 D. z ： + =4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案.【解答】解：= Z1=1+i, Z2=1 - i, .Z1?Z2=1- i2=2,故 A 正确;故B正确;gi_l+i (Hi)21-i (1 -i) (1+i)|1|二匕|心4, 2。|24 故C正确；才+玲2=&+i ) 2+QT故D错误.故选：D.【点评】本题考查复数代数形

13、式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.3.已知 a= ( - 1, 3), b= (m , m 4), c= (2m, 3),若石 W b,贝Ubr ()A. - 7 B. - 2 C. 5 D. 8【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可.【解答】解：3= ( - 1, 3), b= ( m, m - 4),匚尸(2m, 3),若 a / h,则1 x ( m-4) 3X m=0;解得m=1 ；.展(1, -3)三3);KW=1X2+ (-3) X3=-7.故选：A.【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题.4.如图，俞是以正方形

14、的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为(). b.=c.一【分析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行 求解即可.【解答】解：连结AE,结合图象可知弓形与弓形面积相等，将弓形移动到的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的 工，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率PJ,4故选：D.【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用, 本题的关键.求出阴影部分的面积是解决5.已知等比数列an的首项为1,公比qw - 1,且a5+a4=3 (a3+a2),则A. - 9 B. 9C. - 81 D.

15、 81【分析】等比数列an的首项为1,公比qw- 1,且a5+a4=3 (a3+a2),可得口”3+己/2=3 ( a2q+a2 ),化为：q2=3 .由等比数列的性质可得：aa29=q1+2+Fq4'9,代入如产产广0g=q4即可得出【解答】解：等比数列an的首项为1,公比qw- 1,且a5+a4=3 (%+a2), 2=3(a2q+O2),化为：q2=3.由等比数列的性质可得：a1a29=q1+2+ -+8=q电=q49则31ag/q*9=q4=9.故选：B.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.226.已知双曲线C

16、:孑令（a>6 b>0）的一个焦点坐标为（4, 0）,且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.C.【分析】由题意可得c=4,由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,可得a=b,解方程可得a, b的值，即可得到所求双曲线的方程.2 2【解答】解：双曲线C：三三二1 （a>0, b>0）的一个焦点坐标为（4, 0）, a2 b2可得 c=4,即有 a2+b2=C2=16,双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y上x和直线y=-x垂直，3 a可得a=b,解方程可得a=b=2<2,22则双曲线的方程为三-=1.88故选：A.【点评】本题考查双曲

17、线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及两直线 垂直的条件：斜率之积为-1,考查方程思想和运算能力，属于基础题.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）8 t+12 D. 6t+12【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可.【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与 球的半径相同为1,圆柱的高为3,几何体的表面积为：2 ttX 12+12 Xe2 X 3+3兀=+6兀.故选：B.第11页（共28页）【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 解决本题的关键是得到该几何体的形状.8.设x, y满足约束条件灯0Ix+y |

18、<2,则z=2x+y的取值范围是（A. -2, 2 B. -4, 4C. 0, 4 D. 0, 2【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论.【解答】解：作出约束条件|x+y所对应的可行域（如图阴影）变形目标函数可得y=-2x+z,平移直线y=-2x可知当直线经过点A (-2, 0)时，目标函数取最小值-4当直线经过点B (2, 0)时，目标函数取最大值4, 故z=- 2x+y的取值范围为-4, 4.故选：B.【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题.9 .在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人-宰相宰相 西萨？班？

19、达依尔.国王问他想要什么，他对国王说： 陛下，请您在这张棋盘的 第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以 后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ ”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当 人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界 的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有 多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是()B.S=03H=1S=Sf纭C.雎5=0,/?=l/俞出马/【分析】由已知中的程序框图可知:D.错束

20、该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1,终值为64,由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n<64,而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由 Sn=2n 1 得：S+i=2n+1 1=28+1,故循环体内$=什2& 故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采 用模拟循环的方法解答.10 .已知数歹Uan前 n 项和为Sn,a二15,且?f足(2n-5)an+1=(2n-3)an+4n2-16n+15,已知 n, mC

21、 N+, n>m,则 & - Sm 的最小值为()A.4949B.爷C. - 14IJD. - 28【分析】由等式变形，可得2n-5为等差数列，公差为1,首项为-5,运用等第13页(共28页)差数列的通项公式可得an,再由自然数和的公式、平方和公式，可得 &,讨论n 的变化，S的变化，僵尸可得最小值.【解答】 解：V (2n5) an+1= (2n-3) an+4n2T6n+15,212n-3N=-5.可得数列二U为等差数列，公差为1,首项为-5.2n-5 a-=：- 5+n 1=n 6, 2n-5.an= (2n-5) (n-6) =2n217n+30.Sn=2 (12

22、+22+n2) - 17 (1+2+ +n) +30n=2X Mm+D i+l) -17 x血2+30 62_4 n 3T5”+i 观& 6可得 n=2, 3, 4, 5, Sn递减；n>5, 8递增，: n, m C N+, n>m,S1=15, &=19, S5=S6=5, S7=14, S8=36,Sn-Sm的最小值为5-19=- 14,故选：C.【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题.11 .已知菱形ABCD的边长为2正，/BAD=60,沿对角线BD将菱形ABCD折 起，使得二面角A-BD-C

23、的余弦值为 ,，则该四面体ABCD外接球的体积为 ( )A.学誓 7TB.C. - TTD. 36 九【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积.【解答】解：如图所示，取BD中点F,连结AF、CF,则 AFL BD, CF± BD, . / AFC是二面角 A BD C 的平面角，过A作AEL平面BCD,交CF延长线于E, .8S/ AFC=-1, cosZAFE=y, AF=CF=(2V5)%V5)2=3,AE=2/2, EF=1,设O为球，过O作OOCF,交F于O',作OGLAE,交AE于G,设 OO = xO

24、9; B=CF=2 O F=d=1,由勾股定理得 R2=C'/ 2+OO'2=4+x2=OG2+AG2= (1+1) 2+ (2、尼-X 2解得 x=j2，: R2=6,即 R=/6,四面体的外接球的体积为 V-冗n x &斥=8/>冗.3故选：B.第19页(共28页)【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识， 考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思 想，是中档题.12.已知函数f (x) =e<-ln (x+3),则下面对函数f (x)的描述正确的是()A. ? xC (-3, +2 , f (x

25、) > 一 B. ? xC ( - 3, +2 , f (x)C. ? xoC ( 3, +8), f (x。) =- 1 D. f (x) mine (0, 1)【分析】本题首先要对函数f (x) =ex- In (x+3)进行求导，确定f'(x)在定义 域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x (a, b)时，利用f'(a) f'(b)<0确定导函数的极值点xo (-1,-亍)从而.得到x=xo时是函数f (x)的 最小值点.【解答】解：因为函数f (x) =ex-ln (x+3),定义域为(-3, +8),所以f'(x)=exx+3易知导函数

26、f'(x)在定义域(-3, +8)上是单调递增函数, 又f'( 1) <0, f'(一广)>0所以f'(x) =0在(-3, +8)上有唯一的实根，不妨将其设为x。，且刈C (-1,)，则x=xo为f (x)的最小值点，且f'(X0)=0,即e %=；,两边取以e为底的对数，得 xo=- ln (xo+3)故 f (x) >f (xo) =e - ln (xo+3) =- - ln (xo+3) =- +xo,因为 xo C (一 b 口+3迎+31, W),所以 2<xo+3<1,故 f (x) >f (xo) =&

27、gt;2+i-J=-77，即对？ xC (3, +8), 配+3022都有 f (x) >-二. 2故选：B.【点评】本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题, 准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键.二、填空题(每题5分，满分2O分，将答案填在答题纸上)13 .将函数f (x) =2sin (2x+(|) ( KO)的图象向左平移 三个单位长度，得到偶函数g (x)的图象，则小的最大值是6【分析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出小的最大值.个单位长度,【解答】解：函数f (x) =2sin (2x+(|) ( KO)的图象向左平移)=2sin2

28、 (+() =2sin (2x+的图象,g (x) =2sin (又g (x)是偶函数,+k tt, kCZ；+k tt, kCZ；又小 O,小的最大值是一故答案为:【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.14 .已知a>0, b>0, (ax+旦)6展开式的常数项为仔，则a+2b的最小值为 2 . 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab方，再由 基本不等式求a+2b的最小值.【解答】解：(ax+、)6展开式的通项为Tr对二=/r.l/.cVx62r-a+2b>2V2ab=2,当且仅当 a=2b,即 a=1, b<时，取“二：

29、' ；a+2b的最小值为2.故答案为：2.【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用基本 不等式求最值，是基础题.15 .已知函数f (x) =log2 (4x+1) +mx,当m>0时，关于x的不等式f (log3x) < 1的解集为(0, 1).【分析】利用单调性求解即可.【解答】解：函数f (x) =log2 (4x+1) +mx,当m>0时，可知f (x)时单调递增函数，当x=0时，可得f (0) =1,那么不等式f (log3x) <f (0)的解集，即I J解得：0<x< 1.故答案为(0, 1)【点评】本题考查的

30、知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于基础题.16 .设过抛物线y2=2px (p>0)上任意一点P (异于原点O)的直线与抛物线y2=8px (p>0)交于A, B两点，直线OP与抛物线y2=8px (p>0)的另一个交点为 Q,贝U -二 J 32AAfiO【分析】联立方程组求出P, Q的坐标，计算OP, PQ的比值得出结论.【解答】解：设直线OP方程为y=kx (kw0),联立方程组，解得P (除组， 芹 k联立方程组:亭及,解得Q (耳，巫)，Ly-8pxk2 卜：|0时苦+*；旷，|PQ=:卜：。二：=i：1 谭 k2 k2一上=3SA

31、/BO I °P I故答案为：3.【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)17 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知B=60°, c=8.(1)若点M, N是线段BC的两个三等分点，BM=i-BC,萼=R1,求AM的值;(2)若b=12,求4ABC的面积.【分析】(1)设BM=x,则AM=2/5x,由余弦定理求出BM=4,由此利用余弦定 理能求出b.(2)由正弦定理得 b = c从而sinc£3,由b=l2>c,得B>C, cosC逅，

32、sinB ginC33从而 sinA=sin (B+C) =sinBcosCcosBsinC=2Y3,由此能求出 ABC的面积.&【解答】解：(1)二.在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, B=60°,c=8点M , N是线段BC的两个三等分点，BM=LbC, =2/1, 3 EM设 BM=x, WJ AN=2.，在 ABN 中，由余弦定理得 12x2=64+4x2-2X8X2xcos60°,解得x=4 (负值舍去)，M BM=4,=4/5.(2)在 ABC中，由正弦定理得sinB sinC. sinC=XX李一如12又 b=12>c

33、,B>C,贝U C为锐角，.二 cosC贝U sinA=sin (B+C) =sinBcos(+cosBsinC=x24-LV3.3/2W3 .ABC的面积 S，bcsinA=48X273=24/2+83.&【点评】本题考查三角形的边长的求法， 考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.18.如图，在五面体 ABCDEN,四边形EDC支正方形，AD=DE /ADE=90, / ADC=Z DCB=120.(1)证明：平面 ABCDL平面EDCF(2)求直线AF与平面BDF所成角的最正

34、弦值.【分析】（1）推导出ADI DE, DC，DE,从而D已平面ABCD由此能证明平面ABCDL平面 EDCF（2）以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系 D-xyz,利用向量法能 求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值.【解答】证明：（1）因为 ADDE, DC! DE, AD、CD?平面 ABCR 且 ADACD=D, 所以DEL平面ABCD又DE?平面EDCF故平面 ABCDL平面EDCF解：（2）由已知DC/ EF,所以DC/平面ABFE又平面ABCm平面ABFE=AB故AB/ CD.所以四边形ABCD为等腰梯形.又AD=DE所以AD=CD|由题意得 AD, BD,令 AD=1

35、,如图，以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D - xyz,则 D （0, 0, 0）, A （1, 0, 0）,F （-1,承 1）, B （0, V3, 0）,.屈=（一，-旦 T）,瓦=（0, V3, 0）候二（-'，三，1）.设平面BDF的法向量为'=（x, y, z）,cos< FA,设直线与平面BDF所成的角为9,则sin所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为当【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法， 考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想，是中档题.19 .经销商第一年购买某工厂

36、商品的单价为 a （单位：元），在下一年购买时, 购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力 度越大，具体情况如表：上一年0, 100)100,200,300,400,500, +度销售200)300)400)500)oo)额/万元商品单a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a价/元为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了 50个经销商一年的销售额,第21页（共28页）得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X (单位：元)，且以经销商在各段销售额的频率作为概率.(1)求X的平均估计值.(2)该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购

37、买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率44记Y (单位：元)表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望.【分析】(1)由统计表和柱状图能得到X的平均估计值.(2)购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=-. Y的取值为5000, 10000, 15000, 20000.分别求出相应的概率，由此能求出 Y的分布列和 E (Y).【解答】解：(1)由题可知：商品单a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a价/元频率0.20.30.240.120

38、.10.04X的平均估计值为：ax 0.2+0.9aX 0.36+0.85aX 0.24+0.8aX 0.12+0.75aX 0.1+0.7aX 0.04=0.873a.(2)购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5等.第23页（共28页）Y 的取值为 5000, 10000, 15000, 20000.(Y=500。(Y=10000)一24 8-TJ(Y=15000).一4 32-3 116(Y=20000)=_4 3250001000015000£1E (Y).二一一1 、一：o3Z133216+20000X132316=9375 (元).【点评】本

39、题考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识,20000132考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、 化归与转化思想.20 .已知椭圆。：京+£=1（b>0）的左、右焦点分别为 F1, F2,点F2也为抛 物线C2: y2=8x的焦点.（1）若M , N为椭圆G上两点，且线段 MN的中点为（1,1）,求直线MN的 斜率；（2）若过椭圆G的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A, B和C, D, 设线段AB, CD的长分别为m, n,证明一是定值.ft n【分析】（1）根据抛物线的性质，求得c,即可求得b的值，利用 熏差法”

40、即可 求得直线MN的斜率；（2）分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程， 利用韦达定理及弦长公式即可求得 m的值，同理即可求得n的值，即可求得LJ in n是定化【解答】解：（1）抛物线C2： y2=8x的焦点（2, 0）,则c=2, b2=a2-c2=4,椭圆的标准方程：+j二1,设M (xi, yi), N(X2, y2),由 MN 的中点为(1, 1),则 xi+x2=2, yi+y2=2,直线MN的斜率k=vS=-L叼-叼 2直线MN的斜率为-1;2(2)由椭圆的右焦点F2 (2, 0),当直线 AB的斜率不存在或为0时,1 + 工=- 1 + 1 =3 强当

41、直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k (x-2),(x2, y2),联立y=k(a-2),消去y化简整理得：(1+2k2) x28k2x+8k2 8=0,二(- 8k2) 24 (1+2k2) (8k28) =32 (k2+1) >0,则mM7国产弟",同理可得：生萼 1 Z Ka T Z【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质， 直线与椭圆的位置关系，考查韦达定 理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题.21.已知 f'(x)为函数 f (x)的导函数，f (x) =e2x+2f (0) ex-f'(0) x. (1)求f (x)的单调区问；(

42、2)当x>0时，af (x) <ex-x恒成立，求a的取值范围.【分析】(1)求出函数的导数，计算f (0),求出f'(0)的值，求出函数的单调 区间即可；(2)令g (x) =af (x) - ex+x,求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数 的最值，从而确定a的范围即可.【解答】解：(1)由 f (0) =1+2f (0),得 f (0) =-1.因为 f'(x) =2e2x 2exf'(0),所以 f'(0) =2-2-f'(0),解得 f'(0) =0.所以 f (x) =e2x- 2ex, f'(x) =2ex

43、(ex-1),当xC (-oo, 0)时，f，(x) <0,则函数f (x)在(-oo, 0)上单调递减；当xC (0, +oo)时，f ' (x) >0,则函数f (x)在(0, +00)上单调递增.(2)令 g (x) =af (x) - ex+x=ae2x- (2a+1) ex+x,根据题意，当xC (0, +oo)时，g (x) <0包成立.g'(x) = (2aex-1) (ex-1).当 0<a<L, x (Tn2a, +00)时，g'(x) >0 包成立，所以 g (x)在(Tn2a, +oo)上是增函数，且 g (x)

44、 ( g ( - ln2a), +00),所以不符合题意；当a3，x (0, +oo)时，g，(x) >0包成立，所以g (x)在(0, +00)上是增函数，且g (x) ( g (0), +oo),所以不符合当a00时，因为x (0, +oo),所有包有g' (x) <0,故g (x)在(0, +00)上是减函数，于是“g(x) <0对任意xC (0, +oo)都成立”的充要条件是g (0) <0, 即 a- (2a+1) 00,解得：a>-1,故-1&a&0.综上，a的取值范围是-1, 0.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数包成立 问题，是一道综合题.修4-4:坐标系与参数方程22 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为q“行1 （t为参数），圆C的 y=a+V3t标准方