电力系统计算-2014-1

1、电 力 系 统 计 算电力科学与新技术研究所胡林献绪论绪论一、传统应用领域一、传统应用领域 1 1）潮流计算）潮流计算牛顿法牛顿法 稳态运行下的一种计算。根据给定运行条件及系统接线情稳态运行下的一种计算。根据给定运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态。况确定整个电力系统各部分的运行状态。P-QP-Q分解法分解法阻抗迭代法阻抗迭代法 2 2）短路计算）短路计算导纳矩阵三角分解法导纳矩阵三角分解法阻抗矩阵为基础的计算法阻抗矩阵为基础的计算法 3 3）稳定计算）稳定计算完善系统元件的动态特性模型完善系统元件的动态特性模型改进计算方法改进计算方法 4 4）其它计算）其它计算 暂态过程分

2、析、自励磁、过电压计算、周期性冲击对暂态过程分析、自励磁、过电压计算、周期性冲击对电力系统的影响、有功和无功合理分布计算等电力系统的影响、有功和无功合理分布计算等二、主要研究内容二、主要研究内容 1 1）数学模型）数学模型线性方程组线性方程组 运行状态参数之间相互关系和变化规律的一种数学描述。运行状态参数之间相互关系和变化规律的一种数学描述。 物理现象物理现象 数学问题数学问题非线性方程组非线性方程组微分方程组微分方程组 2 2）计算方法）计算方法方法可靠：能给出正确的解方法可靠：能给出正确的解内存占用小：影响解题规模内存占用小：影响解题规模 3 3）程序技巧）程序技巧 代数方程的求解是基础，

3、其解题速度代数方程的求解是基础，其解题速度决定了程序的计算速度和解题能力。决定了程序的计算速度和解题能力。 速度快、方便和灵活速度快、方便和灵活计算速度：实时是最终目的计算速度：实时是最终目的三、分析理论和技术的发展方向三、分析理论和技术的发展方向 1 1）软硬件的迅速发展使解题规模不断扩大。最优潮流、）软硬件的迅速发展使解题规模不断扩大。最优潮流、静态安全分析等已经能够在线运行；静态安全分析等已经能够在线运行； 2 2）HVDCHVDC和和FACTSFACTS的应用在提高输电能力、控制运行状态、的应用在提高输电能力、控制运行状态、改善运行特性的同时也带来了许多新的研究问题。需要改善运行特性的

4、同时也带来了许多新的研究问题。需要建立新的数学模型，开发包含建立新的数学模型，开发包含HVDCHVDC和和FACTSFACTS的分析方法；的分析方法； 3 3）通讯技术的高速发展使电力系统的在线监控成为可能；）通讯技术的高速发展使电力系统的在线监控成为可能；需要研发在线分析软件；需要研发在线分析软件； 4 4）电力市场化彻底改变了传统电力系统的管理和经营模）电力市场化彻底改变了传统电力系统的管理和经营模式，出现了输电辅助服务、输电阻塞等许多新问题；式，出现了输电辅助服务、输电阻塞等许多新问题； 5 5）安全性问题日益受到重视，如何兼顾电力系统的安全）安全性问题日益受到重视，如何兼顾电力系统的安

5、全性与经济性成为研究的重点课题之一。性与经济性成为研究的重点课题之一。 6 6）电压稳定性问题日益突出。）电压稳定性问题日益突出。第一章第一章 矩阵与方程组矩阵与方程组112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA LLMMMML一、逆一、逆矩阵的计算矩阵的计算 在电力系统计算中在电力系统计算中, ,逆逆矩阵是一个非常重要的概念矩阵是一个非常重要的概念, ,定义定义: : 根据根据逆逆矩阵的定义来直接求矩阵的逆非常复杂矩阵的定义来直接求矩阵的逆非常复杂, ,甚至不可甚至不可能能. .电力系统计算中一般采用解线性方程组求逆法或采用电力系统计算中一般采用解线性方程组求逆法或采用消去求逆法

6、消去求逆法11AAAkjAAakj矩阵称为 的伴随矩阵，A 是元素的代数余子式。1.1.解线性方程组求逆法解线性方程组求逆法设设12jjjnjxxXxM010jF MMj1112121222112nnnnnnxxxxxxAxxxLLMMMML2.2.消去求逆法消去求逆法 设设A A非奇异非奇异, ,则则 AX=F AX=F 的解可以表示成的解可以表示成 X=AX=A-1-1F F。如果把。如果把方程方程 AX=F AX=F 变换成变换成 X= -CF X= -CF 的形式，则的形式，则 -C=A-C=A-1-1。二、线性方程组的直接解法二、线性方程组的直接解法1.1.高斯消去法高斯消去法a)

7、a) 按列消去、按行回代按列消去、按行回代111211,1212222,112,1nnnnnnnnn nAXFAFaaaaaaaaaaaaLLMMLMML对，由 和 组成增广矩阵:B= A F(1)(1)(1)(1),(1,1;1, )kkkikijkjkkkaaajkniknaLL(k)ij按列消去：a按行回代按行回代: :经过经过n-1n-1次消去运算后：次消去运算后：11121311,1(1)(1)(1)(1)222322,1(2)(2)(2)3333,1111(1)(1),1,nnnnnnnnnnnnnn naaaaaaaaaaaaBAFaaLLLOMM)(11)1(1,)1(1,)1

8、(nijjiniiniiiiixaaax(,2,1)inLb) b) 按行消去、逐行规格化按行消去、逐行规格化按行消去：自上至下，逐行消去系数矩阵对角线左侧的元素。按行消去：自上至下，逐行消去系数矩阵对角线左侧的元素。规格化：消去一行后，立即用其对角线元素除以该行所有元素。规格化：消去一行后，立即用其对角线元素除以该行所有元素。(1)(1)(1)12131,1(2)(2)232,1(1)(1)11,1,11,11,1111nniiiiiiniiii nnnin naaaaaBaaaaaaaaLLOMLLLMLMLMLL经过经过i-1i-1步按行消去运算后：步按行消去运算后：是计算机上经常采用的

9、计算过程。是计算机上经常采用的计算过程。与按列消去、按行回代过程的性质相同，但顺序不同。与按列消去、按行回代过程的性质相同，但顺序不同。经过经过1-n1-n步按行消去运算后：步按行消去运算后：(1)(1)(1)12131,1(2)(2)232,2( ),11111nnnnn naaaaaBaLLLLLLMOLMc) c) 改进方法改进方法高斯消去法要求系数矩阵的所有主子式全不为零，这是一个非常高斯消去法要求系数矩阵的所有主子式全不为零，这是一个非常苛刻的条件，因为即使矩阵苛刻的条件，因为即使矩阵A A非奇异，也不能确保它的各阶主非奇异，也不能确保它的各阶主子式全不为零。子式全不为零。改进法一般

10、采用主元消去法，即在消元前，先寻找该行中最大的改进法一般采用主元消去法，即在消元前，先寻找该行中最大的元素，并选其做为对角元素（通过列与列互换来实现），然元素，并选其做为对角元素（通过列与列互换来实现），然后再进行消元运算。后再进行消元运算。2.2.因子表法因子表法 在实际计算中，常常需要多次求解方程组在实际计算中，常常需要多次求解方程组AX=FAX=F，且每次仅，且每次仅改变常数项改变常数项F F，系数矩阵，系数矩阵A A不变，此时可采用因子表法。不变，此时可采用因子表法。 因子表可以理解为高斯消去法解线性方程组过程中对常数因子表可以理解为高斯消去法解线性方程组过程中对常数项项F F全部运算

11、的一种记录表格。全部运算的一种记录表格。 为了对常数项进行消去运算，必须记录消去过程中所需要为了对常数项进行消去运算，必须记录消去过程中所需要的因子，即消去运算和规格化运算所需要的因子。的因子，即消去运算和规格化运算所需要的因子。 为了常数项的回代过程运算，必须记录消去运算后得到的为了常数项的回代过程运算，必须记录消去运算后得到的上三角矩阵元素。消去过程：上三角矩阵元素。消去过程：( )(1)(1)( )kkkkiiikkffaf(1,2,1)kiL(1 )()(1 )iiiiiiiffa(1)(1)(1)(1)121314111(2)(2)(2)2123242(1)22(1)(3)(3)31

12、32343(2)33(1)(2)(4)4142434(3)44(1)(2)(3)1234(1)11111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLLLMMLML下三角矩阵下三角矩阵L:L:消去过程中曾出现的元素消去过程中曾出现的元素) 1( jijijaL)(ij上三角矩阵上三角矩阵U:U:消去后经过规格化的元素消去后经过规格化的元素)(iijijaU )(ji 对角矩阵对角矩阵D:D:对角元素的倒数对角元素的倒数)1(1iiiiiaD1112131412122232423132333434142434441234nnnnnnnnnnDUUUULDUUULLD

13、UULLLDULLLLDLLLLMMLML如对四阶线性方程组，因子表和常数项如对四阶线性方程组，因子表和常数项F F如下：如下：利用因子表的求解过程如下：利用因子表的求解过程如下：前代运算：前代运算：回代运算：回代运算：当当A A是对称矩阵时，上、下三角部分元素之间有如下关系：是对称矩阵时，上、下三角部分元素之间有如下关系：ijiijiUDL1因此，计算中只需要存储因子表的对角元素及其上三角元素因此，计算中只需要存储因子表的对角元素及其上三角元素. .)()1()(ijjiijijfLff)1()1()(iiijijijfUff在对称矩阵下，消去运算如下：在对称矩阵下，消去运算如下：3.3.三

14、角分解法三角分解法 在实际计算中，常常需要多次求解方程组在实际计算中，常常需要多次求解方程组AX=FAX=F，且每次仅改，且每次仅改变常数项变常数项F F，系数矩阵，系数矩阵A A不变，此时也可采用三角分解法。不变，此时也可采用三角分解法。 首先把首先把A A分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，且通常把分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，且通常把下三角矩阵选为单位三角矩阵。下三角矩阵选为单位三角矩阵。LRA 若若A A非奇异，则矩阵非奇异，则矩阵A A可进一步分解成：可进一步分解成：LDUA iiijijiiiirrurd 若若A A对称，则：对称，则：DUULDLATT 一般保存下三角矩阵。

15、一般保存下三角矩阵。11111(),1,2,1,1,2,jkjkjkppjpjjiikikippkplal rjkrral rikLLFAX FXLDLTYXLZDYFLZTX 三角分解法与因子表之间的关系：三角分解法与因子表之间的关系： a) a) 三角分解法的三角分解法的U U矩阵就是因子表中的上三角部分；矩阵就是因子表中的上三角部分； b) b) 三角分解法的三角分解法的D D矩阵元素与因子表的对角元素互为倒数；矩阵元素与因子表的对角元素互为倒数； c) c) 三角分解法的三角分解法的L L矩阵元素是因子表下三角元素与对角元素矩阵元素是因子表下三角元素与对角元素的乘积。的乘积。三、方程组

16、的迭代解法三、方程组的迭代解法 目前目前, ,在电力系统计算中在电力系统计算中, ,迭代法主要用于求解非线性迭代法主要用于求解非线性方程方程. .迭代是一种解方程或方程组的间接方法迭代是一种解方程或方程组的间接方法, ,可解可解直接法不能解决的问题直接法不能解决的问题. . 1. 1. 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法FAX AB1FBXXFBXXtt)()1( 雅可比迭代雅可比迭代)()1(ttXX收敛条件收敛条件雅可比迭代的收敛条件雅可比迭代的收敛条件:B=1-A:B=1-A的所有特征值的模都小于的所有特征值的模都小于1,1,而与初值而与初值和常数项大小无关和常数项大小无关, ,收

17、敛速度与特征值的最大模成正比收敛速度与特征值的最大模成正比. . 为了改善收敛性为了改善收敛性, ,可采用塞德尔迭代法可采用塞德尔迭代法: :(1)( )( )( )( )111 11221,1111(1)(1)( )( )( )221 12222,1122(1)(1)(1)(1)( )1 122,11tttttnnnntttttnnnntttttnnnn nnnnnnxb xb xbxb xfxb xb xbxb xfxb xb xbxb xfLLLLULBFUXLXXttt)()1()1( 为了进一步改善收敛性为了进一步改善收敛性, ,可引进松弛因子可引进松弛因子: :)()()1(tttXXX)()1()(tttXXXFUXLXXttt)()1()1(松弛因子雅可比迭代的松弛法)()()1()1 ()(tttXFBXX塞德尔迭代的松弛法)()()1()1()1 ()(ttttXFUXLXX 如果对于如果对于X X的各分量取不同的松弛因子，则称为逐点松弛因子！的各分量取不同的松弛因子，则称为逐点松