电动力学_郭芳侠_电磁波的辐射(1)

1、 第五章 电磁波辐射1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是A B. C. D. 答案：B2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生 A电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流答案：C 3.B 4.B 3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是A 电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间；B 电磁场在传播时需要介质；C 场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；D 场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的.4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状答案：B5.严格的

2、讲,电偶极辐射场的A磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的答案：B6.对电偶极子辐射的能流,若设为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是A. ; B. ; C. D. 答案：D 7.电偶极辐射场的平均功率A正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离答案：C8.若一电流=40t，则它激发的矢势的一般表示式为=。答案： 9.变化电磁场的场量和与势（、）的关系是=，=。答案： , 10.真空中电荷只有做运动时才能

3、产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅不变，当辐射频率有由时变为3，则偶极辐射总功率由原来的p变为。答案：加速，81P0 11.势的规范变换为，；答案：，12.洛仑兹规范辅助条件是；在此规范下，真空中迅变电磁场的势满足的微分方程是.答案： ， 13.真空中一点电荷电量，它在空间激发的电磁标势为_.答案： 14.一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为,绕圆环的轴线以角速度匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为 .答案： 零 15.真空中某处有点电荷那么决定离场源r处t时刻的电磁场的电荷电量等于 .答案： 16.已知自由空间中电磁场矢势为，波矢为，则电磁场的标势 答案：,17.真空中电荷距场点,则场点0.

4、2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s18.电偶极子在方向辐射的能流最强.答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面19.稳恒的电流(填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会20.已知体系的电流密度,则它的电偶极矩对时间的一阶微商为.答案： 21.短天线的辐射能力是由来表征的,它正比于答案：辐射电阻 ,22.真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了的高次项)之间的关系是.答案： 23.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有.答案： 辐射压力24.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分，写出和的这两部分在真空中所

5、满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场解:将方程组中的电场、磁场、电流、分为无旋和无散两部分据此，可将麦克斯韦方程组写成另外一种表达形式，进一步证明电场的无旋部分对应于库仑场（1）以角标L和T分别代表纵场和横场两部分，则有将、的分解式分别代入真空中的麦克斯韦方程组中，得式可近一步化简为 由纵场和横场定义，得 并且 将两式代入式，得（2）以角标L和T代表纵场和横场，则电场分解为，并且，再由（为标势），得由，有由式可知的纵场部分完全由描述，即为库仑规范，的纵场对应于库仑场25.若是满足洛伦兹规范的电磁势，证明当满足，那么新的矢势和标势仍然满足洛伦兹规范。证明:电磁势满足洛伦兹规范 (1)

6、作规范变换 则 (2)将(1)代入(2),可看出只要满足则满足洛伦兹规范条件: 26.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若=0，0，则和可完全由矢势决定若取0，这时满足哪两个方程? 证明（1）若，对线性各向同性均匀非导电介质中的单色波麦克斯韦方程组为 将,代入场方程中，并选择洛伦兹规范 得 对单色波, 代入式中,得 于是 可见在线性均匀非导电介质中，当，时，、完全由矢势决定（2）若取，由两式变为 上式便是此时满足得方程27. 证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势表示，其中，垂直于z轴方向解题思路由于,，再考虑沿z方向传播的电磁波矢势解析表达式，找出于与的关系便可证明证明:利用上题中得到的自

7、由空间矢势的方程 解得平面波解为 由于平面波沿z轴方向传播，故，则式可写为 根据洛伦兹规范得由已知条件，故因此,易犯错误不能抓住平面电磁波的特点，未应用沿轴传播这一特定条件引申拓展求解此类题目时，将、用、表示出来，再已知条件下分析解析式、及其之间的关系即可28.设真空中矢势可用复数傅里叶展开为=，其中是的复共轭(1)证明满足谐振子方程(3)把和用和表示出来证明:已知矢势的傅里叶展开式是不同频率平面波的线性叠加，因此矢势满足齐次达朗贝尔方程，将的展开式代入达朗贝尔方程，用规范辅助条件化简后便可得到要证明的结论（1）由为真空中矢势可知，若采用洛伦兹规范，则满足达朗贝尔方程，即将的复数傅里叶展开式代

8、入上式，有即要使上式恒成立，应有整理以上两式，有故结论得证（2）若取，=即为使上式恒成立，则有 （3）由（2）有：，且29.设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势 (1)引入一矢量函数(赫兹矢量),若令-，证明 (2)若令证明满足方程 ，写出在真空中的推迟解(3)证明和可通过用下列公式表出， ， 证明:由题意可知：和满足洛伦兹规范，且，只需将、代入其规范，化简后便可得出，当时，将、代入它们满足的基本方程便可求证综合（1）和（2），通过、，便可得出和的表达形式（1）矢势、标势满足洛伦兹规范 将代入式，得可见与最多相差一个无散场，可令，有 结论得证（2）由、满足得方程可知若，结合、两式可得到化简，得由，

9、有即 次方程于达朗贝尔方程形式完全相同，故推迟解（3）将，分别代入，可得到= 由算符运算公式可将化简为再利用式可得到因此，有30.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生证明:将这两个粒子看作一个系统，运用质心坐标系，则系统的总动量为零，找出两个粒子的速度、位矢关系，根据电偶极矩、磁偶极矩的定义，只要证明，便不会产生偶极辐射设两个粒子在质心中碰撞后的位矢为、，速度、分别为，质量为、，电荷量为、，质心系中系统总动量为零，即 由于=，且相向而行，则有+=0 =系统的电偶极矩 所以不会产生电偶极矩辐射系统的磁偶极矩 =由于 ， ，因此不会产生磁偶极矩辐射31.

10、证明荷质比相同的不同带电粒子 构成的体系不会产生偶极辐射.证明：设带电粒子体系有N个粒子，第i个粒子的质量为，电荷电量为，总质量为M，体系电偶极矩： （1）在的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心矢径为， 即 （2）将（2）代入（1）中，得由于系统不受外力，则质心加速度，所以，没有电偶极辐射。体系磁偶极矩其中是体系的角动量，系统不受外力时，角动量守恒，因此故没有磁偶极辐射。32.设有一球对称的电荷分布，以频率沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释解:题设中并未说明体系的线度是否满足，因此不能看作偶极辐射，故以推断迟势公式求出矢势，再讨论和取电荷的对称中心为原点，场点位矢的方向为轴，

11、如图5.1由于电荷分布是球对称，且沿径向做简谐运动，因此电流场点P处的矢势 对于辐射区，故式分母中的 式中指数部分能否用代替，显然取决于与的比较，此处不能忽略，考虑电流分布的对称性，只有方向的分量将近似条件代入式，得式中是一与无关的常数因而辐射场易犯错误（1）把此体系的辐射当偶极辐射处理，实际上题设并未告知这一条件，故应按一般情况讨论；（2）由电流的球对称性错误地得出，由电流球对称，只能得到，而，因为每个电流元到点的距离，都不同引申拓展对于辐射问题，首先看清题目是否给出或隐含了偶极辐射的条件，若以给出才能当作偶极辐射处理，通过计算偶极矩来求和否则按辐射问题的一般方法先求矢势，再计算和33.一飞

12、轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为Q设此飞轮以恒定角速度旋转，求辐射场解:题中并未已知飞轮的几何线度与的关系，故也不能看作偶极辐射，应作一般讨论，由于电荷匀速转动，因此等效为一稳恒电流由于飞轮以恒定角速度转动，形成的电流式中为电荷线密度与时间无关，形成的电流也是稳恒的稳恒的电荷分布和电流分布只能产生稳恒的电场和磁场，而不会发生辐射，故辐射场，34.利用电荷守恒定律，验证和的推迟势满足洛伦兹条件证明: 本题是一个验证性问题，只需将、的推迟势代入洛伦兹条件，等式两边相等即可由于必须利用电荷守恒定律，则只需证出上式的右边含有就行了已知和的推迟势为其中是场点的位矢，是源点的位矢，与之间的

13、关系为因为在空间的一个固定点，有故当算符作用于的次幂时，可写成其中只作用于，因为中的变量，其中含有，故另一方面，有式中表示为常数时的散度对比以上两式，得将此式代入式，并利用表示电荷到场点得距离右方第一项由于是包含了所有电荷电流得区域，在的边界面上的法向分量，结果上式变为需，于是由式得将式与合并，便得由电荷守恒定律，有式中是点的局域时间，由以上两式，得由此可见，只要电荷守恒定律成立，则推迟势和就满足洛伦兹条件易犯错误本题主要是逻辑推理过程，其中大量运用了算符对符合函数的微分，此算符的运算过程易出错，例如认为，其实这里也是和的函数图5-235.如图5-2,一电偶极矩为的偶极子与Z轴夹角为，以角频率

14、绕Z轴旋转，计算辐射场与平均能流密度.解: 将电偶极矩分解为互相垂直的电偶极子 写成复数形式为 将用球坐标表示于是辐射场 36.半径为的均匀永磁体，磁化强度为，球以恒定角速度绕通过球心而垂直于的铀旋转，设，求辐射场和能流解:由于，即，辐射可认为是偶极辐射，此题实际上是求解旋转的磁偶极矩的辐射场，只要将此体系的磁矩表示两个互相垂直的振荡磁偶极子磁矩之和，求出及，便可得到和如图5-3所示，以球心为原点，以转轴为轴，建立球坐标系，旋转的磁矩可分解为两个互相垂直，相差为的线振动图 5-3 式中，是磁体的总磁矩由附录中直角坐标系矢量与球坐标系矢量的变换代入中，得 利用电偶极辐射公式，作以下代换即得磁偶极

15、辐射 平均能流 易犯错误将磁矩分解为，这里虽然两振动互相垂直，但相位相同，因此合成振动不是圆振动，而这里的末端在旋转过程中的轨迹曲线为圆由结果可知，若磁体不旋转，则，即静止的磁体不会产生辐射场，但可产生稳恒磁场37.带电粒子作半径为的非相对论性圆周运动，回旋频率为，求远处的辐射电磁场和辐射能流解: 由于粒子作非相对论性圆周运动，即，可看作电偶极辐射，带电粒子做圆周运动，相当于一个旋转电偶极子，电偶极矩振幅，与上一题方法相似，将电偶极矩分解为两个振动互相垂直，相位差为的振荡电偶极子，求解出，便可得，.将时刻电偶极矩分解为 由于 图 5.3代入式，得 将代入到电偶极子辐射场公式得式中38.设有一电

16、矩振幅为，频率为的电偶极子距理想导体平面为2处，平行于导体平面设，求在处电磁场及辐射能流解:此题中，故导体表面附近场为似稳场，理想导体上出现表面电流，根据电像原理，理想导体平面对场的影响可以用电像偶极子代替，如图5.4a，所求的电磁场和辐射能流便是这两个电偶极子和产生的辐射场的叠加解:选取坐标系如图5.4b使电像偶极子位于坐标原点，并沿轴的负方向，原电偶极子位于轴上的处，则根据振荡电偶极子产生的辐射场的公式，产生的辐射场的磁感强度为产生的辐射场的磁感强度为因为，故，于是，有式中是的位矢，故于是，所求的辐射场的磁感强度为利用由于，所以，所以电场强度平均能流密度易犯错误作的镜象时，要注意与平行且反向，坐标的选取，可以将坐标原点放在电四极子中心也可以放在一个电偶极子中心引申拓展此题等效为两个电偶极子组成的系统，系统的总电偶极矩为零，但它包含着磁偶极矩与电四极矩，也可通过计算磁偶极矩及电四极矩来求解辐射场39.设有线偏振平面波照射到一个绝缘介质球上(在方向)，引起介质球极化，极化矢量是随时间变化的，因而产生辐射