正弦稳态电路的分析与求解

1、第六章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析一、 目的1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法；2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式； 3、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况； 4、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法； 5、掌握最大功率传输的概念及在不同情况下的最大传输条件；二、重点与难点1. 重点： (1).复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换(2). 正弦稳态电路的分析(3). 正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算(4). 最大功率传输。 (5). 串、并联谐振的概念2难点：(1).

2、复阻抗和复导纳的概念以及它们之间的等效变换。(2).直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应用。(3). 正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算。(4).应用相量图分析电路的方法。(5). 谐振的概念。三、本章与其它章节的联系：本章内容以直流电路的分析和第八章阐述的相量法为基础， 正弦稳态电路的分析方法在第10、11、12章节中都要用到。四、内容§61 阻抗和导纳阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。1. 阻抗1）阻抗的定义 图6.1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源

3、激励下处于稳定状态时，端口的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗 Z 。即单位： 上式称为复数形式的欧姆定律，其中 称为阻抗模， 称为阻抗角。由于 Z 为复数，也称为复阻抗，这样图 6.1 所示的无源一端口网络可以用图 6.2 所示的等效电路表示，所以 Z 也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。 图 6.1 无源线性一端口网络 图 6.2 等效电路 2）单个元件的阻抗当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为： a 电阻 b 电容c 电感图 6.3 单个元件的网络a图 b图 c图 说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。3） RLC 串联电路的阻抗 图 6.4 RLC 串联电路图 6.5

4、 阻抗三角形由 KVL 得： 因此，等效阻抗为 其中 R等效电阻 (阻抗的实部)；X等效电抗(阻抗的虚部) ；Z、R 和 X 之间的转换关系为： 或 可以用图 6.5 所示的阻抗三角形表示。结论： 对于 RLC 串联电路：（1） 当L 1/C 时，有 X 0 ， z0 ，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 6.6 所示； 图6.6 L 1/C 时的相量图和等效电路（2）对于RLC串联电路当L 1/C时，有 X 0 ，z0 ，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 6.7 所示； 图6.7L 1/C 时的相量

5、图和等效电路（3） 当L 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图6.8所示； 图6.8L 1/C 时的相量图和等效电路（4） RLC 串联电路的电压 UR 、U X 、U 构成电压三角形，它和阻抗三角形相似,满足： 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。2. 导纳1）导纳的定义图 6.1 所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳 Y 。即 单位：S 上式仍为复数形式的欧

6、姆定律，其中 称为导纳模， 称为导纳角。由于 Y 为复数，称为复导纳，这样图 6.1 所示的无源一端口网络可以用图 6.9 所示的等效电路表示，所以 Y 也称为一端口网络的等效导纳或输入导纳。 图 6.6 无源线性一端口网络等效导纳2）单个元件的导纳 当无源网络内为单个元件时如图 6.3 所示，等效导纳分别为： a图 b图 c图 说明 Y 可以是纯实数，也可以是纯虚数。3） RLC 并联电路的导纳 图 6.10 RLC 并联电路图 6.11 导纳三角形由 KCL 得： 因此，等效导纳为 其中 G等效电导(导纳的实部) ； B等效电纳(导纳的虚部) ；Y 、G 和 B 之间的转换关系为： 或 可

7、以用图 6.11 所示的导纳三角形表示。结论： 对于 RLC 并联电路：（1） 当 L 1/C 时，有 B 0 ， y0 ，表现为电流超前电压，称电路为容性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 6.12 所示； 图 6.12 L 1/C 时的相量图和等效电路 （2）当 L 1/C 时，有 B 0 ， y0 ，表现为电压超前电流，称电路为感性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 6.13 所示； 图 6.13 L 1/C 时的相量图和等效电路 （3） 当L = 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电

8、流为参考相量）和等效电路如图6.14所示 图 6.14 L = 1/C时 的 相量图和等效电路 （4）RLC 并联电路的电流 IR、IX 、I 构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。3. 复阻抗和复导纳的等效互换 同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为： 即： 6.15 串联电路和其等效的并联电路如图 6.15 的串联电路，它的阻抗为： 其等效并联电路的导纳为： 即等效电导和电纳为： 同理，对并联电路，它的导纳为 其等效串联电路的阻抗为： 即等效电阻和电抗为： 例6-1电路如图(a)所示，已知：R=

9、15,L=0.3mH, C=0.2mF, 求 i ,uR ,uL ,uC 。 例 6 1 图（a） （b）（c）解：电路的相量模型如图（b）所示，其中： 因此总阻抗为 总电流为 电感电压为电阻电压为 电容电压为相量图如图（c）所示，各量的瞬时式为： 注意 :UL=8.42U=5，说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效值。 例6-2 RL 串联电路如图（a）所示，求在106rad/s 时的等效并联电路图（b）。 例 6 2 图（ a ）（ b ）解：RL 串联电路的阻抗为： 导纳为：得等效并联电路的参数 §62 阻抗(导纳)的串联和并联1. 阻抗的串联 图 6.16 为 n

10、 个阻抗串联的电路，根据 KVL 得： 图 6.16 n 个阻抗串联图 图6.17 等效电路图 其中 Z 为等效阻抗，因此图 6.16 的电路可以用图 6.17 的等效电路替代。串联电路中各个阻抗的电压分配为： 其中 为总电压， 为第 k 个阻抗的电压。2. 导纳的并联 图 6.18 n 个阻抗并联图 6.19等效电路 图 6.18 为 n 个阻抗并联的电路，根据 KCL 得： 其中 Y 为等效导纳，因此图 6.18 的电路可以用图 6.19 的等效电路替代。 并联电路中各个阻抗的电流分配为： 其中 为总电流， 为第 k 个导纳的电流。两个阻抗 Z 1 、 Z 2 的并联等效阻抗为： 注：阻抗

11、的串联和并联计算及分压和分流计算在形式上与电阻的串联和并联及分压和分流计算相似。例6-3 求图示电路的等效阻抗， 已知 105 rad/s 。 例 6 3 图解： 感抗和容抗为： 所以电路的等效阻抗为 例6-4 图示电路对外呈现感性还是容性？ 例 6 4 图解： 图示电路的等效阻抗为： 所以 电路对外呈现容性。例6-5 图示为 RC 选频网络，试求 u1 和 u0 同相位的条件及 例 6 5 图解：设 输出电压 输出电压和输入电压的比值 因为 当 ，上式比值为实数，则 u1 和 u0 同相位，此时有§63 正弦稳态电路的分析1电阻电路与正弦电流电路的分析比较 结论：引入相量法和阻抗的

12、概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的 。 因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。 2. 典型例题例6-6求图 (a) 电路中各支路的电流。已知电路参数为:例 6 6 图（ a ） （ b ） 解：电路的相量模型如图（b）所示。 设 则 各支路电流为 例6-7 列写图（a）电路的回路电流方程和节点电压方程 例 6 7 图（a）解：选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为: 回路 1 回路 2 回路 3 回路 4 （ b ）（ c ） 结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为: 结点 1 结点 2 结点 3 例6-8求图（a）电路中的电流 已知：

13、 例 6 8 图（a）（b）解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中 方法二： 应用戴维南等效变换 图（ c ）（ d ）求开路电压：由图（c）得 求等效电阻：把图（c）中的电流源断开得 等效电路如图（d）所示，因此电流 例6-9求图（a）所示电路的戴维南等效电路。 例 6 9 图（ a ） （ b ）解：把图（a）变换为图（b），应用 KVL 得 解得开路电压 求短路电流：把 图（b）电路端口短路得 所以等效阻抗: 例6-10用叠加定理计算图（a）电路的电流 ，已知 例 6 10 （ a ） （ b ） （ c ）解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，

14、由图（a）得： 由图（b）得 则所求电流 例6-11已知图示电路：Z =10+j50,Z1=400+j1000,问：等于多少时， 相位差90°？ 例 6 11 图解：根据 KVL 得 所以 令上式的实部为零，即 得: ,即电压落后电流 90°相位。例6-12已知图（a）所示电路中，U =115V , U1=55.4V , U2= 80V , R1=32W , f=50Hz ， 求： 电感线圈的电阻 R2 和电感 L2 。 例 6 12 （a）（b）解：方法、 画相量图分析。相量图如图（b）所示，根据几何关系得： 代入数据得 因为 所以方法二、列方程求解，因为 令上式等号两边

15、实部、虚部分别相等得: 解得 其余过程同方法一。§64 正弦稳态电路的功率1. 瞬时功率设无源一端口网络如图 6.20 所示，在正弦稳态情况下，端口电压和电流为： 式中 是电压和电流的相位差，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。图 6.20 图 6.21则 一端口网络吸收的瞬时功率为： 上式可以分解为： 从上式可以看出瞬时功率有两个分量，一个为恒定量，一个为两倍电压或电流频率的正弦量， P（t）的波形如图6.21所示。瞬时功率还可以写为： 上式中第一项始终大于零，为瞬时功率的不可逆部分，第二项为两倍电压或电流频率的正弦量，是瞬时功率的可逆部分，代表电源和一端口之间来回交换的能量。P(t

16、)的波形如图6.22示。注意：瞬时功率有时为正,有时为负，p0,表示电路吸收功率，p0，表示电路发出功率。 图 6.222. 平均功率 P 为了便于测量，通常引入平均功率的概念。平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，即： P 的单位是 W（瓦）。式中 cos称为功率因数，说明平均功率不仅与电压和电流的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。注意： 当 cos =1, 表示一端口网络的等效阻抗为纯电阻，平均功率达到最大。当 cos =0 ，表示一端口网络的等效阻抗为纯电抗，平均功率为零。一般有 0 cos1 。因此，平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率。3. 无

17、功功率 Q 工程中还引入无功功率的概念，其定义为：单位： var (乏) 。当 Q 0 ，认为网络吸收无功功率； Q 0 ，认为网络发出无功功率。注意： 当 cos = 1, 有 sin = 0 ，纯电阻网络的无功功率为零。当 cos = 0，有 sin = 1 ，表示纯电抗网络无功功率最大。因此 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L、C 的性质决定的。4. 视在功率 S 定义视在功率为电压和电流有效值的乘积，即：单位： VA (伏安) 视在功率反映电气设备的容量。有功功率，无功功率和视在功率满足图 6.23 所示的功率三角形关系： 图 6.235. 任意阻抗的功率计算

18、以上式子说明功率三角形与阻抗三角形是相似三角形。图 6.24（b）和（c）为图 6.24（a）所示的 RLC 串联电路中电感和电容的瞬时功率的波形，从中可以看出， 当 L 发出功率时， C 刚好吸收功率，当 C 发出功率时， L 刚好吸收功率，说明电感、电容的无功具有互相补偿的作用。 图 6.24 （ a ） （ b ） （ c ） 6. 功率因数的提高有功功率的表达式说明当功率一定时，若提高电压 U 和功率因素 cos，可以减小线路中的电流，从而减小线路上的损耗，提高传输效率。电力系统中就是采用高压传输和并联电容提高功率因素的方式来提高传输效率。图 6.25（a）给出了电感性负载与电容的并联

19、电路，图（b）为其相量图，显然并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。 图 6.25 （ a ）（ b ）根据相量图可以确定并联电容的值，由图可知： 因此 注意： 并联电容后，电源向负载输送的有功功率 UILcos1 = UIcos2 不变，但是电源向负载输送的无功 UIsin2 UIL sin1 减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”的无功来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。例6-13 图示电路是用三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U = 50V ，I =1A ，P =30W ,求线圈参数。

20、 例 6 13 图解：方法一，由电表的读数知： 视在功率 无功功率 因此 方法二 ，由 因 且 所以 方法三，由 得 因 所以 例6-14图示电路，已知：f =50Hz, U =220V, P =10kW, 线圈的功率因素 cos=0.6 ，采用并联电容方法提高功率因素，问要使功率因数提高到0.9, 应并联多大的电容C，并联前后电路的总电流各为多大？ 例 614 图解： 所以并联电容为： 未并电容时，电路中的电流为： 并联电容后，电路中的电流为： §65 复功率正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系可以通过“复功率”表述。1. 复功率 设一端口网络的电压相量和电流相

21、量为 ，定义复功率 为： 单位： VA 因此 复功率也可表示为： 或 注意： （1）复功率 把 P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；辐角是功率因素角。（2）复功率 是复数，但不是相量，它不对应任意正弦量；（3）复功率 满足复功率守恒。因为在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的有功功率之和为零，吸收的无功功率之和为零，即： 因此 例6-15电路如图所示，求各支路的复功率。 例 6 15 图解： 输入阻抗 电压 电源发出的复功率 支路的复功率为 §66 最大传输功率图 6.26（a）所示电路为含源一端口网路向终端负载传输功率，下面分析在正弦稳态条件下

22、负载从含源一端口网络获取最大功率的条件。根据戴维宁定理，把图（a）电路简化为图（b）所示的等效电路进行研究。设 Zi = Ri + jXi ， ZL = RL + jXL ，则负载电流为： 图 6.26 （ a ）（ b ） 负载吸收的有功功率为 若ZL=RL+jXL 可任意改变，先设RL不变，XL改变，显然，当 Xi+XL=0 ，即XL=-Xi时，有功功率P 获得最大值，这时 再改变RL使P 获得最大值。把上式对RL求导，并使之为零，得RL=Ri 时，P 获得最大值。综合以上结果，可得负载上获得最大功率的条件是： RL=RiXL=-Xi 即 ZL = Zi * 此时有最大功率 例6-16电路

23、如图（a）所示，求（1）RL =5 时其消耗的功率；（2）RL =? 能获得最大功率，并求最大功率；（3）在 RL 两端并联一电容，问 RL 和 C 为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求匹配功率。 例 616 图（a） （b）解：（1）电源内阻抗 电路中的电流 负载电阻消耗的功率 （2）当 电流为 负载电阻消耗的最大功率 （3）并联电容后的电路如图（b）所示，导纳为 令 解得： 电流 匹配功率 例6-17电路如图（a）所示，求 ZL =? 时能获得最大功率，并求最大功率。 例 6 17 图（ a ）（ b ）解： 应用戴维宁定理，先求负载阻抗 ZL 左边电路的等效电路。 等效阻抗 等效电源 等效电

24、路如图（b）所示。 因此,当 时， 负载获得最大功率§67 串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。1. 谐振的定义 含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足： 2. 串联谐振的条件图 6.27图 6.27 所示的 R、L、C 串联电路发生谐振时称串联谐振。电路的输入阻抗为： 根据谐振定义，当时电路发生谐振，由此得 R、L、C 串联电路的谐振条件是 谐振角频率为：， 谐振频率为

25、： 上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率又称固有频率。由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为：（1） L、C 不变，改变 达到谐振。（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 达到谐振。3. R、L、C 串联电路谐振时的特点（1） 谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位；（2）谐振时入端阻抗 Z = R 为纯电阻，图6.28为复平面上表示的|Z|随 变化的图形，可以看出谐振时抗值 |Z| 最小，因此电路中的电流达到最大。图 6.28（3）谐振时电感电压和电容电压分别为： 上式表明L、C上的电压大小相等，相位相反，如图6.29所示，串联总电

26、压，LC 相当于短路，所以串联谐振也称电压谐振，此时电源电压全部加在电阻上，即。 图 6.29（4）谐振时出现过电压现象电感电压和电容电压表示式中的 Q 称为品质因数，有 如果Q1，则有当Q 1时，电感和电容两端出现大大高于电源电压 U 的高电压，称为过电压现象。（5） 谐振时的功率 有功功率为： P = UIcos UI即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为： 其中 即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。如图 6.30 所示。 图 6.30 （6）谐振时的能量关系设电源电压 则电流 电容电压 电容储能 电感储能 以上表明：

27、1）电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即 WLm = WCm 。L、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即 电感、电容储能的总值与品质因数的关系为： 即品质因数 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高 Q 值。4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。（1）阻抗的频率特性 串联阻抗

28、其中（阻抗幅频特性） （阻抗相频特性） 图 6.31（a）给出了阻抗幅频特性曲线，（b）给出了阻抗相频特性曲线。 图 6.31 （a） （b）（2） 电流谐振曲线电流幅值与频率的关系为： 得电流谐振曲线如图 6.32 所示。 从电流谐振曲线看出谐振时电流达到最大，当 偏离0 时，电流从最大值 U/R 下降，即：串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。 如图 6.32为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以0和I(0)，即 得 所以 由上式

29、得通用谐振曲线如图6.33所示。显然Q 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。图 6.33在通用谐振曲线 处作一水平线，与每一谐振曲线交于两点，对应横坐标分别为，称半功率点，有 把 称为通频带，通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。可以证明 Q 与通频带的关系为： （3） UL() 与 UC() 的频率特性因为 它们的曲线如图 6.34 所示。 可以证明当时，UL()与UC()获最

30、大值，峰值的频率为： 峰值为 Q 越高，峰值频率越靠近谐振频率。图 6.34例6-18某收音机的输入回路如图所示， L =0.3mH ， R =10 W ，为收到中央电台 560kHz 信号，求（1）调谐电容 C 值；（2）如输入电压为 1.5 mV ，求谐振电流和此时的电容电压。 例 6 18 图解：（1） 由串联谐振的条件得： 或 例6-19一信号源与 R 、 L 、 C 电路串联如图所示，要求谐振频率 f0 =104Hz ，频带宽f =100Hz ， R=15 ，请设计一个线性电路。 例 6 19 图解：电路的品质因数 所以 例6-20一接收器的电路如图所示，参数为： U =10V ，

31、w =5×103 rad/s, 调 C 使电路中的电流最大，Imax =200mA ，测得电容电压为 600V ，求 R、L、C 及 Q 。 例 6 20 图解：电路中电流达到最大时发生串联谐振，因此有： 例6-21图（a）所示电路，电源角频率为，问在什么条件下输出电压 uab 不受 G 和 C 变化的影响。 例 6 21 图（ a ）（ b ）解：应用电源等效变换，把图（a）电路变换为图（b）电路，显然当 L1、C1 发生串联谐振时，输出电压 uab 不受 G 和 C 变化的影响。因此有： 令 §68 并联电路的谐振1. G、C、L 并联电路 图 6.35当图6.35所示

32、的 G、C、L 并联电路发生谐振时称并联谐振 ，并联电路的入端导纳为： 谐振时应满足 谐振角频率 采取与串联谐振电路同样的分析方法得并联谐振电路的特点为：（1）谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位；（2）谐振时入端导纳 Y = G 为纯电导，导纳 |Y | 最小，如图6.36所示，因此电路中的电压达到最大。如图6.37所示。 图 6.36 图 6.37图 6.38(3) 谐振时电感电流和电容电流分别为： 式表明 L、C 上的电流大小相等，相位相反，如图6.38所示，并联总电流 ， LC 相当于开路，所以并联谐振也称电流谐振，此时电源电流全部通过电导，即 。(4) 谐振时出现过电流现象 电感电

33、流和电容电流表示式中的 Q 称为并联电路的品质因数，有 如果 Q 1 ，则有 当 Q 1 时， 电感和电容中出现大大高于电源电流的大电流，称为过电流现象。(5) 谐振时的功率有功功率为： 即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为： 即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。两种能量的总合为常量： 2. 电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图 6.39 所示。 图 6.39图 6.40（1）谐振条件 电路的入端导纳为： 谐振时 B =0 ，即 谐振角频率 图 6.41 上式说明该

34、电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，必须满足 考虑到一般线圈电阻 RL ，则等效导纳近似为： 谐振角频率近似为 电路的等效电阻为： 等效电路如图 6.40 所示。电路的品质因数为： （2）谐振特点 1) 电路发生谐振时，输入阻抗很大 2) 电流一定时，总电压较高 3) 支路电流是总电流的 Q 倍，相量图如图 6.41 所示。设RL 例6-22电阻 R=10 和品质因数 QL=100 的线圈与电容接成并联谐振电路，如图（a）所示，如再并联上一个 100k的电阻，求电路的品质因数 Q 。 例 6 22 图（ a ）（ b ）解：因为所以 则 把 图（a）电路等效为图（b）电路，得： 因此 例

35、6-23电路如图所示，已知： RS =50k， US=100V ， w0=106 ，Q=100 ，谐振时线圈获取最大功率，求：L、C、R 及谐振时 I0 、U 和功率 P 。 例 6 23 图（ a ）（ b ）解： 线圈的品质因数 把 图（a）电路等效为图（b）电路，考虑到谐振时线圈获取最大功率得： 联立求解以上三式得： 谐振时总电流 线圈两端的电压 功率 6.3.1 瞬时功率正弦稳态电路中，、元件上的电压和电流都是同频率的正弦量，是时间的函数，根据功率的定义可知肯定也是时间的函数，所以我们将按计算出的功率称为瞬时功率。现在分别讨论一下、元件上的瞬时功率的特点。设通过、元件的电流为，元件上的

36、、为关联参考方向。1. 电阻元件电阻元件吸收的瞬时功率为可见，说明电阻元件是一直在消耗功率的。在一个周期内的平均值为2. 电感元件电感元件吸收的瞬时功率为可见，是一个随时间的推移正负交替变化的物理量。当时，说明电感在从外电路吸收能量；当时，说明电感将储存的能量返送回外电路。在一周期的平均值可见，电感元件是不消耗功率的，只储存功率的。3. 电容元件电容元件吸收的瞬时功率为可见，也是一个随时间的推移正负交替变化的物理量。在一周期的平均值可见，电容元件也是不消耗功率，只储存功率的。通过上述分析可以看出，、元件上的瞬时功率都是随时间变化的周期量，所以使用瞬时功率的概念来讨论正弦稳态电路的功率就不是很方

37、便。为此，需要定义一些新的概念来反应正弦稳态电路消耗和储存的功率，这就是下面谈到的有功功率和无功功率的概念。6.3.2 有功功率和无功功率如图6-21所示，现在以串联电路为例来讨论这正弦稳态电路的功率问题。设串联支路的电流，则串联支路吸收的瞬时功率为 （6-15）图6-21 RLC串联电路式（6-15）的第一项是电路中电阻消耗的瞬时功率，第二项是电路中动态元件储存的瞬时功率。考虑到将，代入式（6-15）后有 （6-16）结合式（6-16），我们定义如下两种功率。1. 有功功率有功功率的定义为 （6-17）有功功率是瞬时功率在一个周期内的平均值，所以也称为平均功率。 由于有功功率也是电阻的瞬时功

38、率在一周期内的平均值，所以有功功率反映的是电路实际消耗的功率。的单位为瓦特（），平时说某电器的功率是多少瓦，通常指的就是该电器的有功功率。2. 无功功率无功功率的定义为 （6-18）由式（6-16）可以看出，是式（6-16）第二项即电感和电容储存的瞬时功率的幅值，所以无功功率反映的是电路中所有动态元件所能储存的瞬时功率的最大值。越大，电路储能的能力就越强。的单位为乏（）。有功功率和无功功率的量纲是相同的，但是为了区别两种不同的功率，所以分别使用不同的单位。下面结合上述定义讨论一下单个元件上的有功功率和无功功率的特点，并进一步说明有功功率和无功功率的物理意义。对于电阻元件，由于其，所以，由于无功

39、功率反映的是电路储能能力的强弱，所以正是电阻不储存功率的体现。对于电感元件，由于其，所以， （6-19）称为感性无功功率。正是电感元件不消耗功率的体现。对于电容元件，由于其，所以， （6-20）称为容性无功功率。正是电容元件不消耗功率的体现。比较（6-19）和（6-20）可看出，根据定义计算出的感性无功功率恒为正，容性无功功率恒为负。 图6-22 无源一端口的等效电路对于无源一端口网络，如图6-22所示，设，根据等效变换的知识可知该网络一定可以等效变换为一个阻抗，阻抗的辐角应等于网络的端电压超前端电流的相角，即。所以对于无源一端口网络，该网络吸收的有功功率和无功功率又可以定义为 （6-21）其

40、中为无源一端口网络的端电压超前端电流的相角。3. 有功功率和无功功率的守恒6.3.3 视在功率和功率因数的概念1. 视在功率视在功率的定义为单位为伏安（）。在工程上，通常用视在功率来衡量一个电气设备带负载的能力。例如某一变压器工作时的端电压，能供出的最大视在功率为，则变压器允许通过的最大端电流为。请特别注意，和有功功率和无功功率不同，视在功率是不守恒的。一般来说，即一个网络吸收（供出）的视在功率不等于网络中各元件吸收（供出）的视在功率之和。所以，的值是没有任何物理意义的。对于单个阻抗而言，考虑到，故单个阻抗上的视在功率的计算式可写为2. 功率因数在工程上，还常常用到功率因数的概念。功率因数的定

41、义为：对于任一无源一端口网络，该网络的有功功率和视在功率的比值就称为该网络的功率因数，用表示，即：考虑到及，功率因数的定义也可以写为故（）也称为该无源一端口网络的功率因数角。对于无源一端口网络，其功率因数。对于含源一端口网络，讨论其功率因数是没有意义的。3. 、之间的关系根据、定义，同一网络的、之间存在如下关系：图6-25 功率三角形该关系可以用图6-25所示的功率三角形表示出来。在后面的功率计算中常常会用到上述关系式，故对于上述关系式应熟练掌握。6.3.4 提高电路功率因数的意义和方法1. 提高功率因数的意义平时看到的电器的铭牌上往往只标有有功功率，即该电器是多少的，却没有看到电器上标有无功

42、功率。究其原因，主要是由于用电的目的就是要将电能转换为用户需要的能量形式（热能、光能、机械能等），即需要电器消耗电能，并不需要电器储存电能。但实际当中所使用的电器例如日光灯、洗衣机、空调等多数是感性负载，这些负载在消耗电能的同时也在储存电能，即这些负载同时在从电源中吸收有功功率和无功功率，但其吸收的无功功率又用户是不需要的。下面来分析一下负载吸收的无功功率对于整个电路的影响，从而了解提高功率因数的意义。如图6-27所示，（a）、（b）两图中电源能供出的最大视在功率均为，现在（a）（b）两图中分别接入的白炽灯和日光灯，其中白炽灯可以当成纯电阻性质的负载，而日光灯为感性负载，其功率因数为。现在来分

43、析一下（a）（b）两图中可以各接入相应的负载多少个。 （a） （b）图6-27 白炽灯和日光灯电路设图（a）中可接入个白炽灯。由于接入的负载都是纯电阻负载，所以整个负载端不吸收无功功率，即。整个负载端吸收的视在功率，因为不得超过电源能供出的视在功率，故，即 （6-22）解得，故图（a）中最多还可接入个的白炽灯。设图（b）中可接入个日光灯。由于每个日光灯的功率因数，所以每个日光灯吸收的感性无功功率为。整个负载端吸收的视在功率为由可得 （6-23）解出，故图（b）中最多还可接入个的日光灯。可见，。同为的照明器件，同样的电源，为什么图（b）中能接入的负载少一些呢？比较式（6-22）和式（6-23）很

44、容易看出其原因是因为式（6-23）中多了这一部分。电源所能供出的最大视在功率是一定的，根据可见在负载吸收的无功功率越大（即电源供出的无功功率越多），电源能供出的有功功率就越少。从上面的分析中可以看出，无论是感性无功功率（）还是容性无功功率（），对电路的影响都是不利的。所以应设法在保证有功功率不变的情况下，尽量减小电路中的无功功率的绝对值。理想情况是。根据功率因数的定义可知当不变时，减少电路中，会增大。所以提高电路的功率因数，实际上就是要减小电路中的。理想情况是。2. 提高功率因数的方法怎样才能保证在不变的情况下减小电路中的呢？这就要考虑到电感和电容元件各自的无功功率的特点了。因为感性无功功率恒

45、为正，容性无功功率恒为负，所以可以通过在感性电路中并联电容或在容性电路中并联电感的方法来减小。之所以采用并联的方式，是因为并联不会改变其它负载上的电压，从而保证其它负载的不变。在日常生活中，绝大多数的负载都是感性的，所以整个电路对外也呈现出感性（），故需要通过并联电容的方式来减小。电力变压器二次侧并联的电容及普通家庭中使用的节能器就是根据上述原理来减小电路中的无功功率的。6.3.5 复功率由前述知识可知，正弦稳态电路中的、和之间满足如下关系式， （6-24）考虑到复数亦满足， （6-25）比较式（6-24）和（6-25），可以看出、和之间的关系和复数的代数式和极坐标式之间的关系是相同的。所以定

46、义：以有功功率为实部、为虚部构成的复数就称为复功率，用表示，单位为伏安（）。即复功率并不是正弦稳态电路中定义的一种新的功率，而是一个辅助计算功率的复数。由复功率的定义可以看出，一旦能够计算出某一端口网络吸收（供出）的复功率，就相当于同时计算出了、和这四个量。下面就来讨论一下复功率的计算方法。 根据复功率的定义可知 （6-26）其中为的共轭复数。可见，一旦知道了某一端口网络的端电压相量和端电流相量，就可以根据式（6-26）计算出该一端口网络的复功率，然后根据的定义即可求出该一端口网络的、和这四个量。单个阻抗上的复功率也可以使用下面的方法计算利用复功率进行计算的另一个优点是复功率是守恒的。可以证明

47、（证明从略）即一个网络吸收（供出）的复功率等于各元件吸收（供出）的复功率之和。6.3.6 最大功率传输正弦稳态电路中的最大功率，指的是最大有功功率。在通信和电子电路中，当不计较传输效率时，常常要研究负载获得最大功率的条件。如图6-29（a）所示，为含源一端口网络，为可调阻抗，最大功率传输问题要研究的是当取何值时，其上可获得最大的有功功率。 (a) （b）图6-29 最大功率传输根据戴维南定理，可以等效变换为一个有伴电压源的模型，如图6-29（b）所示。下面结合图6-29（b）来分析这一最大功率传输问题。设，则负载吸收的有功功率为取最大值的条件是解得, 即有为的共轭复数。此时负载上获得的最大功率为上述获得最大功率的条件称为最佳匹配或共轭匹配。§6.4 谐振电路6.4.1 谐振的概念如图6-30所示，为一端口无源网络，同时含有电容和电感元件，若端电压和端电流同相，就称网络产生了谐振。图6-30 无源一端口6.4.2 谐振产生的条件图6-30所示的无源一端口网络可以等效为一个阻抗。当产生谐振时，由于端电压和端电流同相，所以必对外表现出电阻的性质，故谐振产生的条件就是要求是一个电阻，即