《椭圆与其标准方程》课件

1、第三章第三章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。 古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的高的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线1 。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。公元公元1609年德国天文学家开普勒发现

2、许多天体的运动轨迹是椭圆。年德国天文学家开普勒发现许多天体的运动轨迹是椭圆。生生活活中中的的椭椭圆圆生活中的椭圆生活中的椭圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？这些椭圆形的物件呢？ 1.如果将圆的定义中的一个定点变成两个如果将圆的定义中的一个定点变成两个定定 点点, 即：即： 动点到动点到定点定点距离为定长距离为定长 变成变成 动点到动点到两定点两定点的距离之和为定长的距离之和为定长.那么，这些动点将会形成什么样那么，这些动点将会形成什么样 的曲线呢？的曲线呢？ 2.动手作图工 具： 纸板、细绳、图钉作 法： 1.用图钉把准备好的细绳

3、两端固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上， 2. 然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么样的一条曲线动画演示 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1、F F2 2的距离之和等的距离之和等于常数（于常数（大于大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的集合叫椭圆。）的点的集合叫椭圆。两个定点两个定点F F1 1、F F2 2称为焦点，两焦点之间的距称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为离称为焦距，记为2 2c c。若设。若设M M为椭圆上的为椭圆上的任意一点，则任意一点，则|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2|=2a注：定义中对定义中对“常数常数”加上了

4、一个条件，即常加上了一个条件，即常数要数要大于大于|F|F1 1F F2 2| | (2a2c,ac0)(2a2c,ac0)注:这样规定是为了避免出现轨迹为一条线段或无这样规定是为了避免出现轨迹为一条线段或无任何轨迹两种特殊情况，这一点非常重要。任何轨迹两种特殊情况，这一点非常重要。F1F2M例1、填空：(1)已知到椭圆的两焦点的距离之和为常数2a若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_F1F2CD练习化化 简简列列 式式设设 点点建建 系系F1F2xy 以以F1、F2 所在直线为所在直线为 x 轴，线段轴，线段 F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系

5、P( x , y )设设 P( x，y )是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点设设|F1F2|=2c，则有，则有F1(-c，0)、F2(c，0)- , 0c , 0cF1F2xyP( x , y )- , 0c , 0c 椭圆上的点满足椭圆上的点满足|PF1 | + | PF2 |为定值，设为为定值，设为2a，则，则2a2c221|=+PFxcy222|=-+PFx cy则：则：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac设设222-=

6、 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababO方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是椭圆的是椭圆的标准标准方程方程xyOF1F2P焦点为：焦点为：F1( -c , 0 )、F2( c , 0 ) 若以若以F1，F2所在的直线为所在的直线为y轴，轴，线段线段 F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为x 轴建立轴建立直角坐标系，推导出的方程又是怎直角坐标系，推导出的方程又是怎样的呢？样的呢？方程方程: :2222+= 1 0 xyabba也是椭圆的也是椭圆的标准标准方程方程焦点为：焦点为：F1( 0 , -c )、F2( 0 , c )注注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦：椭圆的

7、焦点在坐标轴上，且两焦 点的中点为坐标原点点的中点为坐标原点.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay3、椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在

8、的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。哪一个轴上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的集合）的点的集合12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断4.根据所学知识完成下表根据所学知识完成下表xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO2222

9、1.153xy ，则则a ，b ；22222.146xy ，223.194xy ，则则a ，b ；则则a ，b ；则则a ，b 224.137xy ，53463237变式练习题（一）变式练习题（二）：判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标1162522yx答：在答：在 X 轴上轴上,（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 轴上轴上,（0，-5）和（）和（0，5）62322 yx答：在答：在y 轴上轴上,（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：x x2 2与与y y2 2的分母哪一个大，则焦点

10、在哪一个轴上。的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。变式练习题（三）变式练习题（三）求满足下列条件的椭圆的标准方程：求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足）满足a=4,b=1，焦点在，焦点在X轴上的椭圆轴上的椭圆的标准方程为的标准方程为_ （2）满足）满足a=4,c= ，焦点在，焦点在Y轴上的椭圆轴上的椭圆的标准方程为的标准方程为_1511622 yx11622 xy例例2：已知：已知a4，b3，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程解：解： 当焦点在当焦点在 x 轴上的标准方程为轴上的标准方程为221169xy当焦点在当焦点在 y 轴上的标准方程为轴上的标准方程为221916xy例题讲析154

11、22yx已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_，焦距等于_;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_21(0,-1)、(0,1)252 532 52xyF1 1F2 2PO求椭圆的标准方程需求几个量？求椭圆的标准方程需求几个量？答：答：两个；两个；a、b 或或 a、c 或或 b、c；且满足；且满足 a2 = b2 + c2“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专有名词，就是指上述的是个专有名词，就是指上述的两个方程，形式是固定的两个方程，形式是固定的在在Ax2+By2=C中中，A、B、C满足什么条件满足什么条件，就就表

12、示椭圆？表示椭圆？答：当答：当A、B、C 同号，且同号，且 A不等于不等于B 时表示椭圆时表示椭圆1222222222222 2101MFMFaxyxabababcxyyba定义式定义焦点在 轴上椭圆标准方程焦点在 轴上Ax2+By2=C中，中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？满足什么条件，就表示椭圆？答：当答：当A、B、C 同号，且同号，且 A不等于不等于B 时表示椭圆时表示椭圆课后习题课后习题2.2 p68 1、2yxO),(yxPr设圆上任意一点设圆上任意一点P(x，y) 以圆心以圆心O为原点，建立直角坐标系为原点，建立直角坐标系 rOP ryx 22两边平方，得两边平方，得 222ryx1.1.建系建系2.2.设坐标设坐标3.3.列等式列等式4.4.化简方程化简方程yxO)