高中数学数列知识点总结

1、数 列 基 础 知占J w1 .等差数列的定义与性质定义：an 1 an d (d为常数)，anai等差中项：x, A, y成等差数列2A前n项和Sna1 an n2n n 1na1 2性质：an是等差数列则 amanapaq；(2)数列 a2n 1 , a2na2n 1仍为等差数列,Sn,S2nSn, S3nS2n仍为等差数列，公差为n2d ；(3)若三个成等差数列，可设为a d, a,(4)若an, bn是等差数列，且前n项和分别为Sn, Tn,则合S2m 1T2m1(5)an为等差数列Sn an2 bn(a, b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)项,Sn的最值可求二次函数Sn an

2、2bn的最值；或者求出 an中的正、负分界即：当ai0, d 0 ,解不等式组a°0n 可得Sn达到最大值时的n值.an 10an当 a10, d 0,由an 10 一可得Sn达到取小值时的n值.0(6)项数为偶数2n的等差数列an有S偶 S奇 nd , 基 -anS 偶an 1S2n1(2n 1)an(an 为中间项),eoc S nSgfS(禺an ?S禺n 12 .等比数列的定义与性质定义：垢anq (q为常数，q0)n 1aq等比中项:X、G、y成等比数列xy，或 G xy前n项和:Snn&(q 1)na1 1 q(q 1)性质：a是等比数列(1)若 m n p q

3、,贝U am anap- aq(2) Sn, S2nSn, S3n52n仍为等比数列，公比为qn.注意：由Sn求an时应注意什么?n 1 时，a1S1；n 2 时，anSnSn 13 .求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法1115,求 an如：数歹II an ，a1 a a2 - an 2n2222n1解 n 1 时，a1 2 15,. a1 14 2111cn 2 时，-a1-ya2 2"口 1 2n222一得:217 a02 , 12n 1,一414(n2n 1(n1)2)5练习数列an酒足Sn Sn 1 -201, 44 ,求2口3注意到an 1Sn1Sn,代入得S4 又

4、S 4, /.Sn是等比数列，Sn4nsn 2 时，an Sn Sn 1 34n1(2)叠乘法如：数列an中，ai 3,曳1 。，求anan n 1q a2 a3an12 n 1 an 13解 上 ， 又a 3, ； an a1a2an 1 2 3 na1nn(3)等差型递推公式由an an 1 f(n), a a。，求an ,用迭加法a2 a1f (2)a3 a2f (3) 一一 ，n 2时，两边相加得an a1f(2) f (3) f(n)an an 1 f (n)23n1ana。 f(2) f (3)f(n)练习数列 an 中，a11,an3n1an1n 2 ,求an(an(4)等比型递

5、推公式ancan 1 d ( c、d 为常数，c 0, c 1, d 0)可转化为等比数列，设anx c an 1 xan can 11 _12 an令(c 1)x d , x,an 是首项为a1工，c为公比的等比数列 c 1c 1c 1a1(5)倒数法如：a11, an 1上包一,求anan 2由已知得:1an 1an 22an111an 1 an2(附:公式法、利用an4(n 1)Sn Sn1(n 2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an 1pan q 或 an 1pan f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳-为等差数列，1 1 ,公差为工，11 n 1.1 1 n 1 ,

6、anai2 an2 2n 1x法、换元法4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项如：an是公差为d的等差数列，求k 1 akak 1解：由一1ak ak1 1d akak 1k 1 akak 1 k 1 d1akak 1a211a2a311anan 1练习求和：1(2)错位相减法Sn若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn (差比数列)前n项和，可由qSn,求Sn,其中q为bn的公比.如：Sn 1 2x 3x2 4x3n 1 nxx- Sn x 2x2 3x3 4x4n nx一 1 x Sn 1 x x2n nxr1 xnnxnI

7、n n 1x 1 时，Sn 2 ，x 1 时，Sn 1 2 3 n 1 x 1 x2(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.a2Snanan 1an 1a?an相加2Snaana2an 1a an2练习已知f(x)则1 x2212-2由 f (x) f 14 X 2 j -2 1x 1 x 11 x 1 x1 x1原式 f(1)f(2) f 51f(3) f -31f(4) f 411111322(附：a川倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相

8、加法。 我们在学知识时，不但要知其果，更要索具因，知识的得出过程是知识的源头，也是 研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n项和公式的推导，用的就是 倒序相加 法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进 行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这 个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项， 从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形 式。即若在数列an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公 比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n项和。e川迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条 件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加 到一起，经过整理，可求出 an ,从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数