高中数学《直线与平面垂直的判定》导学案

1、数学必修2S研方与a画 A=l.La第三章立体几何初步DIYIZHANG6垂直关系II 6.1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定 定理.3 ,会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.课前自主学习【主干自填】1 .直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的蚂蒯一条直线都垂直,那么称这条直线和这 个平面垂直.2 .直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和 一个平面内的两 条的相交直线都 垂直，则该直线与 此平面垂直【即时小测】1 .思考下列问题(1)旗杆A8与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线BiC

2、i的位置关系是什 么？提示：异面垂直.(2)如果平面外一条直线/与平面a的两条相交直线垂直，那么/与a的位置关系是什么？提示：垂直.2 .下列说法中正确的是（）A.如果直线/与平面a内的无数条直线垂直，贝打J_aB.如果直线/与平面a内的一条直线垂直，则/_LaC.如果直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线D.如果直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直提示：D如图所示,直线/与a内的无数条直线垂直.但/与a斜交，故A不正确；同理B也不 正确；同样由图,1不垂直于a ,但a内有与/垂直的直线，且这样的直线有无数 条，故C不正确，D正确.3.已知?，是两条不同的直线，a,夕

3、是两个不同的平面，则下列说法中正 确的是（）A.若】a, a,则 ?B.若加a, 夕，则a/C.若】，则_LaD.若】a, a_L夕，则?_1_4提示：C选项A中的可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误； 选项B中的a与夕可以平行,也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂 直的重要结论，故C正确；选项D中的，与力的位置关系可以是平行、相交、 在夕内，故D错误.4.如果一条直线垂直于三角形的两边，梯形的两边，圆的两条直径，正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是（）A.B.C.D.提示：A由直线与平面垂直的判定定理可知，能保证该直线与平面垂 直,不能.因为梯形和正六边形中有

4、平行的两条边.课堂互动探究证明线面垂直例1如图，正方体ABC。一A/CQi的棱长为1.求证：(1)4C_L平面囱。&(2)8。平面4C5.证明 ,方8平面48co , S.AC 平面A8CO ,-BB .LAC.又AC_L8O , BDHBBi=B ,.AC,平面 BQiOA由(1)知 AC_L平面 BiOQB , BDi 平面 BiDiDB ,.ACBDi.二川。平面4囱94 , AB 平面A1818A , /-AD A-AB.又.AiB_LAB| 且 Ai8GAiOi=4 ,AB J_平面4。出.：BD 平面 AiOiS r ：.BDAB t又/CGA8|=A f.,皿 J_平面AC8i.

5、类题通法线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线 与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形寻找隐含条件.变式训练1如图，RtZA8C所在平面外一点S,且SA=S8=SC,点。为 斜边AC的中点.(1)求证：SO_L平面A8C；(2)若 48=8。，求证：8。_L平面 SAC证明(y. SA=SC ,。为 AC 的中点,.SDJ.AC.在 R348C 中,AD = DC = BD.又 SA = SB,ADS2BDS. .SDLBD.又 ACCBD = D , .SO_L平面 ABC(2. BA =BC , D 为 AC 的中点,. .BDAC.又由知S

6、D_L平面ABC,：BD 平面 ABC , :.SDBD.ACG SD = D.8O 平面 SAC.证明线线垂直例2如图，已知四棱锥S48CD中A8CO为矩形，SA_L平面ABC。，AE _LS8于点石，EFLSC于点F.(1)求证：AFSC；若平面AE/交S。于点G,求证：AGLSD.证明 平面A8CO , BC 平面A8C。，.SA_LBC.四边形 48CO 为矢巨形 z ：.ABBC.又.,GA8 = A ,.在，平面 SA8.：.BCAE.5LSBAE , 8CGSB = B , . .4E_L平面 SBC又SC 平面 SBC , :.AESC.X EFSC , E尸GAE= E ,

7、.SC_L平面 AEF：AF WAEF , :.AFSC.(2):SA_L 平面 ABC。, ：.SADC.又 ADLDC , AOA”=A , .QC_L 平面 SAD又 AG 平面 SAD , . .DCAG.又由有SC_L平面AEF , AG 平面AEF ,. .SCAG.SCDDC=C , :.AGW-SDC.:SD 平面 SDC , :.AGSD.类题通法线线垂直的证明方法(1)由线面垂直的定义,即ia , a a=/_L.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角 线互相垂直、勾股定理等.变式训练2如图，在空间四边形A8CO中，AB=AD, CB=CD,

8、求证: ACBD.证明取BD中点为E ,连接AE , CE.：AB = AD 1 .AEBD.又CB = CD , :.CEBD.而AEACE=E , 8。，平面人石。.又71C 平面4EC ,.ACBD.线面垂直判定的综合应用例 3 三棱锥 P-A8C 中，PO_L平面 ABC, PALBC, PB_LAC求证:(1)0是AABC的垂心；(2)PCAB.证明连接04,08.,.PO_L平面ABC, .PO_L8C.又力_L8C , POQPA = P ,.BC_L平面 PAO.又AO 平面布O,:.BCAO ,即O在必8。的BC边的高线上.同理，由PBAC可得O在4 ABC的AC边的高线上.

9、：.O是&A8C的垂心.连接OC ,曲1问知OCAB.又由尸。_L平面ABC得POAB，又OCA尸。=O ,.A8_L平面 PCO又 PC 平面 PCO , ：.ABPC.类题通法数学必修2S根据直线和平面垂直的定义,可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面 垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直.本题的证明过程体现了线线垂直与 线面垂直的相互转化.变式训练3已知点尸是/18c所在平面外一点，且勿= PB = PC,则点尸 在平面ABC上的射影一定是A8C的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心答案B解析如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O ,连接OA , OB , 0c所以PO_L平

10、面ABC.PA = PB = PC , OP = OP = OP ,且NPOA =OB = 4Poe = 90 ,所以二ABPO=/CPO ,所以以公尸8。空APCO ,所以AO = BO = CO即点O至lj三角 形三个顶点的距离相等,所以点O为的外心.培优部落易错点 运用线面垂直的判定定理时忽略条件典例在长方体中，底面48C。是正方形，O为ABCD 的中心，试判断与平面A8C。是否垂直？错解如下图，连接8。，（:设4008。=。，连接 081.*：AB=BC, ：. OBA.AC.乂 AC 平面 48c。，OBi_L平面A8CD错因分析错解在运用线面垂直的判定定理时忽略了该定理的使用条件,

11、 从而致错.正解在长方体A8CO中，88i_L平面48CD,：OBGBBi=Bi，：OBi不垂直于平面ABCD.课堂小结直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；利用下面两个结论：若。,a-La ,则_La ；若南1夕，aJLa ,则|随堂巩固训练|1 .下列说法中正确的个数是()若直线/与平面a内一条直线垂直，则/J_a；若直线/与平面a内两条直线垂直，则/_LB若直线/与平面G内两条相交直线垂直，则/_La；若直线/与平面a内任意一条直线垂直，则/_La；若直线/与平面a内无数条直线垂直，则/_La.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案B解析 对

12、，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可 能斜交，也可能在平面内，所以是错误的.正确的是，故选B.2 .已知直线7, 是异面直线，则过直线且与直线7垂直的平面()数学必修2SA.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析 若异面直线m, n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.3 .以垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于4, 8的任一点， 则下列关系不正确的是（）A. PALBC B. 8C_L平面以CC. ACA.PB D. PCA.BC答案C解析 由已知得以_L平面ABC ,所以PABC ,即选项A正确；又由已知 ACBC ,且AC与勿交于点A

13、，得BC_L平面布C, iSffo BCPC ,即选项B、 D正确；以_L平面ABC ,可证得阴_LAC，若，得AC_L平面PABAC AB ,与已知矛盾，所以选项C不正确，故选C.4.设/、机为不同的直线，a为平面，且/_La ,下列说法错误的是（）A.若则1/ B.若?则C.若6a,则】_!_/ D.若?/,则l_La答案B解析A中，若/_La , ma ,则Ml/ ,所以A正确；B中，若/_La , ml , 则川la或m a ,所以B错误；C中，若/_La , ma ,则ml ,所以C正确； 若la , m II / ,则ma ,所以D正确.课后课时精练窗 时间：25分钟1 .已知直线

14、“，平面a少，_La,则b与小的位置关系是（）A. b邛B. b/pC. b BD. b 或 b/邛答案A解析 .a-La , ab , .b.La.又all夕,:.b/3.2 .在正方体ABC。-481Goi中，与Ad垂直的平面是（）A.平面。OCCB.平面AQC81C.平面 481GolD.平面 408答案B解析 连接4。、89,由48。-48。0为正方体可知，4。1_14囱,ADi_LAi。.故 A。平面 Ai。8.3 .过两点与一个已知平面垂直的平面（）A.有且只有一个B.有无数个C.有一个或无数个D.可能不存在答案C解析 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连

15、线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直.4 .如下图，在正方形48CO中，E、尸分别为边8C, CO的中点，H是EF 的中点，现沿AE、AF.即把这个正方形折成一个儿何体，使8、C、D三点、重 合于点G,则下列结论中成立的是（）A. AG_L平面 ER7B. A”_L平面 EFGC. GfL平面 AE/D. G_L平面 AE/7答案A解析 :AGGF , AGGE , GFDGE=G.,.AGW-EFG.5.如图所示，8c是RtZXABC的斜边，布_L平面48C, PO_L8C于点。，则 图中直角三角形的个数是（）A. 8 B. 7C. 6 D. 5答案A解析 易知 PAAC , P

16、AAD , PAAB , BCAD , BClPD , AC_LAB.图中 的直角三角形分别为勿C , PAD , PAB , ADC , &ADB , PCD , DB , MBC , 共8个，故选A.6 .如下图，点4、CGa,点、BG,且BA_La, CB邛,那么直线 /与直线AC的关系是（）A.异面B.平行C.垂直 D.不确定答案C解析,. BAa , aC/3 = l ,.BAl ,同理 C8_U ,而 BAGCB = B ,_L平面 ABC ,而 AC 平面 ABC ,/LAC故选C.7 .设O为平行四边形A8CO对角线的交点，P为平面A8CO外一点，且布=PC, P8=P。，则尸

17、。与平面A8CO的位置关系是.答案垂直解析 PA = PC t PB = PD t 知 PO_LAC, POBD.ACHBD = O ,故尸。8 .如图所示，在正方体48coAiBiGDi中，O是底面48C。的中心，M,N分别是棱。，UG的中点，则平面ABC,平面ACGAi,平面0cM 平面4G。中，与直线OM垂直的是.答案 平面43C,平面4ao解析 因为ACJ_平面,所以4CJ_OM ,同理可证SCLOM ,ACnBC=C t所以平面ABC ；同理，OMJ_平面4GD9 .如图，已知空间四边形A3CO的边8C=AC, AD=BD, BE上CD于E,A/71.8E 于，求证：4！.平面 BC

18、D证明取,钻的中点八连接b,OF.:AC = BC , . .CFAB.5iAD = BD , :.DFAB., CFQDF=F , :.ABW- CDF.又 CD 平面 CDF , :.ABCD.又 CDLBE , ABCBE=B ,.CO_L 平面又 AH 平面 ABE , :.CDAH.又 AHBE ,且 BEC CD = E ,.A_L平面 BCD.10 .如图，在四棱锥尸一48C。中，R1_L底面 48CO, AB.LAD, ACCD, NA8C=60。，PA=AB=BC,石是 PC 的中点.求证：(1)C)_LAE：(2)PO_L 平面 48E.证明在四棱锥P-ABCD中， .勿_