高一数学典型例题分析一元二次不等式解法.doc

1、一元二次不等式解法典型例题能力素质1 ，一一例1若0<a< 1,则不等式(x a)(x )< 0的解是a.1A . a< x< 一 a_1B. - <x<a aC.D.、1- /x> 一或x< aax< 一 或x>a a分析, 1 , ，一，一比较a与-的大小后写出答案.a11斛 0< a< 1, - a< _ ,斛应当在 两根之间 ，传 a<x< 一.aa选A.例2 qx2 x 6有意义,则x的取值范围是分析 求算术根，被开方数必须是非负数.解 据题意有，x2-x- 6>0,即(x 3)(x

2、 + 2) >0,解在"两根之外"，所以x >3 或 xw 2.例 3 若 ax2+bx1V0 的解集为x| 1vxv2,则 a=, b =分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1和2是方程ax2+bx 1 = 0的两个根，考虑韦达定理.解 根据题意，一1, 2应为方程ax2+bx1 = 0的两根，则由韦达定理知ba1a(1) 2 1得(1)X 22例4解下列不等式(x - 1)(3 x)<52x(2)x(x +11)>3(x + 1)2(3)(2x +1)(x -3) >3(x2+2)23 23x2 3x 1>-x22.1 /.、(5)

3、x x 1> 3x(x1)分析将不等式适当化简变为ax2+bx + c>0(< 0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答(1)x|x<2 或 x>43(2)x|1<x<2(4)R R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.一一,1，例5不等式1 + x>的解集为 1 xA. x|x >0B. x|x >1C. x|x > 1D. x|x >1或* =0 分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.1解不等式化为1 + x- >0,1 x x2E x2通分得->0,

4、即>0,1 xx 1,. x2>0,x- 1>0,即 x>1 ,选 C.说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.x 3例6与不等式 一3 >0同解的不等式是2 xA. (x 3)(2 -x) >0B. 0<x-2< 1C.2 x >0x 3D. (x 3)(2 -x)<0解法一 原不等式的同解不等式组为(x 3)(2 x)>0, x 2金0.故排除A、C、D,选B.解法>0化为 x= 3或(x 3)(2 x) >0即2<*03两边同减去2得0vx2W 1 .选B.说明：注意“零”点击思维 ax例7不等式

5、< 1的解为x|x < 1或x> 2,则a的值为 x 1.1A . a< -2-1C - a= 一2_1B. a> 2_1D a=-2分析 可以先将不等式整理为(a "x 1<0,转化为x 1(a 1)x + 1(x -1)<0,根据其解集为x|x <1 或 x>21-1可知 a 1 < 0,即 a< 1,且-=2 , - a=.a 12答选C.说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧. 3x 7例8解不等式 23x 7>2.x 2x 3解先将原不等式转化为3x 7-2>0x 2x 3222x x 12xx

6、1即1 >0,所以 W0.x2 2x 3x2 2x 3 o1 o由于 2x2 + x+1 = 2(x+ -)2 +一 0,，不等式进一步转化为同解不等式x2+ 2x-3<0,即(x+3)(x - 1) < 0,解之得一3vxv1.解集为x| -3<x< 1.说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题.例 9 已知集合 A= x|x 25x+4W0与 B=x|x 2-2ax+a+2W 0,若B A ,求a的范围.V图ITE分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合b a,利用数形结合，建立关于 a勺不等式.解易得 A= x|1 Wx

7、W4设 y = x2 2ax + a+ 2(*)(1)若8=,则显然B A,由< 0得4a24(a+2) v 0,解彳导1<a<2.(2)若Bw ,则抛物线(*)的图像必须具有图116特征:应有x|x 1< x< x2x|1 <x< 4从而12 2a 1 + a+2)02_,、一4 2a . 4 + a+ 2 ) 0解得 12 0 a& 2a1< -< 42综上所述得a的范围为-说明：例10分析解1二次函数问题可以借助它的图像求解.解关于x的不等式(x - 2)(ax -2) >0.不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论

8、.0当a=0时，原不等式化为x2V0 其解集为x|x2;0, 一， ，一 2 一一 2一2当a<0时，由于2> 一，原不等式化为(x-2)(x-)<0,其解aa集为一2x| 一 < x< 2;a一，一 2 一 2一3当0<a< 1时，因2<-，原不等式化为(x-2)(x-)>0,其解aa集为2-；2 a；x|x < 2或x>40当a=1时，原不等式化为(x 2)2>0,其解集是x|x W2;. 一 ，一 225 当a>1时，由于2> ,原不等式化为(x-2)(x-)>0,其解 aa集是x|x < 一

9、或x> 2. a从而可以写出不等式的解集为：a=0 时,x|x2;a< 0时，x| < x< 2;a0<a< 1时,x|x < 2或x>a= 1 时，x|x w2；2 > 一a> 1时,x|x<一或x>2. a说明：讨论时分类要合理，不添不漏.学科渗透例 11 若不等式 ax2 + bx+ c>0 的解集为x| a < x< 3 (0 < a < 3 )，求 cx2 + bx + a<0的解集.分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质 上是用根来构造的，这就使

10、“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑 使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知 a<0,根据韦达定理知：b一- = (a + B )<0,即aCc -=a , P > 0.a a<0, b>0, c<0.1丁),bc,c由一 = aa对 cx2 + bx + a< 0 化为 x2 +11ba11由得 一，一是x2+2x+号=0两个根且 一> >0, 0cBc c0cBc ba1,、1x2+ x+ - > 0即 cx2+ bx+ a< 0的解集为x|x > 一 或x< .c c0cB解法二 .1 cx2+

11、bx+ a= 0是ax2+ bx+ a= 0的倒数方程.且 ax2 + bx + c> 0 解为 x a x< 3 ,1 ,、1 - cx2 +bx +a< 0的解集为x|x >或 x< 一. a0说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维.x例12解关于x的不等式： <1 a(aGR). x 1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论.解 原不等式变为 一x(1-a)<0,即ax一a < 0, x 1x 1进一步化为(ax + 1 a)(x 1) < 0.(1)当a>0时，不等式化为(x- a-)(x-1)<0,易见a<1,所以

12、不等式解集为x=<x aaa< 1；(2)a =0时，不等式化为x-K0,即xv1,所以不等式解集为x|x1;a 1a 1(3)a<0时，不等式化为(x-)(x1)>0,易见 >1,所以 aaa 1不等式解集为 仅囚<1或*>. a综上所述，原不等式解集为：当 a> 0时，x|a"<x<1;当 a=0时，x|x<1;当 a<0时，x|x > aa 15、或x<1 .高考巡礼例13 (2001 年全国高考题)不等式|x 23x| >4的解集是 .分析可转化为(1)x 23x>4或(2)x 23xv 4两个一元二次不等式.由(1)可解得x< 1或x>4, (2).答填x|x V1 或 x>4.例 14 (1998 年上海高考题)设全集 U= R, A= x|x 2-5x-6>0 , B= x|x 5| <a(a是常数)，且11 C B,则A. (CuA)HB= RB. AU (CuB) = RC (CuA)U(CuB) = RD. AU B= R分析 由x2 5