川省高考数学试卷理科含解析版(20211012001429)

1、2021年四川省高考数学试卷理科、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每题给处的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 5分集合A=x|x2-x-2b0, cvdv0,那么一定有C. 2D. 3C. 240 种D. 288 种那么不同的排法共有A. 192 种B. 216 种7. (5 分)平面向量 a= (1, 2), b = (4, 2), c=m+b (m R),且亡与3的夹角等于与的夹角，那么m=A.- 2B.- 1C. 1D. 28. 5分如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CG上，直线OP与平面A1BD所成的角为a那

2、么sin 的取值范围是A. _；，1 B. ，1 C:，J D. ，19. 5分 f x =ln 1+x- ln 1 -x，x - 1，1.现有以下命题： f - x =- f x; f =2f x1+x2 |f x | 2| x|其中的所有正确命题的序号是A.B.CD.10. 5分F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两 侧，.?七=2 其中O为坐标原点，那么 ABO与厶AFO面积之和的最小值是A. 2B. 3C.1TV2、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11. 5分复数12. 5分设f x是定义在R上的周期为2的函数，当x - 1，1时，f(x)=卜4/十2

3、,- W13. (5分)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B, C的俯角分别为6730此时气球的高是46m，贝U河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67 , cos67, sin 37 , cos37,: 0h r.言 -C14. (5分)设m R,过定点A的动直线x+my=O和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P (x, y).那么| PA ?| PB|的最大值是.15. (5分)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数 (x)组成的集合：对于函数 (x),存在一个正数M，使得函数 (x)的值域包含于区间-M , M.例如，

4、当 1 (x)=疋，2 (x) =sinx时，1 (x) A, 2 (x) B.现有如下命题： 设函数f (x)的定义域为D,那么(x) A的充要条件是?b R, ?a D, f (a)I=b ; 函数f (x) B的充要条件是f (x)有最大值和最小值； 假设函数f (x) , g (x)的定义域相同，且f (x) A, g (x) B,贝U f (x) +g(x) ?B. 假设函数 f (x) =aln (x+2) + .：(x- 2, a R)有最大值，那么 f (x) B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演

5、算步骤.16. (12分)函数f (x) =sin (3x)(1) 求f (x)的单调递增区间；(2) 假设 a 是第二象限角，f (2) cos ( a) cos2 a 求 cos a- sin o的值.35417. (12分)一款击鼓小游戏的规那么如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓 要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐 获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现 音乐那么扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为丄，且2各次击鼓出现音乐相互独立.(1) 设每盘游戏获得的分数为 X,求X的分布列；(2) 玩三盘游

6、戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3) 玩过这款游戏的许多人都发现.假设干盘游戏后，与最初分数相比，分数没 有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18. (12分)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如下图，设 M， N分别为线 段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN丄NP.(1)证明：P是线段BC的中点;(2)求二面角A- NP-M的余弦值.t1俯观團侧视團19. (12分)设等差数列an的公差为d，点(an, bn)在函数f (x) =2x的图象 上( n N*).(1) 假设ai=- 2,点(a8, 4b7)在函数f (x)的图象上，求数列an的前n项和

7、 sn；(2) 假设ai=1，函数f (x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为21ln2，求数列二丄bn的前n项和Tn.20. (13分)椭圆C:+ =1 (a b 0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=- 3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. 证明：OT平分线段PQ (其中O为坐标原点); 当最小时，求点T的坐标.21. (14分)函数f (x) =ex- ax2-bx- 1，其中a, b R, e=为自然对数 的底数(1) 设g (x)是函数f(X)的导函数，求函数g

8、(X)在区间0, 1上的最小值;(2) 假设f (1)=0,函数f (x)在区间(0,1 )内有零点，求a的取值范围.2021 年四川省高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分在每题给处的四个 选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1. 5分集合A=x|x2-x-2 0，集合B为整数集，那么AH B=A. - 1 , 0, 1, 2B. - 2,- 1, 0, 1C. 0, 1D. - 1， 0【考点】1E:交集及其运算.【专题】 11 ：计算题.【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A=x| - K x

9、2 , B=Z AH B= - 1, 0, 1, 2.应选: A.【点评】 此题属于容易题，集合知识是高中局部的根底知识，也是根底工具，高 考中涉及到对集合的根本考查题，一般都比拟容易，且会在选择题的前几题， 考生只要够细心，一般都能拿到分.2. 5分在x 1+x 6的展开式中，含x3项的系数为A. 30B. 20C. 15D. 10【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出1+x 6的第r+1项，令x的指数为2 求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：1+x 6展开式中通项Tr+1=r乂,令 r=2 可得, T3=C62x2=15x2,

10、( 1+x) 6展开式中x2项的系数为15,在x (1+x) 6的展开式中，含x3项的系数为：15.应选：C.【点评】此题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是根底，计算准 确是关键.3. (5分)为了得到函数y=sin (2x+1)的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的 点( )A.向左平行移动寺个单位长度B.向右平行移动寺个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【考点】HJ函数y=Asin (的图象变换.【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】根据y=sin (2x+1) =sin2 (xj-)，利用函数y=Asin (x)的图象变b0，cvdv0

11、,那么一定有()【考点】R3:不等式的根本性质.【专题】59：不等式的解法及应用.【分析】禾U用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3， b=1，c=- 3，d= - 1， C不正确，D正确.解法二：cv d v 0,- c- d 0,a b 0, ac- bd,应选：D.【点评】此题考查不等式比拟大小，特值法有效，导数计算正确.5. 5分执行如下图的程序框图，假设输入的 x, y R,那么输出的S的最大A. 0B. 1C. 2D. 3【考点】7C:简单线性规划；E9:程序框图的三种根本逻辑结构的应用.【专题】【分析】5K:算法和程序框图.算法的功能是求可行域内，目标函数S=2xy的最

12、大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解:由程序框图知:的最大值，算法的功能是求可行域龙?0内，目标还是S=2xky x+y2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.B.CD.【考点】2K:命题的真假判断与应用.简易逻辑.【专题】51:函数的性质及应用；5L:分别判断三个结论的1),【分析】根据中函数的解析式，结合对数的运算性质,真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解： f (x) =ln (1+x)- ln (1 - x)，x (- 1， f (- x) =ln (1 - x)- ln (1+x) = - f (x)，即正确；=ln ()=ln (1+)-In

13、 (1 -=ln ()-In-2x4-11+x2x+2x+lx2-2k+1=ln芒)2=2ln(1+x1-x)=2ln (1+x) - In (1 - x) =2f (x)，故正确；当 x 0，1)时，| f (x) | 2| x| ?f (x)-2x0，令 g (x) =f (x)- 2x=ln (1+x)-ln (1 - x)- 2x (x 0， 1)+ 一1+k 1-k-2=10，二 g (x)在0，1)单调递增，g (x) =f (x)-2x g (0) =0,又f (x)2x,又f (x)与y=2x为奇函数，所以| f (x) | 2| x|成立，故正确； 故正确的命题有，应选：A.

14、【点评】此题以命题的真假判断为载体， 考查了对数的运算性质，代入法求函数 的解析式等知识点，难度中档.10. (5分)F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两 侧，?卡=2 (其中0为坐标原点)，那么 ABO与厶AFO面积之和的最小值是( )A. 2B. 3C. D. . I |【考点】K8:抛物线的性质.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二 次方程，再利用韦达定理及 卜，？ 1.=2消元，最后将面积之和表示出来，探求 最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A (xi，yi)，B

15、 (X2，y2)，直线AB与x轴的交点为M (m, 0),Ifx-ty+iD由 2?y2- ty - m=0，根据韦达定理有yi?y2=- m，?二=2，二 X1?x2+y1?y2=2，结合 / j =, 及丁_,一,，得飞 .I ，点A， B位于x轴的两侧，y1?y?=- 2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，那么y1 0,又Hiy,，二 5ABO+SAFOX 2 X( y1 - y2)当且仅当卷彳，即旳岭时，取“=, ABO与厶AFO面积之和的最小值是 3, 应选：B.【点评】求解此题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消 x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与 条件消元，

16、这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底 与高.3、利用根本不等式时，应注意一正，二定，三相等二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11. 5分复数亠亍=-2i .【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法那么化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数欝借游竺空=-2i，故答案为：-2i.【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法那么的应用，属于根底题.12. 5分设f x是定义在R上的周期为2的函数，当x - 1,1时，f【考点】3Q:函数的周期性.【专题】11:计算题

17、.【分析】由函数的周期性f x+2 =fx，将求f 3的值转化成求f 丄的2 2值.【解答】解：f x是定义在R上的周期为2的函数， 時二玖今二-4川-|+2=1.故答案为：1.【点评】此题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于 送分题13. 5分如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67 30此时气球的高是46m，贝U河流的宽度BC约等于 60 m.用四舍五入 法将结果精确到个位.参考数据：sin67，cos67，sin37, cos37，； 【考点】HP:正弦定理；HR余弦定理.【专题】12:应用题；58:解三角形

18、.【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在RtA ACD RtAABD 中利用三角函数的定义，算出 CD BD的长，从而可得BC,即为河流在B、C 两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，那么 RtAACD中，/ C=30, AD=46m,BCsin30?_sia37s，根据正弦定理,sin37sin30?故答案为：60m.sin67* sin30=60m.AB=-得 Bcy【点评】此题给出实际应用问题，求河流在 B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14. 5分设m R,过定点A的动直线x+my=0和过定点

19、B的动直线mx-y- m+3=0交于点P x，y.那么| PA ?| PB的最大值是 5 .【考点】IT:点到直线的距离公式.【专题】5B:直线与圆.【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即 A和B,注意到两条动直线相互垂 直的特点，那么有 PAL PB;再利用根本不等式放缩即可得出| PA?| PB的最大 值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A 0，0，动直线 mx-y- m+3=0 即 m x- 1- y+3=0,经过点定点 B 1，3，注意到动直线x+my=0和动直线mx- y- m +3=0始终垂直，P又是两条直线的交 占八、那么有 PAL PB,a | PA| 2+

20、|PB|2=| AB| 2=10.故|PA?|PB W 0A I 目理 F =5 当且仅当 |PA|=|PB 时取“=故答案为：5【点评】此题是直线和不等式的综合考查，特别是两条直线相互垂直这一特征是此题解答的突破口，从而有|PA2+|PB2是个定值，再由根本不等式求解得出直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15. (5分)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数 (x)组成的集合：对于函数 (x),存在一个正数M，使得函数 (x)的值 域包含于区间-M，M.例如，当i(x)=x3，2(x)=sinx时，i(x) A，2 (x) B.现有如下命题： 设函数

21、f (x)的定义域为D，那么(x) A的充要条件是？b R, ?a D，f (a)I=b ; 函数f (x) B的充要条件是f (x)有最大值和最小值； 假设函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，贝Uf(x)+g(x) ?B. 假设函数 f (x) =aln (x+2) + ：；(x- 2，a R)有最大值，那么 f (x) B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件；2H:全称量词和全称命题；21: 存在量词和特称命题；2K:命题的真假判断与应用；34:函数的值域.【专题】23:新定义；3A:极限思想；51:函数的性质及应

22、用；59:不等式的 解法及应用；5L:简易逻辑.【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正 确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本 题的结论.【解答】解：(1)对于命题，假设对任意的b R,都?a D使得f (a) =b，那么f (x)的值域必为R.反之，f (x)的值域为R,那么对任意的b R,都?a D 使得f (a) =b,故是真命题；(2) 对于命题，假设函数f (x) B,即存在一个正数M，使得函数f (x) 的值域包含于区间-M , M.- M f (x) M .例如：函数 f (x)满足-2vf (x)v 5,那么有-5f (x)

23、5,此时，f (x)无最大值，无最小值，故是假命题；(3) 对于命题，假设函数f (x), g (x)的定义域相同，且f (x) A, g (x) B,那么f (x)值域为R, f (x)(-x, +x),并且存在一个正数 M，使 得-M g (x)0或av0时，aln (x+2)(-x, +x), f (x)均无最大值，假设要使f,f (x) B,故是真命题.(x)有最大值，那么a=0,此时f (x) = x2+l故答案为.【点评】此题考查了函数值域的概念、根本不等式、充要条件，还考查了新定义 概念的应用和极限思想.此题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共

24、75分.解容许写出文字说明、证明过程或演 算步骤.16. (12 分)函数 f (x) =sin (3x丄).(1) 求f (x)的单调递增区间；(2) 假设 a 是第二象限角，f (2) 旦cos ( oO) cos2 a 求 cos a- sin o的值.354【考点】GP两角和与差的三角函数；H5:正弦函数的单调性.【专题】56:【分析】(1)三角函数的求值.JT2令 2k n 2k,k z,求得x的范围，可得函数的增区间.(2)由函数的解析式可得f(：)由a是第二象限角,可得 sin ( a) - _CLrr)=sin(a+)，又 f()cos2 acos () cos2 a 化简可得

25、(cos a- sin a 2.再44【解答】解：(1)：函数f (x) =sin (4 |，cos a- sin v 0，从而求得 cos a- sin a的值. 3x+ 2k24,令 2k n- x 瓦2z = 0由m- n=0，那么n=0，设 Z1=1，那么 I 一 . ；，1 - -，设 Z2=1，贝匸 I I . I ：COS.f、一n=2 _a/10n|5所以二面角A-NP-M的余弦值解题的关键是掌握【点评】此题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用,用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19. (12分)设等差数列an的公差为d，点(an, bn)在函数f (x) =2x

26、的图象 上( n N*).(1)假设ai=- 2,点(a8, 4b7)在函数f (x)的图象上，求数列an的前n项和sn；(2)假设a1=1，函数f (x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2求数列的前n项和Tn.【考点】8E:数列的求和；8I:数列与函数的综合.【专题】51:函数的性质及应用；54:等差数列与等比数列.【分析】(1)由于点(an，bn)在函数f (x) =2x的图象上，可得二2監，又等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式可得 严二二=2d.由于产占八、(a8，4b7)在函数f (x)的图象上，可得4山二2%=b8，进而得到占=4=2d，解TbT得d.再利

27、用等差数列的前n项和公式即可得出.(2)利用导数的几何意义可得函数f (x)的图象在点(a2， b2)处的切线方程， 即可解得82.进而得到an，bn.再利用 错位相减法即可得出.【解答】解：(1)V点(an，bn)在函数f (x) =2x的图象上，又等差数列an的公差为d，的图象上,宀加+亠.un2 - 3n.(2)由 f (x) =2x,A(x) =2xln2,令 y=o 可得 x= _,1 ,Ln2函数f (x)的图象在点(a2, b2)处的切线方程为 厂切二引)，又b,解得a2=2.1 7 1-d=a2 ai =2 1=1.二 an=ai+ (n 1) d=1+ (n 1 )x 仁 n

28、, bn=2n.2n+1-2-n【点评】此题综合考查了指数函数的运算性质、 导数的几何意义、等差数列与等 比数列的通项公式及其前 n项和公式等根底知识与根本技能方法，考查了推 理能力、计算能力、 错位相减法，属于难题.20. (13分)椭圆C:=1 (ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=- 3上任意一点，过F作TF的垂线交 椭圆C于点P，Q. 证明：OT平分线段PQ (其中O为坐标原点); 当一最小时，求点T的坐标.【考点】K3:椭圆的标准方程；KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】5E:圆锥曲线中的

29、最值与范围问题.【分析】第(1)问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2, b2;第(2)冋中，先设点的坐标及直线 PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公|TF|PQ|式将表示出来，由的坐标.取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点 T【解答】解：(1)依题意有a-V3bl，2-b2=c2=4解得丿2=6Lb2=2一 2所以椭圆C的标准方程为】+ =1.(2)设 T ( 3, t )，P (X1, y1), Q (X2,肋,PQ 的中点为 N (x。，y。)，证明：由F(-2, 0),可设直线PQ的方程为x=my- 2,那么PQ的斜率毗二牛.? (m2+

30、3) y2 4my 2=0,所以6m2 +8 ro2+3-2 4 m+l 04mm2+3-2m 4-32m兀-2m2+3,从而于是即N寻孩字m +3 m +3又由PQ丄TF知，直线TF的斜率丄 -如 kpq _Lm，那么直线ON的斜率聞罟,即 koT=kON,从而 .T=-=-,.iT所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ,故得证.由两点间距离公式得-1_ i： ，| PQ | = | *y! *-y 2如g后,m+3所以曲乜IP。I $2410?十 1珀 V24m2+1，|TF|m2+3令占nAlQl，那么x 2+2当且仅当x2=2时，取“二TFPQl 2V&K 26号，所以当最小时，

31、由x2=2=m2+1，得m=1或m=- 1，此时点T的坐标为-3， 1或3， 1.【点评】此题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面:1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x,得到一个关于x或y 元二次方程，利用韦达定理；3、利用根本不等式或函数的单调性探求最值问题.21. (14分)函数f (x) =ex- ax2-bx- 1，其中a, b R, e=为自然对数 的底数.(1) 设g (x)是函数f(X)的导函数，求函数g (X)在区间0, 1上的最小值；(2) 假设f (1)=0,函数f (x)在区间(0,1 )内有零点，求a的取值范围.【考点】51:函数的零点；6E:利

32、用导数研究函数的最值.【专题】53:导数的综合应用.【分析】(1)求出f (x)的导数得g (x),再求出g (x)的导数，对它进行讨论， 从而判断g ( X)的单调性，求出g (x)的最小值；(2)利用等价转换，假设函数f (x)在区间(0, 1 )内有零点，那么函数f (x)在 区间(0, 1)内至少有三个单调区间，所以 g (乂)在(0, 1)上应有两个不 同的零点.【解答】 解：T f (x) =ex- ax2- bx- 1 ,二 g (x) =f(x) =ex- 2ax- b,又 g (x) =ex- 2a, x 0, 1 , a 1 exe, 当一七二时，贝U 2a0, 函数g (x)在区间0, 1上单调递增，g (x)