导数专题三零点问题教师版

1、导数专题(三)一一零点问题(2021昌平二模理)(18)(本小题总分值13分)(零点问题)1 函数 f(x)x2 a In x(a 0).2()假设a 2,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(U)求f(x)在区间1,e上的最小值；(III )假设f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围(18)(本小题总分值13分)1解：(I ) a 2, f(x) -x2 2ln2f(x)在(1,f(1)处的切线方程为x, f '(x)2x 2y0.3分(U)由 f '(x) x ax由a 0及定义域为(0,令 f'(x)0,得xa.假设,a 1,即 0 a1,在(

2、1,e)上, f'(x) 0 ,f(x)在1,e上单调递增,因此,f(x)在区间1,e的最小值为f (1) 1.20 , f (x)单调递减；在(、a,e) 上,f'(x) 0 ,假设 1.a e,即 1 a e2,在(1,.a) 上, f '(x)f (x)单调递增，因此f(x)在区间1,e上的最小值为f(、a) 1a(1 In a).假设 a e,即a e2,在(1,e)上, f '(x)0 ,因此,f(x)在区间1,e上的最小值为f(e)综上，当0 a 1时，fmin ( x)f(x)在1,e上单调递减,1 2e a.2e2 时，fmin(x)1a(1 I

3、n a);2a e2 时，")?2 a.由(II )可知当0 a.9分1或a e2时，f (x)在(1,e)上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点当1 a e2时，要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，那么1-a(1 Ina) 0,1二 f(1) 0,21 2f (e) e a 0,2e1 2，此时, e2所以，a的取值范围为囲(2021西城期末理)18.(本小题总分值13分)(零点问题)e2). 13 分函数f(x) (x a)ex，其中e是自然对数的底数，a R .(I)求函数f(x)的单调区间;(n)当a 1时，试确定函数g(x) f(x a) x2的零点个数，并说

4、明理由.18.(本小题总分值13分)解：因为 f (x) (x a)ex , x R ,所以 f (x) (x a 1)ex .令 f (x)0 ,得 x a 1 .当X变化时，f(x)和f (x)的变化情况如下:/故f (x)的单调减区间为(，a 1);单调增区间为(a 1,(n)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点理由如下:由 g(x) f(x a)x20，得方程 xex a x2，显然x 0为此方程的一个实数解所以x 0是函数g(x)的一个零点当x 0时，方程可化简为ex a x .设函数 F(x) ex a x，那么 F (x) ex a 1， 令 F (x) 0，得 x a .当x

5、变化时，F(x)和F (x)的变化情况如下:/即F(x)的单调增区间为(a,);单调减区间为(，a).所以F (x)的最小值F(x)min F (a) 1 a. 11分因为a 1，所以 F(x)minF(a) 1 a 0，所以对于任意x R，F(x) 0，因此方程ex a x无实数解.所以当x 0时，函数g(x)不存在零点.综上，函数g(x)有且仅有一个零点. 13分(2021上学期期末丰台理)18.(本小题共13分)(图像交点、问题转化)函数f (x) x e x 1 .(I)求函数f (x)的极小值；(U)如果直线y kx 1与函数f (x)的图象无交点，求k的取值范围.18.解：(I)函

6、数的定义域为 R.因为f (x) x ex 1，所以f (x)xe 1xe令 f(X) o,贝y x o.0-0+极小值/所以当x 0时函数有极小值f(x)极小值=f(0) 0 . 6分1(U)函数 f(X)X 1-X .e当 x 0 时 f(X)0 1 飞 0, y k 0 11 ,e所以要使y kx 1与f (x)无交点，等价于f (x) kx 1恒成立.1令 g(x) x 1 - (kx 1)，即 g(x) (1 k)x ex,e所以g(x)吟口 .e 当k 1时，g(x) 2 0,满足y kx 1与f (x)无交点；e1 1 当k 1时，g(亠)(1 k)e和 e和 1 ,k 1k 1

7、1丄而0 , e1 k 1 ,1 k所以g()0，此时不满足y kx 1与f (x)无交点.k 1x 当 k 1 时，令 g (x) U1 0 ,那么 x ln(1 k),e当 x(, ln(1k)时，g (x)0,g(x)在(，ln(1k)上单调递减；当 x(ln(1 k),)时，g (x)0,g(x)在(ln(1 k),)上单调递增；当 x ln(1 k)时，g(x)min g( ln(1 k)(1 k)(1 ln(1 k).由(1 k)(1 ln(1 k)0 得 1 e k 1,即y kx 1与f (x)无交点.13综上所述 当k (1 e,1时，y kx 1与f (x)无交点.(202

8、1东城上学期期末理)(19)(本小题共14分)(零点，问题转化)x函数 f(x) a(x lnx). x(I)当a 1时，试求f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(n)当a 0时，试求f(x)的单调区间;(川)假设f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.X解：(I)当 a 1 时，f/(x) e (x2 °11， f/(1) 0， f (1) e 1 .xx方程为y e 1 .-f (x)ex(x 1)a(1ex(x 1) ax(x 1)2 ，x(ex ax)(x 1)x2.当a 0时，对于x (0,所以 f'(x) 0 x 1)，ex ax 0恒成立，f '

9、;(x)00x10.2 x所以 单调增区间为(1,)，单调减区间为(0,1)(川)假设f(x)在(0,1)内有极值，那么f'(x)在x (0,1)内有解.令 f'(x)x(eax)(x 1)x0x e20e axa.xx设 g(x)X ex (0,1),X所以g'(x)ex(x 1) 当x，1 x (0,1)时，g'(x)0恒成立,所以g(x)单调递减.又因为g(1) e，又当x 0时，g(x),即g(x)在x (0,1)上的值域为(e,),x所以当a e时，f'(x) ©ax2(x 1) 0有解.x设 H (x) ex ax，贝卩 H (x)

10、 ex a 0 x (0,1)， 所以H(x)在x (0,1)单调递减.因为 H(0)10，H(1) e a 0,所以H(x) ex ax在x (0,1)有唯一解x°.所以有:00极小值所以 当a e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a e时，当x (0,1)时，f'(x)0恒成立，f(x)单调递增，不成立.综上，a的取值范围为(e,) . 14分(2021海淀一模理)(18)(本小题总分值13分)(问题转化、零点)函数f (x) alnx丄(a 0).x(I)求函数f (x)的单调区间；(U)假设x f(x) 0 b,c(其中b c)，求a的取值范围，并说明b,c(

11、0,1).(18)(共 13 分)解: (I) f'(x) a 丄咎(x 0). 2 分x x x(i) 当a 0时，f'(x) 0,贝惬数f(x)的单调递减区间是(0,).3分(ii) 当 a 0 时，令 f'(x)0,得 x -.a当x变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表极小值/所以f (x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(丄，). 5分aa(U)由(I)知：当a 0时，函数f(x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数f(x)至多存在一个零点，不符合题意 6分当a 0时，因为 f(x)在(0,-)内是减函数，在(-,)内是增函数，所以要

12、使aa11x f (x)0 b,c，必须 f() 0，即卩 aln a 0 .aa当ae时,f(2)1 2 al n(=) a2aln a2a a (a 2ln a).aa令g(x) x2ln x(xe)，那么 g '(x)1 ? x(x e).xx当xe时,g'(x)0，所以，g(x)在e,)上是增函数.所以当ae时，g(a) a 2ln ag(e) e2 0.所以1f ( 2 a)0.9分因为1 a1 1，af(Q 0，f(1)a1 0，所以a e.7分所以f(x)在(2,1)内存在一个零点，不妨记为b，在(1,1)内存在一个零点，不妨a aa记为c. 11分因为f(x)在

13、(0,1)内是减函数，在(1,)内是增函数，aa所以x f(x) 0 b,c.综上所述，a的取值范围是(e,+ ). 12分因为 b (厶,1)，c (-,1)，a aa所以b,c(0,1). 13 分(2021海淀上学期期末)(19)(本小题总分值13分)(零点、三角函数)函数 f (x) acosx xs in x， x n .2 2(I)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(U)求集合A x| f(x) 0中元素的个数；(川)当1 a 2时，问函数f(x)有多少个极值点？(只需写出结论)(19)(共 13 分)解：(I)函数f (x)是偶函数，证明如下： 1分对于 x ,，贝y x , .2 分2 2 2 2因为 f ( x) a cos( x) xsin( x) a cosx xsinx f (x)，所以f(x)是偶函数.4分(U)当 a 0 时，因为 f (x) acosx xsinx 0 , x ,恒成立，2 2所以 集合A x| f(x) 0中元素的个数为0. 5分当 a 0 时，令 f (x) xsinx 0,由 x -,n，2 2得x 0.所以 集合A x| f (x) 0中元素的个数为1. 6分当 a 0 时，因为 f '(x)a sinx sinx xcosx (1 a)sinx xcosx 0, x (0,n