中考数学：旋转问题

1、学习必备欢迎下载中考数学：聚焦“旋转问题”旋转是新课标教材新增的内容，它是图形变换的重要手段之一，因此备受中考命题者 的青睐。图形的旋转问题已成为中考试题的一道美丽风景，很值得同学们关注、欣赏。一.旋转角例 1.如图 1,在等腰 Rt ABC 中，P 是斜边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与 边 AB、AC交于点 E、F，连接 EF。当/ EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合)， PEF 也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。.旋转直线(线段)2.如图 3,平行四边形点，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC、AD 于点 E、F,(1) 证明：当旋转角

2、为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形；(2) 试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能,说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度 数。图 3图 43.如图 4,直角梯形 ABCD 中，AD/BC , AB 丄 BC, AD=3 , BC=5，将腰 DC 绕点 D 逆时 针方向旋转 90至 DE，连接 AE，则 ADE 的面积是()A. 1B. 2C. 3D. 4ABCD 中，AB 丄 AC , AB=1 ,对角线 AC、BD 交于 O学习必备欢迎下载三.旋转三角(板)形4._如图5,将

3、厶AOB绕点0逆时针旋转90,得到I.K 若点A的坐标为(a,b), 则点 A?的坐标为_ 5.已知/ AOB=90 ，在/ AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与 C 重合，它的两条直角边分别与OA、OB (或它们的反向延长线)相交于点D、E 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时如图 6 (1)，易证：OD+OE=仁。当三 角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图 6 (2)，图 6 (3)这两种情况下，上述结论 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。(!) 图 6四.

4、旋转矩形6.如图 7,在平面直角坐标系 xOy 中，把矩形CFED，设 FC 与 AB 交于点 H，且 A ( 0, 4)、COAB 绕点 C 顺时针旋转角，得到矩形C (6, 0)(如图 7)图 7(1)当时，CBD的形状是_(2)当 AH=HC 时，求直线 FC 的解析式;图 5图 8学习必备欢迎下载(3) 当.1时(如图 8)，请探究：经过点 D，且以点 B 为顶点的抛物线，是否经过矩形 CFED 的对称中心 M，交说明理由。学习必备欢迎下载五.旋转正方形7.如图 9,AABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF 是正方形，连接 AF、BD。图 9（1）观察图形，猜想

5、AF 与 BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2） 若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转， 使正方形 CDEF 的一边落在 ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1 ） 中猜想的结论是 否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。若 CD 边在 ABC 的内部时，如图 10；或若 CF 边在 ABC 的内部时，如图 11。六.旋转半圆8.如图 12,半圆 M 的直径 AB 为 20cm,现将半圆 M 绕着点 A 顺时针旋转 180（1）请你画出旋转后半圆 M 的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M 所扫过区域的面积（结

6、果精确到.1.）o七.旋转图案八.旋转抛物线图 129 如图14,将学习必备欢迎下载析式。10.把二次函数孟的图象抛物线绕顶点P 旋转 180,求旋转后的二次函数解学习必备欢迎下载中考数学：聚焦“旋转问题”答案与解析一.旋转角1.如图 1,在等腰 Rt ABC 中，P 是斜边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与边AB、AC 交于点 E、F,连接 EF。当/ EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合)， PEF 也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。解析：解答此题必须变 “动”为“静”，如图 2,连接 PA，易知 PA 丄 PC,又 AB 丄 AC ,/ 1 = / C

7、=45 由/ EPF= / APC=90 ，得/ 2= / 3PA=1BC=PC而 -PAEPCF ( ASA ) PE=PF故厶 PEF 始终是等腰直角三角形二.旋转直线(线段)2.如图 3,平行四边形 ABCD 中，AB 丄 AC , AB=1 , BC = Js ，对角线 AC、BD 交于 O点，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC、AD 于点 E、F,(1) 证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能， 说明理由并求出

8、此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数。证明：(1)当/ AOF=90。时，AB/EF ,又 AF/BE ,四边形 ABEF 为平行四边形(2)相等。四边形 ABCD 为平行四边形 AO=CO，/ FAO= / ECO，/ AOF= / COE ,学习必备欢迎下载 AOF COE (ASA )学习必备欢迎下载 AF=EC（3）四边形 BEDF 可以是菱形，理由：如图 3,连接 BF、DE，由（2）知厶 AOFCOE，得 OE=OF , EF 与 BD 互相平分，当 EF 丄 BD 时，四边形 BEDF 为菱形，在 Rt ABC 中，=、：=. OA=1=AB ,又 AB 丄 AC, / AOB

9、=45 , / AOF=45 ,故 AC 绕点 O 顺时针旋转 45时，四边形 BEDF 为菱形3.如图 4,直角梯形 ABCD 中，AD/BC , AB 丄 BC, AD=3 , BC=5，将腰 DC 绕点 D 逆时 针方向旋转 90至 DE，连接 AE，则 ADE 的面积是（）则 CH=丨 I _ _亠：J :。由旋转的性质易证 DHCDFE。贝 U EF=CH=2 ,=EF=r3x2=3故选 Co三旋转三角（板）形4._ 如图 5,将厶 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90,得到 MOB1。若点 A 的坐标为（a, b）, 则点 A?的坐标为。A. 1B. 2C. 3图 3D. 4解析：此

10、题关键是求出厶EF 丄 AD 的延长线于 F,学习必备欢迎下载由旋转知识得，.1- I h -，Jh 丄匚 则:5.已知/ AOB=90 ，在/ AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与 C 重合，它的两条直角边分别与OA、OB （或它们的反向延长线）相交于点D、E。当三角板绕点 C 旋转到 CD 与OA垂直时如图 6（ 1），易证：OD+OE=、. 。当三 角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图 6（ 2），图 6（ 3）这两种情况下，上述结论 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明

11、。(2) 图 6析证：本题是将三角板进行旋转，由特殊到一般，结论由不变到变，先提出结论，再由学生操作实验猜出结论，然后加以证明，图（2）结论： + | F 丄.，过 C 分别作OA、OB 的垂线，垂足分别为 P、Q,如图 6 （2）,易证 CPDCQE , DP=EQ , OP=OD+DP , DQ=OE - EQ ，又 OP+OQ= 血 C ,即-Xi I. I：.：，图（3）结论：二I -四.旋转矩形6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中,把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转亠角，得到矩形 CFED , 设学习必备欢迎下载FC 与 AB 交于点 H，且 A （ 0, 4）、C （6, 0

12、）（如图 7）学习必备欢迎下载(1)_ 当 a=6 时，CBD的形状是_ ；(2) 当 AH=HC 时，求直线 FC 的解析式；(3)当 时(如图 8)，请探究：经过点 D，且以点 B 为顶点的抛物线，是否经 过矩形 CFED 的对称中心 M，交说明理由。解析：这是一道旋转问题的综合题，它把图形与旋转，图形与坐标，坐标与函数有机地结合起来。(1) 利用旋转的性质得 BC=CD，易知/ BCD=60 ,故厶 CBD 为正三角形。(2) 设 AH=xh 一叮-叮-M - 由题意得 Ji-二I= . r： .=丄二:在 Rt BHC 中，HCa=BC2+ HB2,即 J IL,13图 7学习必备欢迎

13、下载36k + b = 0把C (6, 0)代入，得学习必备欢迎下载5解得 L51272yFC=-x+ FC55(3)抛物线顶点为 B (6, 4),设：7 二一+ -，把点 D (0, 0)代入得匚,.-扣诃+4,依题可得，点 M 坐标为(8，3)。把代入宀沙一件得 y=3。故此抛物线经过矩形 CFED 的对称中心 M。五.旋转正方形7.如图 9,A ABC 是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形 CDEF 是正方形，连接 AF、BD。图 9(1) 观察图形，猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转， 使正方形 CDEF

14、 的一边落在 ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1 )中猜想的结论是 否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。析证：本题是一道实验推理性题目，主要考查同学们的观察、动手操作、逻辑推理和 探究等能力。(1)猜想：AF=BD 且 AF 丄 BD。理由：设 AF 与 DC 交点为 G。/ BCD=90 +/ ACD，/ ACF=90 + / ACD ,/ BCD= / ACF ,而 FC=DC , AC=BC ACFBCD ( SAS)学习必备欢迎下载 AF=BD，/ AFC= / BDC学习必备欢迎下载而/ AFC+ / FGC=90。

15、，/ FGC= / DGA ,/ BDC+ / DGA=90 AF 丄 BD。故 AF=BD 且 AF 丄 BD。(2)结论：AF=BD 且 AF 丄 BD。若 CD 边在 ABC 的内部时，如图 10;或若 CF 边在 ABC 的内部时，如图 11。图 10图 11六.旋转半圆8.如图 12,半圆 M 的直径 AB 为 20cm,现将半圆 M 绕着点 A 顺时针旋转 180（1）请你画出旋转后半圆 M 的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M 所扫过区域的面积（结果精确到.FT/）o图 12解析：半圆 M 所扫过的区域是由半圆 M 和以 A 点为圆心，AB 长为半径的半圆两部分 组成的，找出这样的区域是解题的关键。（1）画图如图 13 ,=-HX 20a+-!-xxlOa= 250z785(cma)(2)半圆 M 所扫过的面积 J图 13七.旋转图案9.如图 14,将正方