随机过程题库

1、随机过程综合练习题第一章L Xb X2, Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为g(t),则Xl X2Xn的特征函数是2. E E (XY)3. X的特征函数为g(t), Y aX b,则丫的特征函数为4. 条件期望E(X Y)是的函数，(是。r不是)随机变量。5. Xt, X2,人是独立同分布的随机变量，的特征函数为g，(t),则Xl X2X n的特征函数是6. n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性第二章7宽平稳过程是指协方差函数只与有关。&在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为p(0 P 1),以X(n)记进行到n次试验为止A发生的次数， 则X( n),n 0,1,2

2、,是过程。9正交增量过程满足的条件是10正交增量过程的协方差函数Cx(s, t)第三章11 . (X(t), t 0)为具有参数0的齐次泊松过程，其均值函数为方差函数为12 .设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间 的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是13. X(t), t 0为具有参数0的齐次泊松过程,0,1,P X(t s) X(s) n14 .设X（t）, t 0）是具有参数 0的泊松过程，泊松过程第 n次到达时间十的数学期望15 .在保险的索赔

3、模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金16 .到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N（t）相互独立，则在0, t内到达汽车总站的乘客总数是（复合or非齐次）泊松过程.17 .设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2min内到达的顾客不超过 3 人的概率是第四章18 .无限制随机游动各状态的周期是19非周期正常返状态称为20.设有独立重复试验序列Xn,n lo以Xn1记第n次试验时事件A发生，且PXn 1

4、P,以 Xn0记第n次试验时事件 A不发生，且P Xn 0）1 P,若有Yn Xk,k 11,则Yn, n链。答案、填空题1.gr (t);3 . eibtg (at)gi(t) ； 6 .等价7.时间差;独立增量过程;9.E X(t2)X（tl）X（t4）X（t3）10(min s,t)33)e t 011.12 . f (t)f(t)13.e n!15.240000 16.复合；17 .71 4 e18. 2； 19,遍历状态;20.齐次马尔科夫链;二、判断题(每题2分)第一章 n1 . gi(t) (i 1, 2, n)是特征函数，gi(t)不是特征函数。2 . n维正态分布中各分量的相

5、互独立性和不相关性等价。3 .任意随机变量均存在特征函数。( n4 . Ei(t)(i 1,2, n)是特征函数，gi (t)是特征函数。(il5 .设X1,X 2, X 3, X 4是零均值的四维高斯分布随机变量，则有E (X1X2X3X4) E (X1X2) E (X3X4) +E (XiXs) E (X 2X4) +E (XiX.i) E (X2X3)第二章6 .严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。7 .独立增量过程是马尔科夫过程。8 .维纳过程是平稳独立增量过程。第三章9 .非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。第四章10 .有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。11 .有

6、限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。12 .有限马尔科夫链，若有状态k使lim pj/ 0,则状态 k即为正常返的。(n13 .设i S,若存在正整数n,使得pY0,0,贝i非周期。(14 .有限状态空间马氏链必存在常返状态。15 . i是正常返周期的充要条件是lim不存在。(n16 .平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。17 .有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。18 . i是正常返周期的充要条件是lim p1)存在。(n潮.京南药马威魁雷金为能返态，或者型为非常返态.答案 二、判断题1.x2 .V6.V10. v16. v 三、1117 大题121820第一

7、章1. ( 10 分)一易)设B(n, p)，求的特征函数，并利用其求EX o2. ( 10 分)-中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,X(t)cos t,出现正面2t,出现反面出现正面和反面的概率相等，求X(t)的一维分布函数 F(x, 1/2)和F(x, 1), X(t)的二维分布函数 F(xu x2; 1/2, 1) o3. ( 10分)一(易)设有随机过程X(t) A Bt,t变量，均服从0 ,其中A与B是相互独立的随机 标准正态分布，求X (t )的一维和二维分布。第二章4. ( 10分)一(易)设随机过程X(t)=Vt+b , t (0,+ 0), 6为常数，V服从正态分布

8、N(0, 1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。5. (10分)一 易)已知随机过程为普通函数，令 Y(t)=X(t) + g(t)6. (10 分)一中)设X(t), tX(t)的均值函数mx(t)和协方差函数B x(t 1, t 2), g(t),求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。T 是实正交增量过程，T 0, ), X(0)0,是一服从标准正态 分布的随机变量，若对任一 t 0, X(t)都与相互独立，求Y(t) X(t)t 0,)的协方差函数。7. ( 10 分)一(中)设Z(t) X Yt,若已知二维随机变量(X, Y)的协方差矩阵为2 ,求Z （t）的协方差函数。

9、2& （10 分）一（难）设有随机过程 X （t） , t T和常数a,试以X （t）的相关函数表示随机过程Y(t) X(ta） X （t） , t T的相关函数。第三章9. （10分）一（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时,从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在&30- 9： 30间无顾客到达商店的概率是多少在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多 少1

10、0. （15分）一（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为P,且与其它顾客是否购买商品无关，求（0, t ）内无人购买商品的概率。11. （15分）一（难）设Xl （t）和X2 （t）是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明：Y （t）是具有参数I2的泊松过程。12. （10分）一（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2户定居.即2o如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为 1/6, 一户三人的概率为1/3 ,户两人的概率为1/3, 一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是相互独立的，求在五 周内移民到该地区人口的数学期望与方差。k1

11、3. （ 10分）一（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为P t - e , k 0, 1,2, k! （k）其中0为常数如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率P2t （n）30人到达,求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min15. （15分）一（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个.每个流星能以陨石落于地面的概率为，求一个月内落于中国地面陨石数EWvarW 和 PW14. （10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有Imin内没有车辆通过的概 2）.16. （10分）一（易）通过某

12、十字路口的车流是一泊松过程设率为，求2min内有多于一辆车通过的概率。17. （10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min18. （ 15分）一（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1/2、I /3和1 /6,且相互独立.设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得 手3元手续费.以X （t）记在0 , t内得到的总续费，求 EX（t）与 var X （t）19. （10分）一（易）设顾客到达商场的速率为2个/ min,求（1）在5

13、min内到达顾客数的平均值；（2）在5min内到达顾客数的方差；（3）在5min内至少有一个顾客到达的概率.20. （10分）一（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均年需要维修一次，后 5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率.21. （15分）一（难）设X （t）和丫（t 0）是强度分别为x和丫的泊松过程，证明：在X （t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y （t）恰好有k个事件发生的概率为第四章22. （10分）一（中）已知随机游动的转移概率矩阵为0. 5 0. 50. 5 0. 50. 50. 5求三步转移概率矩阵 P3及当初始分布为PXo 1 PXo 20

14、, P Xo 31时，经三步转移后处于状态3的概率。23. （15分）一（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以X （n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，则X （n） , n0）为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：X （n） , n 0）是遍历链；（3）求iim rT, j 0, 1, 2 o24. （10分）一（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下:P7(0)(0.4, 0.2,0. 4)0. 80. 10. 10. 1-70.20

15、. 20. 20. 6求下一、二个月的销售状态分布。I 1 2,-转移概率矩阵为25. （ 15分）一 难）设马尔可夫链 的状空间 *0.40.2 0. 100. 10. 10. 10. 10.2 0.20. 2 0. 10. 10. 100.60.4000P0 00.400.6000.20.5 0.300000000求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。000. 30. 7000. 80. 226. （15分）一（难）设河流每天的B0D生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I二1 ,1/21/22, 3, 4是按B0D浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）为0

16、. 50. 20. 100.40. 50.20.20. 10.20.60.400. 10. 10. 4若B0T度为高，则称河流处于污染状态。（1）（3）河流再次达到污染的平均时间427. （ 10分）一（易破马尔可夫链的状态空间证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布;I二0,1 , 2 , 3）,转移概率矩阵为1/21/21/21/21/41/40000001/41/401求状态空间的分解。I二1 , 2, 3, 4）.转移概率矩阵为28. （ 15分）-（难股马尔可夫链的状态空间为2/31/41/2讨论lim Pi?n29. （ 10分）-（易破马尔可夫链的转移概率矩阵为P 1/ 21/2

17、1/21/20求其平稳分布。P,乙胜的概率是30. （ 15分）-（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是 q,和局的概率为r,且p+q+r=1 .设每局比赛胜者记1分，负者记一 1分.和局记零分。当有一人获 得2分时比赛结束.以L表示比赛至n局时甲获得的分数，则工，n 1是齐次马尔可夫链.1）写出状态空间I ; （ 2）求出二步转移概率矩阵；3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率.31. （10分）一（中）（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的 天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规 定有雨天气为状态0，无雨天气为状

18、态1。因此问题是两个状态的马尔可夫链.设0. 7,0.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.1）是一个马尔可夫链，其状态空间I=a , b, c)，转移概32. （ 1 0 分）T）设Xn,n率矩阵为1/21/41/42/3013求(1) PXib, X 2 C, X 33/52/50a, X 4 c X5 a, X 6c, X 7 b Xo c)2)PXn 2 C Xn b33. （ 1 5分）一（难）设马尔可夫 Xn,n 链 矩阵为0的状态空间I二（1 ,2,，6）,转移概率1/31/31/33分）1/21/2试分解此马尔可夫链并求出各状态的周 期。答案三、大题1.解：引入随机变量Xi1,

19、21分）i (t) Ee itXnXi B(n, p)14分)_ itXEeit( Xi)Ee 1itXiEe,it n(pe q)(6分)(0) iEX8 分)EX i (0) / iti (penq).,it n 1i n(pe q) pe inp10分)2.解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2当t=l/2时，X (1/2)的分布列为Px(l)0 P XC)其分布函数为3分)01 1x)21同理，当时X (1)的分布列为X(l)P X(l)其分布函数为F(l； X)-5分)(2)由于在不同时刻投币是相互独立的，故在1PX(1)0, X 1P X()廿1/2 , 时的联合分布列为廿10

20、, X(l)1PXJ)1 X 1 x(2)1, X(l)10分)故联合分布函数为01/411/2F(2, 1； Xi, X2)Xi0orX21Xi1 and1 X2Xi1 ancfc 2or Xi1and1X2Xi1andX223.解：对于任意固定的t X(t)是正态随机变量，故 T,E X(t) E(A) E(B)t 0DX(t) D(A) D(B)t2 1 t2所以X(t )服从正态分布N (0, 1 t=)3分)其次任意固定的 ti, t2 T, X(ti) A Bti, X(t2) A Bt2则依n维正态随机向量的性质，X(t0, X(tJ服从二维正态分布，且EX (ti) EX(t2

21、) 0DX(t2) 1 t228分)Cov(X(ti), X(t2) EX(tl)X(t2) 1 tlt2所以二维分布是数学期望向量为(0, 0),协方差为 一/的二维正态分布。 t1 tlt2 110分)4.解：X(t) Vt b , V N(0, 1),故X(t)服从正态分布,E X(t)E VtbtEVbbD X(t)D VtbDV t2m(t) E X (t) b 均值函数为4分)相关函数为 R(ti, t2)EX (ti)X(ti)E Vt 1 b Vt 2 bE V :tit2 V (ti t2 )b b2 tit2 b2io 分)5. 解：my(t) EY(t) EX(t) g(

22、t) mx (t) g(t)4分)By(ti, t2) Ry(ti, t2) mY(ti)mY (t2)EY (ti) Y (t2) mY(ti)mY (t2)EX(ti) g(ti) X(t2)g(t2)J mx(ti) g(ti) mx(t2)g(t2)JRx(ti, t2) mx(ti)mx (t2) Bx ti,t2)10分)6.解：因为X(t),t T)是实正交增量过程，故EX(t) 010分）服从标准正态分布，所以E 0,DI分） 分）又因为t 0, X （t）都与相互独立CovY(s),Y(t) EY(s)Y(t)JE X (s)X (t)6分）28分)EX(s)X(t) E X

23、 (s) E X (t) E 2CovX(s), X(t) 1 x: (min s, t)1 .7.解利用数学期望的性质可得， Cz(s, t) E (X Ys) ( x ys) (XYt)(8.r (s t)解： Ry(ti, t2)EX(ti a)X(t210分)E (X x ) (Ys ys) (XE(X x)= E (X x)t(YE(X x)s(YDX (s t)Cov (X, Y) stDYx y t)(Yt Yt)Est(Yst 2_10分）E X(ti a)X(ti) X (t2 a) X(t2 )a) EX (ti a)X(t2) EX(ti)X(t2a)2分）8分）2分）R

24、j t】a t & a1a t2 Rx t； t2 a： Rx t； t210分）9.解：根据题意知顾客的到达率为5 5t(t)20202(t5) 51.5mx (1. 5) mx (0. 5)0,5 (5 5t)dt 10PX (1.5) X (0. 5)0 e 103分）6 分）10分）10.解：设X （t） ,t 0表示到达商店的顾客数,i表示第i个顾客购物与否，即1 第i个顾客购物0第i个顾客不购物则由题意知i独立同分布.且与 X(t)独立P( i 1) p P( i o)因此,Y(t)x(t)i是复合泊松过程,t )内购买商品的顾客数,5分)由题意求x(t)PY(t) 0) p i

25、i 1X(t)i 0,X(t) kP X(t)o(t)keo k!(10 分)(qt)”o k!ee pt11.证明：PY(t)Y (t)n)PXi(t)X2(t)X1 (t)PXi(t)Xi(t)X2(t(15 分)X2(t)n)X2(t)n)p Xi(tXi(t)i 0 nPXi(tXi(t)i 0(2尸 (n i)!i X2(tX2(t) n ii PX2(tX2(t) n i)(5分)(10 分)6 (12)2) nnn 0, 1, 2故Y(t)是具有参数2的泊松过程(15分)2的泊松过程，Yi表示每户的12.解：设N(t)为在时间0 , t内的移民户数，其是强度为x(t)人数，则在C

26、o , t内的移民人数X(t) Yi是一个复合泊松过程。 1 12分)Yi是独立同分布的随机变量，其分布为EYi 15EYi2 4364分)mx(5),、15EN(5) EY1 2 52567分)243215V (久、rT /匚、tt63(10 分)13.解:以A记时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为取,则P(HJPt (k),第二时间间隔内P(A|HJ Pt(nk)成立，于是P2t ( n) Pt (k)R(n k)v nk o k!e(n k)!(4分)8分)Yi12311111P6336n! k ok! (n k) !n!c n5 2 n!10分)14.解：由题意，顾客到达数

27、N(t)是强度为的泊松过程，则顾客到达的时间间隔Xn,n 1服从参数为的指数分布，fx(X)30e如0(4分)(10 分)15解：设X(t)是t年进入中国上空的流星数,X(t)为参数10000的齐次泊松过程设y 1第i个流星落于地面o,第i个流星不落于地面o即 丫0. 9999 0. 000130x , _2 30e dx 60由题意知，Wx(t)Yi是一个复合泊松过程i 15 分)EW END eyi I10000 0.0001VarWVarX(t) EY；12W是参数为1的泊松过程10000 I2 0.0001 12(10 分)16.解:PW 21 PW 1PW 0 PW 1N(t)表示在

28、0,t)内通过的军薪数,设1 -e12e12(15 分)” tPN(t) k e k!0, 1, 2,(2分)P(N(1)0)0. 2In 5(5分)P(N(2)1)PN(2)11 P(N(2)0PN(2)1)(10 分)17解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为 服从参数为的指数分布，的泊松过程，则顾客到达的时间间隔X0,n 1fx(X)(4分)30x60;60 3Oe30sdx(10 分)24 Aln52525(5分)18解：设Z(t)为在0, t内来到的顾客数，Z(t)为参数6的齐次泊松过程,Yi是每个顾客订阅年限的概率分布，且 Yi独立同分布，z(t)由题意知，X(t) Yi为0 ,

29、t内得到的总手续费，是一个复合泊松过程EYi屹 210EYf2:3220飞8分)10EX(t) EZ(t) EYi 6t lOt6VarX (t) VarZ (t) EYf2020t(15 分)19.解：N (t)表示在0 , t)内到达的顾客数，显然 N(t), t则当t=2时,N (5)服从泊松过程 01是泊松过 程，PN(5) k)(2 5)k 25ek!0, 1,25分)故 EN (5)10;DN(5)10PN(5)11 PN (5)0) e10分)20解：因为维修次数与使用时间有关,所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数则(10)PN (10)21.证明:设X( t)P Y(t(t)1

30、/2. 51/2t 101010 1(t)dt o2. 5dt 尹 4.5Y0)4.5 4. 5!1 e 1的两个相邻事件的时间间隔为,依独立性有6分)10分)2分)而X (t)的不同到达时刻的概率密度函数为fx()xe0 others(4分)由于X( t)是泊松过程，故Y (t)恰好有k个事件发生的概率为X(n)表示甲盒中的红球数甲盒乙盒22红、1白3白11红、2白1红、2白03白2红、1白22.解:p（3）P3P323. W：由题意知,（丫）kP 0 k! ekX Yk!xe x dkX YkTk!（8分）10分）0. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.

31、 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.50. 5P3P 3?0.250. 3750. 375甲盒中的球共有0. 3750.250. 3750.250. 3750. 3756分）0. 250. 253种状态,10分）Poo P甲乙互换一球后甲盒仍有3个白球I甲盒有3个白球二P 从乙盒放入甲盒的一球是白球二1/3p01 I3 甲乙互换一球后甲盒有2个白球1个红球I甲盒有3个白球二P 从乙盒放入甲盒的一球是红球二2/3Po： I3 甲乙互换一球后甲盒有 1个白球2个红球I甲盒有3个白球二0PT(1) PT(O)P(0.4, 0.2, 0.4)0. 8 0. 10. 10. 1 0.

32、 70. 2(0. 42 ：，32230.2 0.20. 6(5分)0.80. 10. 10.80. 10. 1p:P T(0) P2(0. 4, 0. 2, 0. 4)0 10. 70. 20. 10. 70. 20.20. 20. 60.20. 20. 6(0. 426, 0. 288, 0. 286)1/32/3以此类推，一步转移概率矩阵为P 2/95/92/9（8分）2/31/3（2）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链，且状态 0无周期，故马氏链为遍历链。（10 分）13分)1， 2）解方程组解得lim Pis15(n)lim Pillim(n)Pi2(15 分)24.解:（10

33、分）25解：N1,2是非常返集，Cx(3,4,5, C26, 7是正常返闭集。5分）常返闭集C(3, 4, 5上的转移矩阵为0.6 0.400.400.60. 2 0. 50. 3解方程组（3,5),解得103， 4232310分）Ci上的平稳分布为0, 0, 23,召13, 0, 0)8同理解得C2上的平稳分布为。， o ，26.解:（1）因为1234,故马氏链不可约,又因为状态1非周期，故马氏链是遍历链(2 )解方程组其中（2,3,4 ）解得10.2112,0. 3028,0. 3236,0. 10441-9（天） 4 27.解：状态传递图如下图15分）5分）10分）15分）由状态3不可能到达任何其它状态，所以是常返态.由状态2可到达0, 1, 3三个状态，但从1, 3三个状态都不能到达状态f (n)1 1 ,故状态2是非常返状态。f 224n 1状态0, 1互通且构成一个基本常返闭集，f (n) f (1) f