三角函数小结与复习(一)

1、精品资料欢迎下载课题4.12.1小结与复习（一）教学目标（一）知识目标1.任意角的三角函数、任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式；2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数；3.三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角（二）能力目标1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；2.掌握任意角的正弦、 余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正 弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式； 掌握正弦、余弦的诱导公式；3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正

2、切公式；4.能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明；5.会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（3x+）的简图，理解A、3、的物理意义；6.会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示.（三）德育目标1.渗透“变换”思想、“化归”思想；2.培养逻辑推理能力；3.培养学生探求精神.教学重点三角函数的知识网络结构及各部分知识.教学难点熟练掌

3、握各部分知识，并能灵活应用其解决相关问题教学方法引导式运用“整体化”教学思想，弓I导学生生从“整体”到“局部”再到“整体”逐步认识.教具准备投影片五张第一张（4.12.1 A）:知识网络结构图精品资料欢迎下载第二张(4.12.1 B):三角函数定义及同角三角函数基本关系式：三角函数定义：sina= ,cosa= ,tana= |Op=r rrx同角三角函数基本关系式：22sinsin二cos 1,tan: ,tan：cot：-1.cos第三张(4.12.1 C):诱导公式(五组)函数角 、Sincostanasinacosatanan asinacosatanan + asinacosatan

4、a2n asinacosatana2n + asinacosatana:和角公式、差角公式、倍角公式和(差)角公式:sin(a 3)=sinacos3 cosasin3cos(a 3)=cosacos3+sinasin3tan(a 3)倍角公式:角和拿的三鱼阖數三角函数的定义丄诱导公式T同角三角函数的“索式T第四张(4.12.1 D)S(a 3)精品资料欢迎下载sin2a=2sinacosaS2a2 . 2=2cosa 1=12sina2ta natan22T2a1 -ta n a它们的内在联系及推导线索:第五张(4.12.1 E):正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函 数正弦函数余弦函

5、数正切函数图 象y .厂11Vi疋义域RRx x式上 +kt,kEZ2值 域1,1: 取大值为1最小值为11,1最大值为 最小值为-11R函数无最大值、最小值周 期性最小正周期为2n最小正周期为2n最小正周期为n奇 偶性奇函数偶函数奇函数单 调性在上+2k兀上十2k兀上都是2 2增函数；在匹+2k儿弐+25:2 2上都是减函数(kZ)在(2k1)n ,2kn上都 是增函数；在2kn,(2k+1)n上都是减函数(kZ),3T31在(一一+kn, +kn)(kZ)2 2内都是增函数教学过程I.课题导入2COS2a =COS. 2sina精品资料欢迎下载师：这一段时间，我们共同学习了有关三角函数的知

6、识, 内容进行一下回顾：n.讲授新课（打出投影片4.12.1 A）师：首先，我们来了解一下这一章的知识网络结构：最先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差的三角函数公式，以及它们的变形公式等等.然后，我们又共同学习了三角函数（主要是：正弦函数、余弦函数、正切函数）的图象和性质.接下来，我们又共同探讨了它们的应用.运用上述公式和性质主要是进行三角函数式的化简、求值、证明 以及它们的综合运用.师：下面，我们回顾一下这些具体内容：（打出投影片4.12.1 B）根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念，并学习了角的另一种单位

7、制一一弧度制.这里规定长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.于是，弧长公式为：1=丨a|r（其中I为弧长，r为半径，a为圆弧所对圆心角的弧度数）之后， 我们定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六种三角函数，它们都是以角为 自变量，以此值为函数值的函数，其中，正弦、余弦、正切函数尤为重要，进而我们根据定 义又得到了同角三角函数的基本关系式，它们是进行三角恒等变换的重要基础，而后，我们又得到了五组诱导公式.师：打出幻灯片4.12.1 C，对于这部分知识，大家要理解任意角的概念、弧度的意义并能正确地进行弧度与角度的换算，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并学会利用与单位有关的三

8、角函数线表示正弦、余弦和正切；另外需要了解任意角的余切、正割、余割的定义；还要掌握同角三角函数的基本关系式sin2a+cos彳a=1,刮tan二,tanacos acot a=1，以及正弦、余弦诱导公式师：请同学们再回顾和角公式、倍角公式、差角公式（打出幻灯片4.12.1 D）师：利用单位圆和三角函数的定义，借助平面内任意两点之间的距离公式，我们最先得到了两角和的余弦公式，结合诱导公式，我们进而推导出两角和的正弦公式，利用同角三角函数基本关系式，可得到两角和的正切公式，之后用-B代替B,便可推得一组差角公式.a与B相等时，便又可推出一组倍角公式.看来，和角公式C（ a + B）是这些公式的基础

9、，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，希望大家能熟练掌握，并了解它们的内在联系师：下面我们总结一下正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质（打出幻灯片4.12.1 E）师：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象；利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点（即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点）.在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用.因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类 似的一些函数（特别是函数y=Asin（3x+）的简图.观

10、察图象，可知它们的定义域、值域、 周期性、奇偶性、单调性等，这部分知识，同学们要牢固掌握.最后，关于三角函数的应用，还有已知三角函数值求角，并学会用arcsinx,arccosx,arctanx表示.师：在掌握这些知识之余，还应注意到这一章大量运用了化归思想，这是一种重要的数学思想，它主要表现在如下几方面：今天，我们来对这一章的主要精品资料欢迎下载把未知化归为已知，例如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角三 角函数值.- 把特殊化归为一般，例如把正弦函数的图象逐步化归为函数y=Asin(3x+),xR,(其中A0,30)的简图，把已知三角函数值求角化归为0,2n:上适合条件的角的集

11、合等等价化归，例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式 师：这一章的主要内容就复习到这，下面结合练习题体会它们的应用 川.课堂练习 生：(板演练习)1.化简COS(3k 1n+a)+COS(3k1na)，其中kZ.33解法一：原式=coskn+ ( +a)+coskn ( +a)=cosknCOS( +a)sink333nsin(+ a)+cosknCOS(+ a)+sinknsin(+ a)=2cosknCOS( + a),(k3333Z)当k为偶数时，原式=2cos(+a)=cosa、3sina3当k为奇数时，原式=2cos(+a)=. 3 sinacosa3总之，原式=(一1)

12、k(cosa3sina),kZ解法：由(kn+ +a)+(kn a)=2kn，知33cos(kn a)=cos2kn (+ a +kn)=cos (kn + + a)=cos(k333nn + + a)3原式=2cos( kn + +a)=2x(1) cos( +a)=(1) (cosa?.3 sina),其3 3中kZJT评述：原式=cos(kn+a)+cos(kn a)=coskn+ ( +a)+cos333kn ( + a)3这就启发我们用余弦的和(差)角公式.21tan2.已知sin(a+3)= - ,cos(a3)=-，求-】的值.35tan P解法一：由已知条件及正弦的和(差)角公

13、式，精品资料欢迎下载sin a cos B + cosot sin P得*sin：cos - - cos：sin :2 1_ + -.sin：cos：=3522 1cos：sin：=卫5=2tan：sin tcos : _ _ _tan：cos：sin :3.已知函数y=Asin（ cox+:） ,xR,（其中A0,co0）的图象在y轴右侧的第一个求这个函数的解析式解法一：根据题意，可知T=62=44T=16,将点M的坐标(2,22)代入y=2 .2 sin( x+:),8得2 .2=2 ,2 sin（x2+）8即sin（+）=14TTTTTT满足+=的的最小正数解，即 =-424解法（设未知

14、数）令x=tan :-tan :sin(j sin(圧亠)2510cos：cos：-=$、 -=-石-sin(： - ：)313 sin( - ： )COS：cos :tani tan :tan：tan :tan二tan :匹一1 x-1tan解之得tan :-tan :13231513_ 30730133013=-X -=-3077最高点（函数取最大值的点）为M2,2.2），与x轴在原点右侧的第一个交点为N6 ,0),精品资料欢迎下载解法二：将两个点M2,2V2),N(6,0)的坐标分别代入y=2：；2sin(从而所求的函数解析式是y=22sin( x+-),xR84简sin（ 2珂 +护）

15、=1得si n（仙 +衢=02 +W =在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有216- - - :所求的函数解析式是y=2.2s in（匸x+三）,xR84IV.课时小结师：通过本节学习，大家要系统掌握三角函数有关知识，并能灵活应用其进行三角函数式的化简、求值、证明，并能解决一些实际问题等等V课后作业课本P87,复习参考题四板书设计课题一、知识网络结构；二、三角函数定义及冋角基本关系式；三、诱导公式；四、和、差、倍角公式；五、三角函数图象和性质例备课资料数学公式变形要讲究“三有”数学公式教学是中学数学教学的重要组成部分，为了理解公式的内在本质，就要进行适当的变形，但要讲究“三有”，即：变之有

16、用，变之有规，变之有益1.公式变形的目的最终应体现在其实用的价值，一个公式的等价变形往往有多种，教学中应择其有用的变形，以提高应用公式的效能2.数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积 极的意义由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等3.公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽，而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质例如对于公式tan（二坦匚1 -tan a tan P变形一：用B代换B得到精品资料欢迎下载tan（:-）=tan：- tan :1 tan：tan :用a=45 代入得到1 tan二tan（45）1 - tan P精品资料欢迎下载当a = n时，tan(n+3)=tan3当久=2n时，用一3代换3时tan(2n3)=一tan3(用特殊值代入原公式是公式变形，发现新、旧公式之间关系所常用的办法),n,、tan a+ta nB+ta n ? - ta na ta n 0 ta n?a十3十Y)=1 - (tan a tan B + tan a tan + tan B tan Y)由此引申为a+ 3 +Y=kn(kZ)二tana+tan3+tan丫=tanatan3tan