三角函数讲解版

1、精品资料欢迎下载二角函数专题复习1、 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图 形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条 射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为 终边。2、 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非 负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标 轴上，就认为这个角不属于任何象限。3、 终边相同的角的表示：(1)_终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)=：二二 2k二(k Z)，注意： 相等的角的终边一定相同，终边

2、相同的角不一定相等如与角-1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_ ，合_ 弧度。(2)终边与二终边共线(：的终边在终边所在直线上k：(k Z).(3)终边与二终边关于x轴对称- 一-2:( Z).(4)终边与r终边关于 y 轴对称二-2k二(kZ).(5)终边与二终边关于原点对称2k二(kZ).(6)终边在x轴上的角可表示为：=k二，Z；:-终边在 y 轴上的角可表示为：:二k K Z;:-终边在坐标轴上的角可表示为：=, Z.如二的终边与一的2 2 6终边关于直线 y=x 对称，贝_。4、 ：与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角， 则工是第 象限角25、

3、弧长公式：l=|a|R，扇形面积公式:S=IRI R2，1 弧度(1rad)対57.3.如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。6、 任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x, y)是的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r = x2y20，那么sin =- , co s-，rrtan口=丫,匕式0),，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如x(1)_已知角a的终边经过点 P(5， 12)，则 sina +co 少 的值为_。(2)_设。 是第三、四象限角，sinau23，则m的取值范围是_4 m（3）若sin丨c

4、os0，试判断cot（sin）tan（cos）的符号sinm | cosa |7.三角函数线的特征 是：正弦线 MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线 OM“躺在x轴上(起点是原点)”、 正切线AT “站在点A(1,0)处(起点是 A) ” .三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和 三角不等式。如(1)若0，则sincostan71的大小关系为x精品资料欢迎下载8精品资料欢迎下载若ot为锐角，则Ot,sin ,tan。的大小关系为 _(3)函数y = / +2cosx +lg(2sin x + 3)的定义域是_8.特殊角的三角函数值：3045600901802701575sin a1

5、近010-1V672464222244cos a誨忑110-1046+426-/222244tana逓31念0/0/2 323cot a13/0/02+J32花9.同角三角函数的基本关系式：（1） 平方关系：sin2：cos2：=1,1 tan2：=sec2：,1 cot2：= csc2:（2）倒数关系：sin : csc：=1,cos：sec：=1,tan：cot：=1,si n：丄 cos：（3）商数关系：tan,cot：co 沪sin a同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其 它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可

6、能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数 的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出 此三角函数值的绝对值。如（1）_ 函数厂曲+甌的值的符号为cosa+cot（2）_若0兰 2x兰2 江，则使 J1-sin22x= cos2x 成立的x的取值范围是_m 34 2m n(3)已知sin -，cos J -()，贝 U tan =m +5m +52(6)已知f (cosx) =cos3x，则f (sin 30 )的值为_k10.三角函数诱导公式（- ：）的本质是：奇变偶不变（对 k 而言，指 k 取奇数或 偶(4)(5)tan

7、：已知1，则tana -1已知sin 200 = asin：-3cos-sin：cos：则tan160等于=_；sin2a +sinotcosa+2=a1 - a2C、d-a2aa精品资料欢迎下载数），符号看象限（看原函数，同时可把 G 看成是锐角）诱导公式的应用是求任意角精品资料欢迎下载的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成 2k 二+，0：2 二;转化为锐 角三角函数。女口(1) cos +tan(三)+sin 21 兀的值为46-(2)已知sin(540+a) = -4，则cos(a 270 J =_，若a为第二象限角，则5sin(180=ct)+cos 360)2_tan(

8、180 +c()11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin 二一；sin：cosL 二 cos：sinsin2：二 2sin：cos：cos：:二cost cos：+s in篇si nos2-1 = 1 - 2sin2：丄住tan a tan Ptan :1 + tana tan P.tan 22.5；1 -tan222.5:(2)命题 P:tan (A B) =0，命题 Q： ta nA tan B =0，则 P 是 Q 的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件3(3)已知sin ( a - P )cos。cos(a - P )si n= -，

9、那么cos2P的值为_(4)- - 的值是si n10si n80-(5)已知tan1100二a，求tan500的值(用 a 表示)甲求得的结果是，乙求得1+ V3a21+cos2a=cos :-=2.21 - cos2.：s如(1)tan 2工2 tan :1 - tan2：F列各式中，值为2的是A、sin 15 cos15B、2 昭.2 応cos sin12 12D、1 cos30c2精品资料欢迎下载1 a2的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是2a12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三

10、角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧 有：(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、精品资料欢迎下载两角与其和差角的变换.如：一(黒亠卩)5 , 2：=(黒亠卩)(：-),2a =(B +a) (B a) , m+P = 2_ 占)_(号 _ B )等)，如(1) 已知tan (G+B)=2,ta n(B-工)=丄，那么tan +=)的值是_54441-1-2(2)已知 0，且 cos( ) = -一，sin()=-，求边黒亠0的22923值3已知:,-为锐角，sin_二x,cos一：= y，cos

11、(、；l：J =-,则 y 与x的函数关系5(2) 三角函数名互化(切割化弦)，如(1) 求值sin50：(1 J3tan10)(2) 已知sin：cs：=1,tan(：- J =，求tanC -2 )的值1 cos2。3公式变形使用 (tan：;-tan = tan*；j1tanitan：。女口(1)_ 已知 A、B 为锐角，且满足 tan AtanB=tanA + tanB + 1，则cos(A+B) =_设 ABC 中，tan A tan B .3 hJtan Atan B，sin Acos A3，则此三角形是4三角形式:1 cos2：=2cos2二，1-cos2：= 2sin2二)。女

12、口(3)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2:山竺，sin2,=精品资料欢迎下载3(1)若一(讶)，化简一+一 一+dos/ 为2 2 2 2(2)函数f(x)=5si nxcosx-53cos2x+号73(R)的单调递增区间为(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如sin二1tan二tan：(cos：-si nr)cot +csc1sin：_1ta；2aa，1 -2si n 1 - ta n 222cos4x - 2cos2x -2_Tx)(1)(3)求证:化简:兀22tanq - x)sin(6) 常值变换主要指“ 1” 的变换(1 = sin2x，cos2x二sec2x-

13、tan2x = tanxcotxQ =tan = sin斗=川 等)，如已知 tan。=2，求sin2口+sin。cos。3cos2o(答：一).425(7) 正余弦“三兄妹一 sinx 二 cosx、sinxcosx”的内存联系- “知一求二”，女口精品资料欢迎下载(1) 若 sinxcosx = t，贝 U sinxcosx =(2) 若用三(0,二),sin二8S =1,求 tan的值。2si n22si n :(3)已知k ()，试用 k 表示 sint-cos的值1 +ta n a4213、辅助角公式中辅助角的确定：asinx bcosx = , a2 b2sin x (其中二角所在

14、 的象限由a, b 的符号确定，二角的值由tan确定)在求最值、化简时起着重要作用。a如(1)_ 若方程sinxA/3COSX=C有实数解，则c的取值范围是_ .(2) 当函数y=2cosx3sinx取得最大值时，tanx 的值是_(3) 如果 f x ; =sin x 厂 2COS(X)是奇函数，则 tan =_(4)求值： 一 2?-1+64sin220* =sin220 cos220 14、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数y二sin x和余弦函数 y 二 cosx 图象的作图 方法：五点法：先取横坐标分别为 0,二二，至,2二的五点，再用光滑的曲线把这五点连22接起来，就得到正弦曲线

15、和余弦曲线在一个周期内的图象。15、 正弦函数y=sinx(x R)、余弦函数y =cosx(x R)的性质：(1) 定义域：都是 R。(2)值域：都是 1-1,1，对y =sinx,当x=2yf Z时，y 取最大值 1;当x =2k二牛k Z时，y 取最小值1;对y =cosx，当 x = 2k 二 k Z 时，y 取最大值 1,当 x=2k 二* Z 时，y 取最小值一 1。女口(1)若函数 y=a-bsin(3x+-)的最大值为-，最小值为-1，则 a=，b =62 2 _ _(2)函数f(x)=sin x + j3cosx(x-、二)的值域是2 2(3)_若2口中 0 =兀，则y =c

16、osB -6sin。的最大值和最小值分别是 _ 、_(4)函数f(x)=2cosxsin(x+)J3sin2x+sinxcosx 的最小值是，此时x=3精品资料欢迎下载1(5)己知sincos：二一，求 t =sin : cos的变化范围2(6)若sin22sin2：=2cos，求y = sin2 sin2:的最大、最小值特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?精品资料欢迎下载(3) 周期性：y =sin x、y =cosx 的最小正周期都是 2 ;f (x)二Asin( .x)和2 JTf (xAcosC)的最小正周期都是T。女口 |若吧则ffff(2003)

17、=(2) 函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x的最小正周期为 _JTJT(3) 设函数f (x) =2si nx )，若对任意x-R 都有f(xj乞f(x)乞f(X2)成立，则25|捲-X2 |的最小值为_(4)奇偶性与对称性：正弦函数y=sinx(xR)是奇函数，对称中心是 k 二,0Z ,JT对称轴是直线;余弦函数y = cosx(x R)是偶函数，对称中心是-,0 Z，对称轴是直线 x=k 二 k Z (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或 最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点)。女口(1)函数y=sin-2x的奇偶性是 、U丿(2)已知函数f (x)

18、 = ax +bsi n3x +1( a,b为常数)，且f(5) = 7，则f(-5) =_(3)_函数y =2cosx(sinx+cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是 _ 、(4)已知f (x)二sin( x T ) -、3cos(x t )为偶函数，求二的值。) 单调性：y = sin x在IH2k ,2k二_222k： * ,2k：Z 上单调递增。16、形如y = As in (，x:)的函数:Z单调递减;2严石 3 上单调递增，在y = cosx 在!2k 二,2 k：二丨 k Z 上单调递减，在特别提醒，别忘了 k Z !(1)几个物理量：A 振幅；f相；1-频率(周期的倒数)；X一相位；：一初精品资料欢迎下载(2)函数y二Asin(x)表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定；由图象上的特殊点确定，如f(x)=Asin(,，|0）或向右（- B 是 sin A si nB成立的_ 件(3)在也 ABC 中，(1+ta nA)(1+ta nB) = 2，则log2s inC =_(4)_ 在=ABC 中，a , b 分别是角 A、B、C 所对的边，若(a +b +c )(sin A +sin B