复变寒假小论文

1、柯西积分公式及其推广摘要：学复变以来，一直比较困惑于柯西积分定理、柯西积分公式及留数定理等三个问题的界线，同时也对于积分何时为零何时不为零的条件很模糊。本文主要是归纳了有关这三个问题之间的一些关系及推导过程。同时也得柯西积分公式进行了推导，并举例其应用。关键词：柯西积分定理，柯西积分公式，留数定理，柯西积分公式的推广目录论文封面1摘要2对柯西积分的认识4一 柯西积分定理与柯西积分公式5二 留数定理及其与柯西积分公式的关系71.留数定理72.留数的求法83.留数定理与柯西积分公式的关系9三 柯西积分公式的推广101.高阶导数102.处的柯西积分公式103.复连通区域中的柯西公式114.z在积分路

2、径C上的柯西积分公式11四 柯西积分公式的计算应用12五 参考文献16对柯西积分公式的认识柯西积分公式是一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式，也可以说是解析函数的积分表达式，柯西积分定理和柯西积分公式复变函数的基本定理和基本公式，因而成为了研究解析函数各种局部性质的重要工具。首先，柯西积分定理与复交函数的积分有着密切的联系，为了能更好的对柯西积分公式应用和推广，通过留数定理与复变函数的积分之间的关系，有以下的结论：柯西积分定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数的留数定理；柯西积分公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理；高阶导数公式实际上是被积函数在积分区域内有n+l阶点的

3、留数定理。本文归简单给出柯西积分定理与柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理之间的推导关系。其次，从复积分求解出发，柯西积分定理只回答了解析函数沿闭域内任意一周线的积分值为零的问题，并由此导出了著名的柯西积分公式，即解析函数在C所围的区域内任一点z的函数值均可由在C上的积分值完全确定，这也只给出了求解光滑周线域内有一个(或有限个)奇点的复积分方法，而复积分的范围很大，有很多问题都超出了柯西积分定理的条件，因此本文对柯西积分的推广作了一个归纳。一 柯西积定理与柯西积分公式1.柯西积分定理我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域任何闭曲线的积分值是否为零的问题1825年，柯西肯定

4、地回答了上述问题，得到了著名的柯西积分定理1. 柯西积分定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性质,都是由这个定理派生出来的.在本文我们只需要知道相关的两个定理： 定理1.（柯西积分定理）设函数在平面上的单连通区域上解析，为内任一条周线，则定理2. （复周线的柯西积分定理） 设是复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则.或写成 或写成 .1. 柯西积分公式 定理3（柯西积分公式） 设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有 .此式反映了解析函数值之间很强的内在联系：在曲线内任一点的值可以由在边界曲线上的值来决定，而实函数却不具有此性质.证明：复周线

5、柯西积分定理又可写成 图一任意固定，作为的函数在内除点外均解析以点为心，充分小的（即为图一的）为半径做圆周，使及其内部均含于，对于复周线及函数应用复周线柯西积分定理得：而前面我们已经知道因此 又根据的连续性知对，只要时，就有 于是由的任意性即知，有 （） 故有 二 留数定理及其与柯西积分的关系1. 留数定理 留数理论是柯西积分理论的继续,留数定理把计算周线积分的整体问题，化为计算各孤立奇处留数的局部问题。留数的定义：设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心领域内解析，则称积分 （，）为在点的留数，记为.定理4（留数定理） 在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”

6、积分） 证明：在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，以为心，充分小的正数为半径画圆周（），使这些圆周及其内部均含于，并且彼此互相隔离，应用复周线柯西积分定理得图二 .由留数的定义，有 .代入上式，即有 故由柯西积分定理可以推得留数定理.2.留数的求法 为了应用留数定理求周线积分,首先应该掌握求留数的方法.而计算在孤立奇点的留数时我们只关心其洛朗展式中的这 一项的系数,所以应用洛朗展式求留数是一般方法.定理5 设为的一阶极点（只要及在点解析，且，），则.定理6 设为的阶极点，其中在点解析，则这里代表且有3.留数定理与柯西积分的关系由留数定理可以推出柯西积分定理、柯西积分公式、

7、高阶导数公式，过程如下：若被积函数在积分回路内为解析函数，则在内无奇点，故被积函数的留数为零.由留数定理，有 此式即为复变函数积分的柯西定理：单通区域内的解析函数内闭路的积分为零.若被积函数在积分回路内有一阶极点，考察积分,其中为积分回路的内点，则是被积函数的一阶极点.由留数定理以及一阶极点留数的计算公式，有 所以 此式即是复变函数积分的柯西公式.若被积函数在积分回路内有阶极点，考察积分,其中为积分回路的内点，则是被积函数的阶极点.由留数定理以及阶极点留数的计算公式，有 所以三柯西积分公式的推广1.高阶导数公式由柯西积分公式在积分号下求导数,可推测并能证明下面的高阶导数公式.定理7. 设区域的

8、边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，函数在区域内有各阶导数，并且有 .这是一个用解析函数的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式.说明： （1）解析函数在其解析的区域内可以求导任意多次,（即任意阶导数都存在），并且它们都在D内解析，这是解析函数的又一重要特点。（2）对复连通区域，高阶导数公式依然成立（积分沿内、外边界线的正方向进行）。（3）高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分。（求导运算比积分运算要简单的多）。2.处的柯西积分公式定理8. 如果函数在简单闭曲线的外区域内及上每一点解析，并且，那么 ， 这里的积分是按照反时针方向选取的.图三说明：（1）在闭合

9、曲线C的外部解析；（2）当时一致地趋于零；（3）是闭合曲线C的外部的任意一点；（4）积分应沿闭曲线C的顺时钟方向进行（相对于闭曲线C外部的区域而言，依然为沿区域边界线的正方向进行积分）.3.复连通区域中的柯西公式 设函数在闭复连通区域中解析，的边界由外边界线和内边界线，组成。 则函数在闭复连通区域内任意一点z的函数值可以用它在边界上的值表示出来： 图四说明：在上述积分公式中积分路径包括复连通区域的全部边界，C=C0+C1-+C2-+Cn-，全部积分均沿所有边界线的正方向进行。（对外边界线，其正方向为沿逆时钟方向；对内边界线，其正方向为沿顺时钟方向.）4.在积分路径上的柯西积分公式 我们一般讨论

10、的复积分，要求被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分定理或柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能用柯西积分定理或柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果下面结合条件相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式定理9. 设区域的边界是周线（或复周线），在内解析，在上连续，且在上满足条件，即，则有，（）四 柯西积分公式在积分中的应用 柯西积分公式较柯西积分定理的高级之处在于它可以解决积分曲线内有被积函数的奇点且被积函数不是特殊函数的积分问题，它提供了一种计算积

11、分的方法，更重要的是通过柯西积分公式可以把对解析函数的研究化为对柯西积分的研究下面举例说明柯西积分公式公式在积分计算中的应用.例1：求，其中为圆周分析：函数在内解析，在内有唯一奇点. 可以应用柯西积分公式求解.解：是奇点，但是只有在圆周内，且在内解析，所以例2：求积分，其中为圆周：分析：是被积函数的奇点,且都在的内部,不能直接套用柯西积分公式，可以分别应用因式分解和复围线的柯西定理,将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形,然后再用柯西积分公式进行求解.解法1：先将被积函数分解为部分分式,再应用柯西积分公式.解法2：分别以为圆心, 为半径作小圆,使，互不相交且都在的内部.此时,被积函数

12、 在,内都只有1个奇点,应用复围线的柯西定理有 再由柯西积分公式，得 例3：计算积分分析：的两个奇点，都在内，而的分母的次数大于2次，用高阶导数公式计算.解：在内作互不相交互不包含的周线,，使分别包含0和2，由柯西积分定理和高阶导数公式，有 例4：计算积分,其中分析：有50个奇点，如果用柯西积分公式计算会很麻烦，所以用处的柯西积分公式简便.解：因为函数在解析，并且，所以根据定理3.3.3可以得到：.例5：计算积分：.分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3.3.4来求解就简单多了解：设，满足条件，且的奇点在积分路径上，由定理3.3.4得 由约当引

13、理知，所以.例6：计算积分： 其中是不通过点0，1的周线分析：依题意积分路径有3中情形，（I）都在的外部；（II）在的内部，而在的外部；（III）在的内部，而在的外部；（IV）都在的内部.面根据分析的四中情况分别求出其积分值解：（i)若都在的外部，则被积函数在以为边界的闭域上解析.由柯西积分定理知 （ii)若在的内部，而在的外部，则由复周线的柯西积分定理知 其中是以为心且包含在内部的任意小圆周 (iii)若在的内部，而在的外部，同理有 其中是以为心且包含在内部的任意小圆周 (iv)若都在的内部，则由复围线的柯西积分定理知 小结：柯西积分公式可写为 柯西积分公式是解析函数的积分表达式，在中任意值可由它表示，即用边界值确定内部值 使用柯西积分公式的关键是要在内处处解析，且应在内. 若被积函数在内只有个奇点则可以直接应用柯西积分公式；若被积函数在内有个以上奇点，则可以先将被积函数分解为部分分式，使每个积分的被积函数在内只有个奇点，再应