中考数学一轮复习 第23课 矩形、菱形、正方形导学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、第23课 矩形、菱形、正方形【考点梳理】：1.几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握： 平行四边形； 一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握： 平行四边形； 一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特

2、征，是一种非常完美的图形（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：一组对边平行； 一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形2几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： 边：对边平行且相等； 角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相平分且相等； 对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）（2）菱形：边：四条边都相等； 角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； 对称性：轴对称图形（对角线所

3、在直线，2条）（3）正方形：边：四条边都相等； 角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； 对称性：轴对称图形（4条）（4）等腰梯形：边：上下底平行但不相等，两腰相等； 角：同一底边上的两个角相等；对角互补对角线：对角线相等； 对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）3几种特殊四边形的判定方法思考与收获（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形； 四条边都相等（3）正方形的判定：满足下列

4、条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 有一组邻边相等 的矩形； 对角线互相垂直 的矩形 有一个角是直角 的菱形 对角线相等 的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 同一底两个底角相等的梯形； 对角线相等的梯形4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形abcd的任意一个角为直角 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形abcd的对角线相等 说明四边形abcd的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形abcd

5、的任一组邻边相等 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明对角线互相垂直 说明四边形abcd的四条相等（3）识别正方形的常用方法 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明平行四边形abcd的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形abcd为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形abcd为矩形，再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形abcd为菱形，再说明菱形abcd的一个角为直角（4）识别等腰梯形的常用方法 先说明四边形abcd为梯形，再说明两腰相等 先说明四边形abcd为梯形，再说明同一底上的两个内角相等 先说明四边形abcd为梯形，再说明对角线相等5几种特殊四边形的面积问题

6、设矩形abcd的两邻边长分别为a,b，则s矩形=ab思考与收获 设菱形abcd的一边长为a，高为h，则s菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则s菱形= 设正方形abcd的一边长为a，则s正方形=；若正方形的对角线的长为a，则s正方形= 设梯形abcd的上底为a，下底为b，高为h，则s梯形=【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：矩形的性质和判定【例题赏析】(1) （2015，广西玉林，11，3分）如图，abcd是矩形纸片，翻折b，d，使ad，bc边与对角线ac重叠，且顶点b，d恰好落在同一点o上，折痕分别是ce，af，则等于（）a b2c1.5d考点：翻折变换（折叠问题）分析：根据

7、矩形的性质和折叠的性质，得到ao=ad，co=bc，aoe=cof=90°，从而ao=co，ac=ao+co=ad+bc=2bc，得到cab=30°，acb=60°，进一步得到bce=，所以be=，再证明aoecof，得到oe=of，所以四边形aecf为菱形，所以ae=ce，得到be=，即可解答解答：解：abcd是矩形，ad=bc，b=90°，翻折b，d，使ad，bc边与对角线ac重叠，且顶点b，d恰好落在同一点o上，ao=ad，co=bc，aoe=cof=90°，ao=co，ac=ao+co=ad+bc=2bc，cab=30°，ac

8、b=60°，思考与收获bce=，be=abcd，oae=fco，在aoe和cof中，aoecof，oe=of，ef与ac互相垂直平分，四边形aecf为菱形，ae=ce，be=，=2，故选：b点评：本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形的性质得到cab=30°，进而得到be=，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题(2) （2015广东茂名14，3分）如图，将矩形abcd沿对角线bd折叠，使点c与c重合若ab=3，则cd的长为3考点： 翻折变换（折叠问题）思考与收获分析： 根据矩形的对边相等可得cd=ab，再根据翻折变换的性质可得cd=cd，

9、代入数据即可得解解答： 解：在矩形abcd中，cd=ab，矩形abcd沿对角线bd折叠后点c和点c重合，cd=cd，cd=ab，ab=3，cd=3故答案为3点评： 本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键【考点二】：菱形的性质与判定【例题赏析】(1) （2015，广西钦州，6，3分）如图，要使abcd成为菱形，则需添加的一个条件是（）aac=ad bba=bc cabc=90° d ac=bd考点：菱形的判定专题：证明题分析：利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证解答：解：如图，要使abcd成为菱形，则需添加的一个条件是ba=bc，故选b思考与收

10、获点评：此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键(2) （2015福建龙岩10，4分）如图，菱形abcd的周长为16，abc=120°，则ac的长为（）a4b4c2d2考点：菱形的性质分析：连接ac交bd于点e，则bae=60°，根据菱形的周长求出ab的长度，在rtabe中，求出be，继而可得出bd的长解答：解：在菱形abcd中，abc=120°，bae=60°，acbd，菱形abcd的周长为16，ab=4，在rtabe中，ae=absinbae=4×=2，故可得ac=2ae=4故选a点评：此题考查了菱形的性质，属于基础题，解

11、答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角【考点三】：正方形的性质与判定【例题赏析】思考与收获(1) （2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形abcd的边长为6，点e、f分别在ab，ad上，若ce=3，且ecf=45°，则cf的长为（）a2b3cd考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：首先延长fd到g，使dg=be，利用正方形的性质得b=cdf=cdg=90°，cb=cd；利用sas定理得bcedcg，利用全等三角形的性质易得gcfecf，利用勾股定理可得ae=3，设af=x，利用g

12、f=ef，解得x，利用勾股定理可得cf解答：解：如图，延长fd到g，使dg=be；连接cg、ef；四边形abcd为正方形，在bce与dcg中，bcedcg（sas），cg=ce，dcg=bce，gcf=45°，在gcf与ecf中，gcfecf（sas），gf=ef，ce=3，cb=6，be=3，ae=3，设af=x，则df=6x，gf=3+（6x）=9x，思考与收获ef=，（9x）2=9+x2，x=4，即af=4，gf=5，df=2，cf=2，故选a点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键(2) （2015，广西玉林，18，

13、3分）如图，已知正方形abcd边长为3，点e在ab边上且be=1，点p，q分别是边bc，cd的动点（均不与顶点重合），当四边形aepq的周长取最小值时，四边形aepq的面积是3考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质专题：计算题思考与收获分析：根据最短路径的求法，先确定点e关于bc的对称点e，再确定点a关于dc的对称点a，连接ae即可得出p，q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形aepq的面积解答：解：如图1所示，作e关于bc的对称点e，点a关于dc的对称点a，连接ae，四边形aepq的周长最小，ad=ad=3，be=be=1，aa=6，ae=4dqae，d是aa的中点，dq是a

14、ae的中位线，dq=ae=2；cq=dccq=32=1，bpaa，bepaea，=，即=，bp=，cp=bcbp=3=，s四边形aepq=s正方形abcdsadqspcqsbep=9addqcqcpbebp=9×3×2×1××1×=，故答案为：点评：本题考查了轴对称，利用轴对称确定a、e，连接ae得出p、q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法【考点四】：特殊平行四边形的探索题 【例题赏析】思考与收获(1) （2015四川成都,第27题10分）已知ac，ec分别是四边形abcd和efdg的对角线

15、，点e在abc内，cae+cbe=90°（1）如图，当四边形abcd和efcg均为正方形时，连接bf（i）求证：caecbf；（ii）若be=1，ae=2，求ce的长；（2）如图，当四边形abcd和efcg均为矩形，且=k时，若be=1，ae=2，ce=3，求k的值；（3）如图，当四边形abcd和efcg均为菱形，且dab=gef=45°时，设be=m，ae=n，ce=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程）考点：四边形综合题.分析：（1）（i）首先根据四边形abcd和efcg均为正方形，可得，ace=bcf；然后根据相似三角形判定的方法

16、，推得caecbf即可（ii）首先根据caecbf，判断出cae=cbf，再根据cae+cbe=90°，判断出ebf=90°；然后在rtbef中，根据勾股定理，求出ef的长度，再根据ce、ef的关系，求出ce的长是多少即可（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出acebcf，即可判断出，据此求出bf的长度是多少；然后判断出ebf=90°，在rtbef中，根据勾股定理，求出ef的值是多少，进而求出k的值是多少即可（3）首先根据dab=45°，可得abc=180°45°=135°，在abc中，根据余弦定理，可得；然后根据相似三

17、角形判定的方法，判断出acebcf，即可用n表示出bf的值；最后判断出ebf=90°，在rtbef中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可解答：（1）（i）证明：四边形abcd和efcg均为正方形，思考与收获，acb=ecf=45°，ace=bcf，在cae和cbf中，caecbf（ii）解：caecbf，cae=cbf，又cae+cbe=90°，cbf+cbe=90°，ebf=90°，又，ae=2，ef2=be2+bf2=3，ef=，ce2=2ef2=6，ce=（2）如图，连接bf，=k，思考与收获bc=a，ab=ka，f

18、c=b，ef=kb，ac=，ce=，ace=bcf，在ace和bcf中，acebcf，cae=cbf，又ae=2，bf=，cae=cbf，cae+cbe=90°，cbe+cbf=90°，ebf=90°，ef2=be2+bf2=1，=，ce=3，ef=，1，解得k=±，思考与收获=k0，k=（3）dab=45°，abc=180°45°=135°，在abc中，根据余弦定理，可得ac2=ab2+bc22abbccos135°=2=在ace和bcf中，acebcf，cae=cbf，又ae=n，cae=cbf，ca

19、e+cbe=90°，cbe+cbf=90°，ebf=90°，ef2=be2+bf2，（2）m2+n2=p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2）m2+n2=p2点评：（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握（4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握(2) （2015四川凉山州第21题8分）如图，在正方形abcd中，g是bc上任意一点，连接ag，deag于e，

20、bfde交ag于f，探究线段af、bf、ef三者之间的数量关系，并说明理由考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质.分析：根据正方形的性质，可得ab=ad，dab=abc=90°，根据余角的性质，可得ade=baf，根据全等三角形的判定与性质，可得bf与ae的关系，再根据等量代换，可得答案解答：解：线段af、bf、ef三者之间的数量关系af=bf+ef，理由如下：四边形abcd是正方形，ab=ad，dab=abc=90°deag于e，bfde交ag于f，aed=def=afb=90°，ade+dae=90°，dae+baf=90°，ade=b

21、af在abf和dae中，abfdae （aas），bf=aeaf=ae+ef，af=bf+ef点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换思考与收获【真题专练】1. （2015梧州,第11题3分）如图，在菱形abcd中，b=60°，ab=1，延长ad到点e，使de=ad，延长cd到点f，使df=cd，连接ac、ce、ef、af，则下列描述正确的是（） a 四边形acef是平行四边形，它的周长是4 b 四边形acef是矩形，它的周长是2+2 c 四边形acef是平行四边形，它的周长是4 d 四边形acef是矩形，它的周长是4+

22、42. （2015贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形abcd是菱形，ac=8，db=6，dhab于h，则dh=（）a bc12d243. （2015辽宁省朝阳,第题3分）如图，在矩形abcd中，ab=5，bc=7，点e为bc上一动点，把abe沿ae折叠，当点b的对应点b落在adc的角平分线上时，则点b到bc的距离为（）思考与收获a1或2b2或3c3或4d4或54（2015黔西南州）（第3题）如图，在菱形abcd中，ac与bd相交于点o，ac=8，bd=6，则菱形的边长ab等于（） a 10 b c 6 d 55. （2015丹东，第7题3分）过矩形abcd的对角线ac的中点o作efac，

23、交bc边于点e，交ad边于点f，分别连接ae、cf若ab=，dcf=30°，则ef的长为（） a 2 b 3 c d 思考与收获6. （2015辽宁抚顺）（第10题，3分）如图，将矩形abcd绕点a旋转至矩形abcd位置，此时ac的中点恰好与d点重合，ab交cd于点e若ab=3，则aec的面积为（）a3b1.5c2d7. （2015内蒙古赤峰12，3分）如图，m、n分别是正方形abcd边dc、ab的中点，分别以ae、bf为折痕，使点d、点c落在mn的点g处，则abg是 三角形8. （2015广东龙岩16，3分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的

24、腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有 个思考与收获9. （2015梧州,第25题12分）如图，在正方形abcd中，点p在ad上，且不与a、d重合，bp的垂直平分线分别交cd、ab于e、f两点，垂足为q，过e作ehab于h（1）求证：hf=ap；（2）若正方形abcd的边长为12，ap=4，求线段eq的长10. （2015四川攀枝花第22题12分）如图1，矩形abcd的两条边在坐标轴上，点d与坐标原点o重合，且ad=8，ab=6如图2，矩形abcd沿ob方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点p从a点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形abcd的边ab经过点b向点c运动

25、，当点p到达点c时，矩形abcd和点p同时停止运动，设点p的运动时间为t秒 （1）当t=5时，请直接写出点d、点p的坐标；思考与收获（2）当点p在线段ab或线段bc上运动时，求出pbd的面积s关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；（3）点p在线段ab或线段bc上运动时，作pex轴，垂足为点e，当peo与bcd相似时，求出相应的t值【真题演练参考答案】1. （2015梧州,第11题3分）如图，在菱形abcd中，b=60°，ab=1，延长ad到点e，使de=ad，延长cd到点f，使df=cd，连接ac、ce、ef、af，则下列描述正确的是（） a 四边形acef是平行四边形，它的周

26、长是4 b 四边形acef是矩形，它的周长是2+2 c 四边形acef是平行四边形，它的周长是4 d 四边形acef是矩形，它的周长是4+4考点： 菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质所有分析： 首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可解答： 解：de=ad，df=cd，四边形acef是平行四边形，四边形abcd为菱形，ad=cd，ae=cf，四边形acef是矩形，acd是等边三角形，ac=1，ef=ac=1，过点d作dgaf于点g，则ag=fg=ad×cos30°=，af=ce=2ag=，四边形acef的周长为：ac+

27、ce+ef+af=1+1+=2+2，故选b点评： 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大2. （2015贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形abcd是菱形，ac=8，db=6，dhab于h，则dh=（）a bc12d24考点：菱形的性质分析：设对角线相交于点o，根据菱形的对角线互相垂直平分求出ao、bo，再利用勾股定理列式求出ab，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可解答：解：如图，设对角线相交于点o，ac=8，db=6，ao=ac=×8=4，bo=bd=×6=3，由勾股定

28、理的，ab=5，dhab，s菱形abcd=abdh=acbd，即5dh=×8×6，解得dh=故选a点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程3. （2015辽宁省朝阳,第题3分）如图，在矩形abcd中，ab=5，bc=7，点e为bc上一动点，把abe沿ae折叠，当点b的对应点b落在adc的角平分线上时，则点b到bc的距离为（）a1或2b2或3c3或4d4或5考点：翻折变换（折叠问题）分析：如图，连接bd，过点b作bmad于m设dm=bm=x，则am=7x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得

29、到：（7x）2=25x2，通过解方程求得x的值，易得点b到bc的距离解答：解：如图，连接bd，过点b作bmad于m点b的对应点b落在adc的角平分线上，设dm=bm=x，则am=7x，又由折叠的性质知ab=ab=5，在直角amb中，由勾股定理得到：am2=ab2bm2即（7x）2=25x2，解得x=3或x=4，则点b到bc的距离为2或1故选：a点评：本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形amb和等腰直角bdm，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来4（2015黔西南州）（第3题）如图，在菱形abcd中，ac与bd相交于点o，ac=8，bd

30、=6，则菱形的边长ab等于（） a 10 b c 6 d 5考点： 菱形的性质分析： 根据菱形的对角线互相垂直平分求出oa、ob，再利用勾股定理列式进行计算即可得解解答： 解：四边形abcd是菱形，oa=ac，ob=bd，acbd，ac=8，bd=6，oa=4，ob=3，ab=5，即菱形abcd的边长是5故选：d点评： 本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键5. （2015丹东，第7题3分）过矩形abcd的对角线ac的中点o作efac，交bc边于点e，交ad边于点f，分别连接ae、cf若ab=，dcf=30°，则ef的长为（） a 2 b

31、3 c d 考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质分析： 求出acb=dac，然后利用“角角边”证明aof和coe全等，根据全等三角形对应边相等可得oe=of，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形aecf是菱形，再求出ecf=60°，然后判断出cef是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得ef=cf，根据矩形的对边相等可得cd=ab，然后求出cf，从而得解解答： 解：矩形对边adbc，acb=dac，o是ac的中点，ao=co，在aof和coe中，aofcoe（asa），oe=of，又efac，四边形aecf是菱形，dcf=30°，ecf=90°3

32、0°=60°，cef是等边三角形，ef=cf，ab=，cd=ab=，dcf=30°，cf=÷=2，ef=2故选a点评： 本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出cef是等边三角形6. （2015辽宁抚顺）（第10题，3分）如图，将矩形abcd绕点a旋转至矩形abcd位置，此时ac的中点恰好与d点重合，ab交cd于点e若ab=3，则aec的面积为（）a3b1.5c2d考点：旋转的性质.专题：计算题分析：根据旋转后ac的中点恰好与d点重合，利用旋转的性质得到直角三角形acd中，acd=30

33、6;，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到dae为30°，进而得到eac=eca，利用等角对等边得到ae=ce，设ae=ce=x，表示出ad与de，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出ec的长，即可求出三角形aec面积解答：解：旋转后ac的中点恰好与d点重合，即ad=ac=ac，在rtacd中，acd=30°，即dac=60°，bad=60°，dae=30°，eac=acd=30°，ae=ce，在rtade中，设ae=ec=x，则有de=dcec=abec=3x，ad=×3=，根据勾股定理得：

34、x2=（3x）2+（）2，解得：x=2，ec=2，则saec=ecad=，故选d点评：此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键7. （2015内蒙古赤峰12，3分）如图，m、n分别是正方形abcd边dc、ab的中点，分别以ae、bf为折痕，使点d、点c落在mn的点g处，则abg是等边三角形考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；正方形的性质分析：由折叠的性质可知ag=ad，bg=bc，然后根据正方形的性质可知：ad=ab=bc，从而可知：ag=ab=bc解答：解：由折叠的性质可知ag=ad，bg=bc，四边形abcd

35、是正方形，ad=ab=bcag=ab=bcabg是等边三角形故答案为：等边点评：本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质，由折叠的性质证得：ag=ad，bg=bc是解题的关键8. （2015广东龙岩16，3分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有9个考点：正方形的性质；等腰三角形的判定专题：新定义分析：根据把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，可得正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四点，据此解答即可解答：解

36、：如图，正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点故答案为：9点评：（1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的

37、中线、底边上的高相互重合9. （2015梧州,第25题12分）如图，在正方形abcd中，点p在ad上，且不与a、d重合，bp的垂直平分线分别交cd、ab于e、f两点，垂足为q，过e作ehab于h（1）求证：hf=ap；（2）若正方形abcd的边长为12，ap=4，求线段eq的长考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理所有分析： （1）先根据eqbo，ehab得出eqn=bhm=90°根据emq=bmh得出emqbmh，故qem=hbm由asa定理得出apbhfe，故可得出结论；（2）由勾股定理求出bp的长，根据ef是bp的垂直平分线可知bq=bp，再根据锐角三角函数的定义得出qf=bq的长，由（1）知，apbhfe，故ef=bp=4，再根据eq=efqf即可得出结论解答： （1）证明：eqbo，ehab，eqn=bhm=90°emq=bmh，emqbmh，qem=hbm在rtapb与rthfe中，apbhfe