常见递推数列类型以及应用

1、高二数学培尖资料高考数学递推数列题型归纳解析类型1递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f (an)解法：这种类型一般利用anS1SnSn 1(n(n1)2)与anSnSn 1f (an) f (an 1)消去 Sn(n 2)或与Snf (Sn Sn 1) (n 2)消去an进行求解。例1:已知数列an前n项和Snan1与an的关系；(2)求通项公式an.解：(1)由 Sn4所以 an 1 an an 11an12“ 1 an 1得:Sn 14 an 1是SnSn1 1(an an 1)n 21)(2)应用类型4( ann 1pan q12an(其中p, q均为常数,(pq(p1)(q1)0

2、)的方法，上式两边同乘以2n 1得：2n 1an 1 2nan 2由內S14 a1项，2为公差的等差数列，所以2nan 2 2(n 1) 2np a11.于是数列2nan是以2为首21 2nan2* 11 *例2:数列an的前n项和为Sn，且a1 1，a. 1 -Sn (n N )，求a2, a3, a4的值及数列a.的通项公3分析:由a11，an 1Sn， n-1， 2， 3，3，得1 c111 c1 , 、41 c1 / 、16a2S1aia3 S2-(a1 a?)，a4S3匚(4a2a3)3333393327由 an 1 an3 (Sn31又a2 =丄，所以an31/口Sn 1) -an

3、 ( n > 2),得 a. i3-(4)n 2(n2),3 3an4 - 31n 1n23 3数列an的通项公式为anSnSnS11")，在n 1时很容易犯错误，需要注意。(n 1)1 3变式：(05,江西，文，已知数列 an的前n项和Sn满足Sn Sn-2=3 ()n1( n3),且S11, S2,2 2求数列an的通项公式解： Sn Sn 2 an an 1，a“ an 1总结：这个类型主要用到公式 annn 1n ,1、n 1(1)anan1(1)3?(1)( 2bn1 bn2 吋bab2A3?( )n1(n 3)，两边同乘以(1)n，可得23?(1)n1 令 bn (

4、 1)nan bn g 13?(-)n1(n 3)2 23?e)22bnb2 3?(l)n1 (l)n2(1)2b2b23?($1(n 3)又a1Si1,a 2 S2类型2bnan1)nbn3?(扩4( 1)nan 1 anf(n)解法：把原递推公式转化为3?(ana2Hif 1 , a3a2f 2，an例1：已知数列an满足a1an 1解：由条件知:anan分别令n 1,2,3,(n3-123?(-)n21)n?(2)nbi1)1a1b21)2a2f (n)an1(n1)。4 3?（1）n1,n为奇数，4 3?（2）n1，n为偶数-,利用累加法（逐差相加法）求解。n(n 1)1），代入上式得

5、（n2印）(a3 a?)(a4 a?)所以an1a11 _1a1n2例2:数列ar1满足nan 1n 1 an 1分析：注意到左右两边系数与下标乘积均为nn 1an 1n 1ann n 1，令bn1 n 1个式子相加得:an，求an。(anan 1 )(11、,11、11、-)(2-)(3-)2341131an1 -2n2n1）个等式累加之，即且a11,求数列 an的通项.弘，则有bmnbn变式：（2004，全国I，理22 .本小题满分14分）已知数列 ®中 a1（卩n将原式两边同除以nn 1 ,变形为可转化为类型一求解.下略.a2k+1=a2k+3k,其中 k=1,2,3,解：a2

6、ka2k 1(1)k，a2k 1a2k3ka2k1a2k3ka2k 1(1)k3k,即 a2k 1a2k 13(1)ka3a13(1),a5a332(1)2a2k 1a2k13k ( 1)k1，且 a2k=a2k-1+( 1)K,（I）求a3, a5；（ II）求 an的通项公式将以上k个式子相加，得a2k 1a1(3 323k)(21) ( 1)将a11代入，得a2k3k12(1)k 1, a2k1)k |(3k 1)：(2 212a2k1( 1)k3k经检验ai1也适合,an1（n为奇数）类型 3 an 1 f (n)an解法：把原递推公式转化为an1)k 1* 1)k 1。n321 (

7、1)。1( n为偶数)f （n）,利用累乘法（逐商相乘法）求解。a3f 1 ,f 24a2a21 , n 1个式子相乘得:anan 1na1k例1：已知数列an满足aian1an，求解：由条件知色匸an分别令1,2,3,(n1），代入上式得(n1）个等式累乘之,鱼？a1a2a3anan 1anaian23n例2：数列an中,印2,且 anan的通项.解: Q % 1 1an,n 1a 1k 12变式：（2004，全国I,理15.）已知数列 an，满足 31 = 1 ,ana1 2a2(k 1)3a3(n1)an 1(n > 2)，则an的通项an解：由已知，得an 1a1 2a23a3(n 1)an 1 nan,用此式减去已知式,当n 2时，an 1an nan，即 an 1(n 1)an，又 a2a1印1鱼1亟3色a1a?a3