洛伦兹变换的详细推导

1、第三节洛伦兹变换式教学内容：1 .洛伦兹变换式的推导；2,狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点:狭义相对论时空观的主要结论。基本要求：1, 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2, 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3, 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导x vtX= i=u J 2t vx cJi - (V/C) 2Ji- (V C)据狭义相对论的 两个基本假设 来推导洛仑兹变换式。1 .时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间 和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

2、对于任意事件P在S系和S系 中1的时空坐标(x, y, z, t)、 (x, y, z, t),因S相对于S以平行于 x轴的速度v作匀速 运动，显然有 y=y,z=z o在S系中观察S系的原点，x=0 ;在S系中观察该点， x= -vt,即 x+vt=O。因此 x=x +vt o在任意的一个空间点上，可以设： x=k( x + vt) , k是一比例常数。同样地可得到：X=k ( x-vt)= k (x+ (-v)t)根据相对性原理，惯性系 S系和S系等价，上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号)，所以 k=k2? 由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S系的原点重合的瞬时从重合点沿 x

3、轴前进，那么在任一瞬时t(或t),光信号 到达点在s系和S系中的坐标分别是：x=ct, x=ct,贝，xx = c2tt = k2 x- vt x vt = k 2 ct - vt ct vt=k2tt(c2V2由此得到 1 (v/c) 2vtf这样，就得到 1 一 VCt - VX C22得到勺1 一 V/ c；若消去x得到x vtM - ( V 由上面二式，消去xt VX CJi(V/ C)2综合以上结果就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换vtt VX c2-2V1 v C)可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果O3. 讨论(1)可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律

4、则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象,故它有一定的适用范围。(2)当|v/c|c,uc,所以At与At同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒(4)上述情况是相对的。同理在 S系中不同地点同时发生的两个事件，在 S系看来同样 也是不同时的。(5)当v 5寸t t,回到牛顿力学。八长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒AB静止于S系中1= X2 一 Xi,在S系中同时ti = t2 = t测量=X2 一 Xi由洛伦兹坐标变换式：Xi - VtiX2 - Vt2yi - (v C：Ji-(v cf1. 1 V C2固有长度/-Xi- V t2 tiX2

5、 - XiJi - ( V d Ji -(V, c21 .观察者与被测物体相对静止时， 长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用Io表示。即I = Io2 .洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的iVC倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。讨论：（i）长度缩短效应具有相对性。若在 S系中有一静止物体，那么在 S 系中观察者将 同时测量 得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有r= I Ji - （v/c） 2即看人家运动着的尺子变短了。（2）当 vc 时，有 I I由洛伦兹变换得:、时间膨胀（时间延缓）Ji- (V c) 2,事

6、件Pi、P2在S系t2-1： V X2 - Xi c2中的时间间隔为t = 12 ti，事件P!、P2在S系中的时间间隔为 t 二 t2 ti。如果在S系中两事件同地点发生，即X2 = Xi ,则有:1.固有时间（原时）的概念Ji - Iv/C)2在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用0表示，且:Ji-(v C)22 .时间膨胀A t斤c在S系看来：0，称为时间膨胀。3 .讨论（i）时间膨胀效应具有相对性。若在 S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为 At （称为原时），则同理有即看人家运动着的钟变慢了例i :在惯性系S中，有两个事件同时发生，在 XX轴

7、上相距3i.0 i0 m处，从另一惯性系s中观察到这两个事件相距2.0 i0 m 。3S系测得此两事件的时间间隔为多少?即 t = t2 - J 0隔为由题意知，在一二一片=i.0 汇 i0X2i X ；S系中，tA ti（X2 - XJ- V （ t2 ti）时间间隔为 m而右玄丢士/tAti,空间间。而在S系看来,X2 - X； = 22 i03由洛伦繇坐VV翌B式得t八t tt = t2 -t 厂-2 X1 X2C由（1）式得代入（2）式得V七 2 - 12 X2 - Xic(WC) 22 12X2 - X1-2 X2 - XiX-3 x 2 103X31032c3 1035.77 10 s例2：半人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为 4.3 10C设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999C,按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算， 往返 一次的时间又为多少？-s 2X4.3X10 16At = - =8解：以地球上的时钟计算：v 0.999 3 10 88二 2.87 10 二 9a （a为annual之首字母）;-1 =