第六章 MATLAB的数据建模

1、第6章 MATLAB数据建模 本章主要学习数据挖掘和建模的一些基本方法和相关的MATLAB命令，包括插值，拟合，回归分析，函数逼近等。6.1多项式在MATLAB中，多项式是利用一个行向量来表示的，它的系数是按照降序方式排列的，例如，多项式p1(x)= x3+21x2+20x可以表示为： P1=1 21 20 0 %常数项为0 6.1.1多项式的求值、求根和部分分式展开1. 多项式求值函数polyval可以用来计算多项式在给定变量时的值，是按数组运算规则进行计算的。语法：polyval(p,s)说明：p为多项式, s为给定矩阵。【例6. 1】计算p1(x)= x3+21x2+20x多项式的值。&

2、gt;> p1=1 21 20 0;>> polyval(p1,2) %计算x=2时多项式的值 ans = 132 >>x=0:0.5:3;>>polyval(p1,x) %计算x为向量时多项式的值 ans = 0 15.3750 42.0000 80.6250 132.0000 196.8750 276.0000 2. 多项式求根§ roots用来计算多项式的根。语法：r=roots(p)说明：p为多项式；r为计算的多项式的根，以列向量的形式保存。§ 与函数roots相反，根据多项式的根来计算多项式的系数可以用poly函数来实现。

3、语法：p=poly (r)【例6.1续】计算多项式p1(x)= x3+21x2+20x的根以及由多项式的根得出系数。 >>roots(p1) %计算多项式的根 ans = 0 -20 -1 >> poly(0;-20;-1) %计算多项式的系数 ans = 1 21 20 0 3. 多项式部分分式展开*在许多的工程实际应用中，例如傅里叶变换，拉普拉斯变化和Z变换中，都会出现两个多项式的比值，这时就需要对多项式进行部分分式展开运算，用residue函数来实现将分式表达式进行多项式的部分分式展开成以下形式：语法：r,p,k=residue(b,a)说明：b和a分别是分子和分

4、母多项式系数行向量；r是r1 r2 rn行向量，表示部分分式展开的常数项；p为p1 p2 pn极点行向量；k为余数。【例6.2】将表达式进行部分分式展开。>> p1=1 21 20 0;>> p3=100 200;>> r,p,k=residue(p3,p1) r = -4.7368 -5.2632 10.0000p = -20 -1 0k = 程序分析：表达式展开结果为+0。6.1.2多项式的四则运算1. 加减法MATLAB没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实上，多项式的加减运算，就是其对应的系数向量的加减运算，加减运算时，向量的大小必须相同，缺项的

5、用零补齐。【例6.3】求多项式x3-2x2+5x+3和6x-1的和。>>clear all;>>p1=1 -2 5 3;>>p2=0 0 6 -1;>>c=p1+p2c= 1 -2 11 2也即c= x3-2x2+11x+22. 多项式的乘法和除法§ 多项式的乘法语法：p=conv(pl,p2) 说明：p是多项式p1和p2的乘积多项式。§ 多项式的除法语法：q,r=deconv(pl,p2) 说明：除法不一定会除尽，会有余子式。多项式p1被p2除的商为多项式q，而余子式是r。【例6.4】计算表达式。>> a1=1

6、0; %对应多项式s>> a2=1 1; %对应多项式s+1>> a3=1 20; %对应多项式s+20>> p1=conv(a1,a2) p1 = 1 1 0 >> p1=conv(p1,a3) %计算s(s+1)(s+20) p1 = 1 21 20 0 >> p2,r=deconv(p1,a3) %计算多项式除法的商和余子式 p2 = 1 1 0r = 0 0 0 0 >> conv(p2,a3)+r %用商*除式+余子式验算 ans = 1 21 20 0 3. 多项式的求导*§ 对多项式求导的函数是po

7、lyder，其调用格式为： p=polyder(p1)；求多项式p1的导函数； p=polyder(p1，p2)；求多项式p1和p2乘积的导函数； p,q= polyder(p1，p2)；求多项式p1和p2之商的导函数，p,q分别是导函数的分子和分母。【例6.5】求有理分式f(x)= (x-1)/(x2-x+3)的导函数。>> clear all;>> p1=1 -1;>> p1=1 -1 3;>>p,q=polyder(p1,p2)p= -1 2 2q= 1 -2 7 -6 9结果表明，f(x)=(-x2+2x+2)/(x4-2x3+7x2-6

8、x+9)6.2拟合法在实际工程应用与科学实践中，经常要得到一条光滑的曲线，而实际却只能测得一些分散的数据点，此时，就需要利用这些离散的点，运用各种拟合方法来生成一条连续的曲线。曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。实例：温度曲线问题气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：t012345678910T1315171416192624262729试描绘出温度变化曲线。从已知的一组数据中，找出函数关系y=f(x)，使得（误差）最小，称为最小二乘法曲线拟合。语法：p=polyfit(x,y,n)说明：x、y向量分别为N个数据点的横、纵坐标

9、；n是用来拟合的多项式阶次；p为拟合的多项式，p为n+1个系数构成的行向量。【例6.6】由以下离散数据拟合出多项式并画出曲线拟合图形x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4.81.52程序：>>x=0:.1:1;>>y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2>>n=3;>>p=polyfit(x,y,n) %找出3阶函数关系y=f(x)的系数向量>>xi=linspace(0,1,100);%生成100个X>>yi=polyval(p,xi); %多项式

10、求值>>plot(x,y,o,xi,yi,k:,x,y,b)>>legend(原始数据,3阶曲线) % 添加图例结果：p = 16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035多项式为：y=16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035曲线拟合图形：也可由函数给出数据。【例6.7】由以下函数拟合出多项式并画出曲线拟合图形x=1:20,y=x+3*sin(x)程序：>>x=1:20;>>y=x+3*sin(x);>>p=polyfit(x,y,6) %找出6阶函数关系y=f(x)的系数向量>&

11、gt;xi=1inspace(1,20,100);>>yi=poyval(p,xi); %多项式求值函数>>plot(x,y,o,xi,yi,k:,x,y,b)>>legend(原始数据,6阶曲线) % 添加图例结果：p =0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304 再用10阶多项式拟合程序：>> x=1:20;>>y=x+3*sin(x);>>p=polyfit(x,y,10)>>xi=linspace(1,20,100);>>yi=p

12、olyval(p,xi);>>plot(x,y,'o',xi,yi,'k:',x,y,'b')>>legend('原始数据','10阶多项式') % 添加图例结果：p = Columns 1 through 7 0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360 Columns 8 through 11 -42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671上机练习1：上机练习：例6.6，6.7熟悉拟合法6.3插值法在实际的科

13、研或工程研究中，常常需要在已有数据点的情况下，获得这些数据中间点的数据，如何能够更加光滑准确地得到这些点的数据，就需要使用不同的插值方法进行数据插值。插值运算就是根据有限个数据点的规律，构造一个解析表达式，插值得出相邻数据点之间的数值。实例：海底探测问题某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。并绘出较细致的海底曲面图。MATLAB提供了多种多样的数据插值函数，比较常见的如interp1函数用于实现一维数据插值，interp2函数则实现二维数据插值，lagrange插值，newton插值等，这些插值函数在获得数据的

14、平滑度、时间复杂度和空间复杂度方面性能相差都很大。1. 一维数据插值一维插值是指对一维数据点(xi,yi)进行插值。语法：yi=interp1(x,y,xi,method)说明：x、y为行向量；xi是插值范围内任意点的x坐标，yi则是插值运算后的对应y坐标；method是插值函数的类型，“linear”线性插值(默认)，“nearest”最相邻插值法，“spline”三次样条插值法，“cubic”为三次多项式插值。线性插值：yi=interp1(x,y,xi)，是interp1（）的默认插值函数类型，由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。一般来说，数据

15、点数越多，线性插值就越精确。【例6.8】已知数据：x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4.81.52求当xi=0.25时的yi的值，并画出线性插值，三次样条插值，三次多项式插值的图形。程序：>>x=0:.1:1;>>y=.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2;>>yi0=interp1(x,y,0.25,'linear')yi0 = 0.3500>>xi=0:.02:1;>>yi=interp1(x,y,xi,'linear'); %

16、线性插值(默认)，>>zi=interp1(x,y,xi,'spline'); %三次样条插值法，>>wi=interp1(x,y,xi,'cubic'); %三次多项式插值。% yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。x、y为已知数据点。>>plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')>>legend('原始点','线性点','三次样条','

17、三次多项式') % 添加图例结果：yi0 = 0.3500要得到给定的几个点的对应函数值，可用：>>xi =0.2500 0.3500 0.4500>>yi=interp1(x,y,xi,'spline')结果：yi =1.2088 1.5802 1.3454 2. 二维插值二维插值是指对两个自变量的插值，二维插值与一维插值的基本思想一致，应用原始数据点(x,y,z)，求出插值点数据(xi,yi,zi)。1）二维网格数据插值interp2函数是用来进行二维插值的。语法：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)说明：method

18、是插值函数的类型，“linear”线性插值(默认)，“nearest”最相邻插值法，“spline”三次样条插值法，“cubic”为三次多项式插值。说明：这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。z和x,y之间的关系是z(i,:)=f(x,y(i)，z(:,j)=f(x(j),y) 即：当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。如果没有对x,y赋值，则默认x=1:n, y=1:m。n和m分别是矩阵z的行数和列数。【例6.8】已知某处山区地形选点测量坐标数据为：x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

19、4 4.5 5y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6海拔高度数据为：z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 9

20、6 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87其地貌图为：对数据插值加密形成地貌图。程序：>>x=0:.5:5;>>y=0:.5:6;>>z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91

21、 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87;>>mesh(x,y,z) %绘原始数据图>>xi=linspace(0,5,50); %加密横坐标数据到50个>>yi=linspace(0,6,80); %加密纵坐标数