九年级数学上册3.4直线与圆的位置关系圆的切线中“连接”的妙用素材(新版)青岛版

1、圆的切线中“连接”的妙用利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时， 把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。一、利用圆的切线进行运算例 1 :如图 1,在同心圆OO 中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C,且 AB=6cm 求圆环的面积。分析：因为大圆的弦 AB 切于小圆 C 点，所以连结 0C 可得1求得 ACAB=3 圆环的面积是大圆面积与小圆面积

2、的差，连结OA此时 0A 为大圆半径,20C 为小圆半径，在 RtAOC 中，利用勾股定理可求出（OA20C的值，就可求出圆环的面积。解：连结 OG 0A1/ AB 切小圆于点 COCL AB ACAB=32在 RtAOC 中,/ OA OC=AC=9222222S圆环=S大圆S小圆=A -OC丫二AC i=9 二（cm）答：圆环的面积是 9ncm。、禾 U 用圆的切线进行证明例 2 :如图 2, AB 为OO的直径，C 为OO上一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足OCL AB,进而根据垂径定理2为Do求证：AC 平分/ DABn分析：要证明 AC 平分/ DAB 就是要证/仁/ 2。

3、C 为切点，连结 0C可得 OCLAC 进而证得 AD/ OC 得到/I=/3,其它问题就会迎刃而解。证明：连结 OCCD 为 O 的切线OCLCD又 ADLCD AD/ OC1=/ 3/ OA=OC/2=/3/1=/2即 AC 平分/ DAB三、证明圆的切线例 3，如图 3，在AEF 中，/ BAC 的平分线 AD 与AEF 的外接圆OO交于 D 点，过 D 点作 BC/EF,分别交 AE 和 AF 的延长线于点 B 和点 C。求证：BC 为OO的切线。分析：要证明 BC 为OO的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：BC 要过半径的外端； BC 要与这条半径垂直。现在 BC 恰好过OO上的

4、 一点 D,连结 OD 条件就自然具备了，只要证明 ODL BC 问题就会解决。因为 AD 平分/ BAC 所以可得DE二DF，根据垂径定理可知 ODL EF,3再利用 EF/ BC 可证得 ODL BG证明：连结 OD/ AD 平分/ BACDE =DFTOD 为 O 的半径ODL EF4又 EF/ BC试一试:1、如图 4, AB 为OO的直径，OO 过 BC 上一点 D,过 D 作 DEL AC 于 E 点。求证：BD=CD图2、如图 5,在OO中，半径 OALOB 弦 BC 交 OA 于点 D, E 为 OA 延长线上的一点，且EC=ED求证：EC 是OO的切线。参考答案：1、提示：连结 OD 可得 ODL DE 因为 DELAC,所以 OD/ AQ 由 OA=OB证得，OD 为ABC 的中位线，所以 BD=CD2、提示：连结 OC 在 RtBOD 中，/ OBD-ZODB=9O由 EC=ED 得ZEDCZECDZBDO 由 OB=O（得ZOBDZOCD