第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1、线性代数教案第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵教学目的和要求：了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念.教学重点：矩阵的初等变换、初等矩阵教学难点：矩阵的初等变换.教学方法与手段：传统教学,教练结合课时安排：2课时教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换“初等变换”.定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 对调 数乘 倍

2、加 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.经过初等变换得到, 记作 定义2 等价矩阵：若, 称与等价, 记作 矩阵之间的等价关系有下列性质:(1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 行最简形： 标准形：§2 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初

3、等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2. 3.设性质1 , , 由此可得：对进行一次初等行变换, 相当于给左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 注意： 因此可得：对进行一次初等列变换, 相当于给右乘一个同类型的初等矩阵 性质3 , , , 定理1 可逆可以表示为有限个初等矩阵的乘积 证 必要性 已知, 则满秩, 故存在初等矩阵 及, 使得 , 而与都是初等矩阵 充分性 设，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故可逆.定理2 设, 则存在可逆矩阵和, 使得 证 必要性 已知, 则存在阶初等矩阵和阶, 使得, 令 ,则有充分性 已知, 则由定理1知, 和都

4、可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 , 故, 也就是由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法） （都是初等矩阵） 由此可得：对矩阵 施行“初等行变换”，当前列（的位置）成为时，则后列（的位置）为例2 设 . 用初等变换法求解 故例3 设，试用初等变换法求解 依次作初等行变换 , , 可得 故 例4 判断方阵是否可逆.若可逆，求解 因为，所以，故不可逆，即不存在.注 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程，其中 解： 思考与作业： 习题三 P79:1(1)(4)4, 5讲授内容§3.3 矩阵的秩教学目的和要求：理解矩阵的秩的概念

5、，掌握用初等变换求矩阵的秩.教学重点：矩阵的秩.教学难点：矩阵的秩的定义及计算.教学方法与手段：传统教学,教练结合课时安排：2课时矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用.一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式：在中, 选取行与列, 位于交叉处的个数按照原来的相对位置构成阶行列式, 称为的一个阶子式, 记作对于给定的, 不同的阶子式总共有个定义5. 矩阵的秩：在中，若 (1) 有某个阶子式； (2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话） 称的秩为, 记作, 或者 规定：例6 求下列矩阵的秩，解 ，而的所有三阶子式（4个），所以 二、矩阵的秩的性质及结论性质： 1. ；

6、2. 对于，有3. 若，则中至少有一个，而所有的. 4. 时, 5. 6. 中的一个 7. 中所有的 8. 9. 10.若, 则注 , 若, 称为行满秩矩阵； 若, 称为列满秩矩阵 , 若, 称为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若, 称为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）为满秩方阵 (可逆 为满秩方阵).判断.因为所以可逆.定理1 证明： 只需证明 设, 仅证行变换之(3)的情形： (1) 若, 则有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的阶子式 , 于是可得 (2) 若或者, 构造矩阵 , 由(1)可得 其余情形类似定理2 若, 则 ：行阶梯形 ：行最简形 定理3 若, 则,

7、称为的等价标准形 推论1 若满秩, 则 推论2 三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩的计算，其常用的方法有：1. 只用初等行变换，可把变成阶梯形矩阵.例7 求 其中 解 （阶梯形），有此可看出 2进一步，再进行列初等变换，可化为标准型.在例7中，的特点：左上角为一个阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果经过几次初等变换后即可看出的秩时，就不必再继续将化为阶梯形.例8 求其中 解 至此，易知(不是阶梯矩阵)所以 . 例9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答.已知 ， 求错误解答即 错误原因: 没有注意到利用 来求时,要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却

8、使用了列变换.正确答案思考与作业：习题三 P79:6,7,10讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：线性方程组的解.教学难点：线性方程组有解的条件及应用.教学方法与手段：传统教学,教练结合课时安排：2课时设有个未知数个方程的线性方程组 （1） （1）式可以写成以向量为未知元的向量方程引例 解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程 (3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下： 方程组： 或者 增广矩阵： 设,

9、且的左上角阶子式, 则 ： 行最简形 的同解方程组为 (3.4) 若, 则方程组(3.4)无解： 若, 则方程组(3.4)有解： (1) 时, 方程组(3.4)成为 , , , 是其唯一解 (2) 时, 方程组(3.4)成为 一般解为 其中为任意常数定理5 , （增广矩阵） (1) 有解； (2) 有解时, 若, 则有唯一解； 若, 则有无穷多组解 证明 设, 且的左上角阶子式, 则 （行最简形） 的同解方程组为 （2）（1）若, 则方程组（2)无解，（2）若, 则方程组(2)有解， 当时, 方程组(2)成为，故有唯一解. 当时, 方程组(2)成为 其一般解为 （其中为任意常数）定理6 (1) 有非零解； (2) 有非零解 例10用初等行变换法解引例方程的解 解法二 （初等行变换法） 得 例11 求解, , 解 有无穷多解 同解方程组： 一般解： （为任意常数）例12 求解, , 解 (1) 同解方程组： 一般解： （为任意常数） (2) 同解方程组： 一般解： （为任意常