测量平差在测绘学科中的应用

1、测量平差在测绘学科中的应用测量平差与其他学科一样，是由于生产的需要而产生的，并在生产实践的过程中，随着科学技术的进步而发展。近代测量平差的内容非常丰富，其主要特点是，观测值概念广义化了，从处理随机独立的观测数据，展到可以处理随机相关的数据；扩展了经典测量平差的数学模型，从满秩平差问题，发展到降秩平差问题；从仅处理随机变量，发展到一并处理随机过程；从侧重于平差函数模型的研究，发展到也重视随机模型的研究；从不顾及模型误差，发展到顾及模型误差，针对最小二乘估计的局限性，提出了有偏估计和稳健估计。测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值(平差值)，并评定测量成果的精度。

2、测量平差中经典的估计准则是高斯创立的最小二乘估计准则。测量平差在进行数据处理时建立的函数模型一般都是确定的函数关系，即各种观测量之间都有明确的函数关系，例如：边长、角度与坐标之间的函数关系；水准网平差中的高程与高差之间的函数关系；GPS数据处理中的GPS卫星的伪距以及已知的卫星位置与接收机所在点的三个坐标之间，载波相位观测量以及已知的卫星位置与接收机所在点的三个坐标之间都是确定的函数关系；大地高、正常高与高程异常之间的函数关系式；卫星受摄动的轨道与六个轨道根数之间等等。1 测量平差在变形监测中的应用在测量工作的实践和科学研究的活动中，变形观测占有重要的位置，而平差对于变形监测中的数据处理有着十

3、分重要的作用。在工程建筑物的兴建中，从工程施工开始到竣工，以及建成后整个工程的运营期间都要不断的对工程建筑物进行监测，以便掌握工程建筑物变形的情况，及时发现问题，保证工程建筑物的安全，不论绝对网还是相对网，在观测期间网点位置均不能认为是没有变动的，即网中任意一点的稳定性必须进行检验。所谓对给定的控制网考察其可监测性，就是要预期该网可能监测到的最小变形量及方向。假定各观测点第一期真值为X1，第二期各点真值为X2，两期观测期间发生的位移量真值d，则： X2=X1+d (a)第一期的自由网平差的误差方程及基准条件方程: V1=A1X1-l1GTX1=0 误差方程解为： =N-1A1TP1l1=N-1

4、-GGT 第二期的自由网平差时，其误差方程与原来自由网平差第二期的误差方程相同，但其平差基准发生变化，是仍采用第一期的平差基准，以便保证基准一致性。现在将第二期自由网平差的误差方程及第一期的基准条件组合： V2=A2X2-l2GTX1=0 (b)将式(a)带入式(b)的第二式得： GTX2=GTd (c)式(c)就是用第二期近似高程或坐标值的改正值及真位移量表示的第一期基准。将(b)的第一式与(c)联合组成误差方程组得： V2'=A2X2'-l2 GTX2'=GTd (d)将(d)的第一式在最小二乘条件VTPV=min下求解得到法方程组 NX2'=A2TP2l2

5、 GTX2'=GTd (e)其中N不存在逆矩阵，将（e）第一式两边乘以G并加到第二式可以得到 N+GGT X2'=ATP2l2+GGTd 由于N+GGT 可逆，解之。并代入以下式子 =N-1A2TP2l2=N-1-GGT 就有 X2'=X2-N-1GGT X2+N-1GGT d (f)其中 N=N+ GGT ，因为真位移量可以近似表示为： d=X2-X1 (g)将(g)代入(f)就可以得出第二期观测数据在第一期基准下平差后的近似高程或坐标值的改正数，其值为X2'=X2N-1GGT X1，则同一基准下的位移量计算值为d=X2'-X1=d-N-1GGT d，

6、其中d=X2-X1。d是两期观测资料分别平差时的各点位移量，d就是基准一致性前提下，推导出的两期观测平差后各点的位移向量。在多期观测数据中如何合理地判断点的稳定性和计算位移量，这值得讨论。以往对多期观测数据的处理都是认为稳定点在不同观测期间将不发生变化，即网型不变，这只是一种理想化状态，但是实际中网型可能发生变化。如某期观测时部分稳定点被破坏，或者是对被破坏点重新埋设，此时网型都发生变化。平差时的基准也随之发生变化，已不是原来的基准。1.1 监测网稳定性分析对于以上问题的解决我们可以设计如下一个观测网型。如在图1中，共有n个点，若作了m期观测，现在欲判断第ij两期的发生位移点及位移量的大小。其

7、中第j期观测时t号点被破坏，与t号点相关的几个观测量没有观测，此时网型发生变化。这就形成两期观测的基准不一致。同时对每个点的稳定程度也是未知的，即各个点稳定的权未知。 图一 水准网网型监测网稳定性分析思路为：(1)对多期观测数据作自由网整体平差，将各点在各期间视为互不相同的点，各观测周期数据看成相互独立。(2)计算各期的和。(3)对第i期的平差资料进行相似变换，解决网型不一致的情况。(4)计算位移量dij和协因数阵Qij。(5)计算ij期间的合理参考系，并对位移量dij和协因数阵Qij再作相似变换，解决计算基准与实际基准不相符的情况。(6)再用平均间隙法作稳定点的判断。1.2 监测网稳定性分析

8、的基本理论（1）各期观测数据的自由网整体平差的误差方程组假定对图1的网形作了m期的沉降观测，在m期观测中网型可能发生变化，但观测精度相同。假定每期观测量为r个。 ，其中，=T是表示第i期点的近似高程改正值。=T是第i期的观测数据，A11 A22 Amm是各期的系数阵，权阵Pi只是第i期各观测值的权。（2）组成法方程并求解:将误差方程在最小二乘VTPV=min的条件下求解得出法方程:NXW (h)其中NATPA，WATPL，Nii=AiiTPiAii因自由网平差时N阵是奇异矩阵，不存在凯利逆，由法方程(h)求出的解不唯一。其解为: (i)协因数阵为，为求出方程(i)的唯一解，再给定一个最小范数条

9、件，则可求出的唯一解。，其中，G满足条件，；那么第i期的解为 。（3）对第i期的平差资料进行相似变换：因为前面己假设在第j期观测时第t号点被破坏。现在要将第i期平差值转换到第j期基准下，根据相似变换公式 ，有：，其中 ，。因为第j观测时t号点被破坏，欲将第i期观测的平差资料变换到第j期的基准下，这相似变换公式中稳定点权阵w应取j期的基准，其中第t项就应为0。 （4）计算第i、j观测期间的位移量及协因数阵。第i、j观测期间的位移量及协因数阵计算公式如下：，在上式中，表示的是第i、j两观测期间共同存在点的位移量，是位移量的协因数阵。 （5）我们求尽量与实际相符合的参考系：与实际相符合的参考系可以表

10、示为这是一个未知基准，参考系的系数阵，参考系中各点看成等权时的系数阵，w是参考系的权阵，其作用是对参考系中各点在平差中赋予不同的权重，为对角阵在这里是一个待求量。对于这里的高程网取为：，其中一般取为单位权方差，c为某一合适的常数。那么在上面的几个式中，k表示的是迭代次数。当时停止迭代。一般取一个适当小的数。此时就求出了参考系各点的权阵w。计算出合乎实际的参考系权阵后，就可以对由自由网平差计算的位移和协因数阵作相似变换。变换公式如下： （6）利用平均间隙法判断各点的稳定性。利用相似变换后的位移量及协因数阵就可以判断点的稳定性。平均间隙法流程如下：图二 平均间隙法计算流程对所有的参考点，都进行同样

11、的分解，计算所有的、，然后在所有的中取最大的一个，它相应的点为不稳定点，利用该点对应的作图形一致性检验，若通过则终止，否则重复上述过程。2 测量平差在GPS中的应用 我们以GPS高程拟合的精度分析为例来谈其在GPS中的应用。2.1 GPS高程方法 在测量中常用的高程系统有以参考椭球面为基准面的大地高系统，一般用符号H表示；以大地水准面为基准面的正高系统，用符号表示；以似大地水准面为基准的正常高系统，用符号表示。高程系统间的相互关系如图所示：图三 高程系统间的关系大地水准面到参考椭球面的距离，称为大地水准面差距，记为。大地高与正高之间的关系可以表示为：似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常

12、，记为。大地高与正常高之间的关系可以表示为： 由于采用GPS观测所得到的是点在WGS一84坐标系中的大地高，为了确定出正高或正常高，需要有大地水准面差距或高程异常数据。而我国常用的正常高()则须有一定精度的高程异常值，才能保证由大地高求得。2.2 高程拟合法高程拟合就是利用在范围不大的区域中，高程异常具有一定的几何相关性这一原理，由已知点的、在一定的数学模型和统计准则下求出未知点的高程异常，从而求出待定点的正常高。若要用零次多项式进行高程拟合时，要确定1个参数，因此，需要l个以上的已知点；若要采用一次多项式进行高程拟合，要确定3个参数，需要3个以丘的已知点；若要采用二次多项式进行高程拟合，要确

13、定6个参数，则需要6个以上的己知点。将高程异常表示为下面多项式的形式：零次多项式：一次多项式：二次多项式：其中：（ n为GPS的点数） 利用公共点上GPS测定的大地高和水准测量测定的正常高计算出该点上的高程异常，存在一个这样的公共点，就可以依据上式列出一个方程： 若共存在m个这样的公共点，则可列出m个方程：即有： 其中： 通过最小二乘法可以求解出多项式的系数： 其中：P为权阵，它可以根据水准高程和GPS所测得的大地高的精度来加以确定。按上述方法便可以确定计算点的高程，其精度主要决定于GPS测量的精度。这一方法的优点是概念明了，计算简单，精度高。不过，为描述大地水准面的细节，它需要布设均匀的、密

14、度充分的GPS观测点，并且在这些点上，需要同时具有精密的水准资料。这些要求在实际工作中有时会遇到困难，但是可以预期，随着GPS定位技术的发展和普及，布设足够密度和精度的GPS观测站，将变得容易实现。另外，专家认为，GPS测量和水准测量资料，与重力测量资料(或地形资料)相结合，来精密确定大地水准面的高程，将是一种有潜力的方法。3 测量平差在摄影测量中的应用我们在摄影测量中，进行单张像片空间后方交会误差方程式的建立，利用共线方程求解外方位元元素时，为了提高精度和可靠性，通常需要测四个甚至更多的地面控制点和对应的像点坐标，采用最小二乘平差方法解算。在列出每个点的误差方程式之后，用矩阵形式表示误差方程

15、V=AX-L，根据最小二乘平差原理，有误差方程列出法方程式(ATPA)X=ATPL，像点坐标量测为等精度观测，P为单位矩阵，可得出解。同样，我们在进行相对或绝对定向元素的解算时，同样运用到了间接平差原理来计算相对或绝对定向元素近似值的改正数。可以说，平差在摄影测量的数据处理上起到了很关键的作用。下面，我们以光束法区域网空中三角测量为例来说说平差的处理方法。3.1 光束法区域网平差的基本思想 光速法区域网平差是以一张像片组成的一束光线作为平差的基本单元，以中心投影的共线方程作为平差的数学模型，以相邻像片公共交会点坐标相等、控制点的内业坐标与已知的外业坐标相等为条件，列出控制点和加密点的误差方程式

16、，进行全区域的统一平差计算，解求出每张像片的外方位元素和加密点的地面坐标。 光速法区域网平差主要过程如下：（1） 像片外方位元素和地面点坐标近似值的确定。（2） 逐点建立误差方程式和改化法方程式。（3） 利用边法化边消元循环分块法解求改化法方程式。（4） 求出每张像片的外方位元素。（5） 空间前方交会求得待定点的地面坐标，对于像片公共点连接点取其平均值作为最后成果。光速法区域网平差以像点坐标作为观测值，理论严密，但对原始数据的系统误差十分敏感，只有在较好地预先消除像点坐标的系统误差后，才能得到理想的加密成果。3.2 光速法区域网平差的概算 区域网概算的目的是提供每张像片的外方位元素和加密点地面

17、坐标的近似值，通常用航带法加密成果作为光速法区域网平差的概值。具体过程如下： (1)第一条航带建立自由航带网，用该航带内已知的地面控制点作概略绝对定向，获得加密点概略地面坐标。 (2)以下各条航带，用上条相邻航带的公共点和本航带的控制点作概略定向。 (3)各相邻航带公共点坐标取均值作为地面坐标的近似值。 (4)用每张像片的近似地面坐标，用空间后方交会方法求得各像片的外方位元素的近似值。3.3 误差方程式和法方程式的建立 经区域网概算，获得每张像片的外方位元素和加密点地面坐标的近似值后，就可以用共线条件方程式，列出每张像片上控制点和加密点的误差方程式。对每个像点可列出下列两条关系式，即将共线方程

18、式线性化并写成一般形式得写成矩阵形式为=+-写成一般形式为=- 式中= = = = = =对于外业控制点，如不考虑它的误差，则控制点的坐标改正数。当像点坐标为等权观测时，误差方程式对应的法方程式为 - (j)式(j)含有像片外方位元素改正数和待定点地面坐标改正数两类未知数。对于一个区域来说，通常会有几条、十几条甚至几十条航带，像片数将有几十、几百甚至几千张。每张像片有6个未知数，一个待定点有3个未知数。若全区有条航带，每条航带有张像片，全区有个待定点，则该区域的未知数个数为个。由此组成的法方程将十分庞大。为了计算方便，通常消去一类未知数，保留另一类未知数，形成改化法方程。把式（j）中的系数矩阵

19、和常数项用新的符号代替，写成- 用消元法消去待定点地面坐标改正数得改化法方程式，即 (k) 式（k）的改化法方程式的系数矩阵是大规模的带状矩阵。为了计算方便，通常采用循环分块解法解求未知数。求得每张像片的外方位元素后，可利用双像空间前方交会或多像空间前方交会方法解求全部加密点的地面坐标。多像前方交会是根据共线条件方程，由待定点在不同像片上的所有像点列误差方差式进行解算。下式为共线条件方程经线性化后的误差方程式，即由于每张像片的外方位元素已经求得，就可列出每个待定点的前方交会误差方差式，即如果某待定点在张像片上都有构像，则可列出条误差方程式，解出该点的地面坐标改正数，再加上其近似值就得待定点的地

20、面坐标。4 测量平差在大地测量中的应用利用最小二乘配置法研究大地水准面，这种方法已成为完整的理论并在全球大地测量中试用。 在经典的间接平差基础方程 中，分别是系统参数真值及观测值向量真值，观测值向量 式中为观测值误差，它由相互独立的两个偶然量组成：测站点信号和观测噪声。显然它们各自的均值（或称期望）都是0，经线性化后，得线性方程 (l)式中：。如果在信号中海包括计算点信号，亦即 则(l)式可写为 (m)式中：，此式即为最小二乘配置中的线性方程式。在物理大地测量中，系统部分可理解为是水准椭球参数，比如长半轴,地球动力常数，正常二介带系数及地球自转角速度；随机部分包括地球重力场与椭球参考系之间的不符值，比如，垂线偏差，大地水准面差距。重力异常以