函数概念与其三要素讲解

1、2.1函数的概念及映射教学目标(考试要求)1、学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概 念中的作用.2 、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.3 、了解映射的概念.4 、学习函数的表示方法，会作简单函数的图象.教学重点、难点重点：函数的概念及表示方法，求函数的定义域.难点：映射，函数值域.要点一：映射的概念设A, B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 f,又t A中的任意一个元素 x ,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射. 这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f (x),于是y = f (x) , x称作y的 原象.映射f

2、也可记为 f : A B x f (x)其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域.象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a A,b B,如果元素a和元素b 对应，则元素b叫做元素a的鱼，元素a叫做元素b的原象 说明：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中 f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述.(2) “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 判断某“对应法则”是否为 A-B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一” 的两种特殊对应；应特别注意： A中任一元素在B中应有象，且象唯一；

3、B 中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象.概括为：“有原必有象，而且象唯一”可以多对一，但是不能一对多。看下面的例子：设A, B分别是两个集合，为简明起见，设 A, B分别是两个有 限集A 求正弦 B说明：(2) (3) (4)这三个对应的共同特点是：对于左边集合 A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应 映射的性质：任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；封闭性：映射

4、中集合A的任一元素的象都必须是 B中的元素，不要求B中的每 一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f ,缺一不可;要点二：函数和区间的概念变量和常量在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变 的量，我们称之为常量。 函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对 A中的任意数x,按照确定的法则f,都有 唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合 A上的一个函数.记作y f(x), x A. 函数的定义域与值域：定义域：函数的定义中，自变量x取值的范围叫做这个函数的定义域；值域：所有函数值构成的集合y y f (x),x A叫做

5、这个函数的值域.确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则. 练习：题 1、f(x) x2 2x 3,求 f(0)、f、f(2)、f( 1)的值。一 题 2、求 y x2 2x 3, x 1,0,1,2俯域. 自变量取值范围的确定方法1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。2、当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时， 自变量的取值范围是使分母不为 0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自 变量的取值范围是使被开方数大于等于 0的所有实数，0次幕下的表达式底数不 等于0,对数式函数保证真数大于03、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。4、复合函数的定义域求法根据：函

6、数的定义域都是指自变量“ x”的范围；同 一法则下括号内的范围相同。 区间的概念：在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数， 那麽，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合 0 x 01的实数所构 成的集合，便是一个区间，它包含了 0、1,还有0和1之间的全体实数。其他例子 包括：实数集，负实数组成的集合等。区间在积分理论中起着重要作 设a、b是两个实数，且ab(1)满足不等式awxwb的实数的x集合叫做闭区间，表示为a, b；(2)满足不等式axb的实数的x集合叫做开区问，表示为(a, b);(3)满足不等式a& xb的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为a

7、, b)；(4)满足不等式a a的实数的x集合表示为a , +00);(6)满足不等式xa的实数的x集合表示为(a , +00)；(7)满足不等式xwa的实数的x集合表示为(一8, a；(8)满足不等式xa x|xa、x|x&b、x|xi）时，或伸长（当0wi）或缩短（0A0时，直线y=kx经过三、一象限， 从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0, y随x的增大而增大；k0 时，向上平移；当b0,图象经过第一、三象限；k0,图象经过第一、二象限；b0 , y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0）【或向下（k0）【或下（k0）【或

8、左（h0）【或下（k0）【或左（h0）或左（h0）】平移|k|个单位y=a(x-h)22 .平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移， 概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y ax2 bx c变 成y ax2 bx c m （或 y ax2 bx c m）y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax2 bx c变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c)四、次函数y a x h k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k

9、与y ax2 bx c是两种不同的表达形22式，后者通过配方可以得到前者，即y ax Jb-上泸，其中b , 4ac b25 k 2a 4a五、二次函数yax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称 轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h, c、与x轴的交点x,0 , x2,0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.K、次

10、函数y ax2 bx c的性质1.当a。时，抛物线开口向上，对称轴为x顶点坐标为 2ab 4ac b2，.2a 4a当x2时，y随x的增大而减小；当x上时，y随x的增大而 2 a2a2增大；当x 9时，y有最小值4a3.2a4a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x 9,顶点坐标为 2a2旦竺一当x 2时y随x的增大而增大；当X2时，y随x 2a 4a2a2a的增大而减小；当x 2时，y有最大值竺30. 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1 . 一i 般式：y ax2 bx c ( a , b, c 为常数，a 0)；2 .顶点式：y a(x h)2 k (a, h, k为常数，a 0)

11、；3 .两根式：y a(x x1)(x x2)(a 0,为，x2是抛物线与x轴两交点的 横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函 数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0 .当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大.总结起来，a决定

12、了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开 口方向，|a的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b 0时， A 0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，9 0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时，2 0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a 在a。的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，旦0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b 0时，旦0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时，R 0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴x 2在

13、y轴左边则ab 0,在y轴的2a右侧则ab 0,概括的说就是“左同右异”总结：3 .常数项c当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1

14、.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c;y a x h 2 k关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h? k；2 .关于y轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c;y a x h 2 k关于y轴对称后，得到的解析式是y

15、ax h2 k；3 .关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c;y a x h 2 k关于原点对称后，得到的解析式是y ax h 2 k;4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ;2ay ax h2 k关于顶点对称后，得到的解析式是 y ax h2 k.5 .关于点m, n对称y a x h2 k关于点m,n对称后，得到的解析式是 2y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定 不会发生变化，因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物

16、线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适的形式，习惯上是先确定 原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表 达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一i兀二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时 的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当 b2 4ac。时，图象与x轴交于两点A xi , 0 , B x2, 0 (xi x?),其中的x1，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离AB |

17、x2 xj五三a当 0时，图象与x轴只有一个交点;当 0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ;2,当a。时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .2 .抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0, c）;3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx C中a, b, C的符号，或 由二次函数中a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的

18、图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知 一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性 求出另一个交点坐标.0抛物线与x轴二次二项式的值一元二次方程有两个不相有两个交点可正、可零、可负等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀一次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正兀一次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考:卜一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少三、典

19、型例题精讲例1设函数f(x)的定义域为0, 1, (1)求函数f(x要使F(x) f (1 x) f (1 x2)有意义，必须11x1 m0x2 ,即/r-1 1 x2 12 x 2,x 00 x J2 .答案：0 x . 2例2已知(x, y)的映射f作用下的象是(x+ y, xy).(1)求(一2, 3)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(2, 3),求它的原象.解析：(1) 2+3=1, 2M= 6 ,)的定义域；(2)求函数的f (4x 2)定义域.解析：函数f(x)的定义域为0, 1,应理解为：f只对0, 1内的数作用.(1)要使函数f(x2)有意义，必须满足 0 x2 1即

20、1 x 1.函数f(x2)的定义域为1,1.(2)要使函数fQ反2)有意义， 必须?两0 x 2 1抽象函数的 定义域是指函数 式中x的取值 范围.如函数f(Vx 2)的定义即 2 Vx 3,4x9 函数f(Vx 2)的定义域为4,9.【技巧提示】求函数的定义域就是要使函数有意义时，x的取值范围，不是其他什么代数式的取值范围.又例 函数f(x)的定义域是1,1),则函数2域指f (、& 2)中x的取值范围.F (x) f (1 x) f (1 x )的7义域是解析：函数f(x)的定义域是1,1),即f只对1,1)中的数有意( 2, 3)在f作用下的象为(1, 6).(2) ; x y : 函数

21、f(x)满足2f(x) f( x) 3x 4 ,解这个方程组得x 将其x以x代之，有2f( x) f (x) 3x 4或x 1xy 3y 1 y 3. (2, 3)在f作用下的原象是(3, 1)和(一1, 3).【技巧提示】本例所给的是点集到点集的映射，运用方程的思想不难求解.11 x2例 3设 f (x) =21 x1、1a 35A.12B.3512C. 1D. 0则 f(”叼+f(2)+f(3)=()-一1x215515解析：V f(x) =2, f ()=, f( 2)= , f()=1x23334,5f( 3)=-41 、1f(-) + f() + f( 2) + f ( 3) =0,

22、故选 D.2 31x21【技巧提小】函数f(x) =y的一个重要性质是f(1)= f(x),1 xx一 1 一.即f (1) + f(x) =0.教材第二章“本章小结巩固与提高”中第 18题：已知函 x1 x21数 f (x)=r ,求证：f (-) + f (x) =0.2 xx例 4(1)已知 f(6 1) x 26,求 f(x);提示已知抽象函 数的表达式，则 用解方程组消参 的方法求解f (x) 的解析式.(2)已知函数f(x)满足2f(x) f ( x) 3x 4,求f(x)的解析式. 解析：(1) ; f(Jx 1) x 2或( 1 X2，得 3f (x) 2 (3x 4) ( 3

23、x 4) = 9x 4.4f(x) 3x . 3【技巧提示】 第(1)小题强调一种配凑技巧，需要将 寸仅1看成整体；第(2)小题将其x以x代之时，x正好变成了 x,于是得到了关于f(x)与f( x)的方程组，解方程组便得到函数 f(x)的解析式.1 .又例 已知f(x)+2f(-) =3x,求f(x)的解析式为 x2解析：略答案f(x) 2-x. x例5求下列函数的定义域：(1) f(x) vV4 x2 1f(x)第(2)f(x)1解析：(1)要使函数有意义，当且仅当4 x2 1 即： V3 x 3函数f(x) J/4 x2 1的定义域为J3N3.x 0提示 随着函数学 习的不断深入， 求函数

24、的定义域 的原则会有所增 加.例如，对数 函数，三角函数 对定义域会有特 殊要求.(2)要使已知函数有意义，必须x 11x 2 一1所求函数的止义域为x|x R且x 0, 1, -.(3)要使函数有意义，必须函数定义域为：x | x 1或1 x 0 .(4)要使函数有意义，必须:x 2 3 03x 7 0x R7 x3即x 7 33定义域为：x|x73-【技巧提示】 要使函数有意义，必须让函数的每一项或每一个因式都有意义, 所以往往需要利用解不等式或不等式组确定.例6求下列函数的值域. y 由6 x2 ;(2) y x2 x, x 2,2;(3) y 2x 3 J13 4x(4) y ,2 5

25、x 6(5) y |x 1 |x 1x x 6解析：(1)0 16 x2 16, ; 0 #16 x2 4故所求函数的值域为 y 0,4 .【技巧提示】这就是直接法，或称分析法.2,1、2 11(2) y x x (x )4,又 x 2,2, .6 y -故所求函数的值域为 y 6.4【技巧提示】这就是配方法.又例，求函数y 7x 2 , x 1,2的值域.x31.7x 27249 J 7、2子y 丁 K蓝飞2(x 4)x1 ?3占 1，有 0(一x25164y.亨即为所求函数的值域.(3)设 13 4x13工且t0,13 t2所以原函数的值域与y V 3 t (t 0)相同，故所求函数的值域

26、为2【技巧提示】这就是换元法.通过换元，将所给函数转化成我们熟悉的函数，进而求出值域.利用换元法要注意代换的等价性，及新元的取值范围.本小题可作如下变式y 2x 3 J4x 13 ；变式 y 2x 3 13 4x .函数y xd的定义域为xRx 2且 x -3 ,去分母得(y 1)x2 (y5)x6(y1)(y5)2 4(y 1) 6(y1) 0,由此得 (5y 1)2 0y 1时,5代入得1 5 52(6)2,当y 1时,x Rx 2 且 x-3 y15；代入求得x2,155x6的值域为别式法一般用于能化为关于y的二次方程的函数.解题中要注意二次项系数是否2综上所述，函数y J x【技巧提示

27、】 此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判为0的讨论.本题可将函数式化为y (x 2)(x 3)(x2)(x 3)由此可得于是函数y2 x2 x5x6的值域为(5)将函数yx 1表示为分段函数形2x, x有 y 2, 1 x2x,x 111,图像如右图所示,故原函数的值域为2,【技巧提示】 此就是图象法.数形结合是高中数学一个重要的思想方法,需要加强训练，灵活运用，特别是在学完基本初等函数的图形和性质之后， 很多问题可以用图象法解决.四、课后训练1.设集合A和B都是自然数集合N,映射 f : A-B,把集合A中的元素n映射到集合B中元素n3+n,则在映射f下象68的原象是A. 2B. 3C. 4D. 52 .已知 f 满足 f(ab) = f (a) + f(b),且 f(2) = p , f (3)q那么f(72)等于(3.4.5.B. 3p 2qC.322p 3q D. p q卜列各组函数中，表示同一函数的是