例说数学思维品质的培养.

1、例说数学思维品质的培养 - 浅谈函数定义域的教学 数学组徐同 高中数学课程标准的基本理念中指出，高中数学应使学生获得更高的数学素养，注 重提高学生的数学思维能力。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，这也是数 学教育的基本目标之一，而思维能力的差异主要源于思维品质的优劣。思维品质是指个体思 维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批 判性和思维的敏捷性等品质。所以我认为在日常教学过程中应该充分挖掘新教材，对于具体 的数学问题，既要掌握基础知识达到知识技能目标的要求，也要有意识地充分培养锻炼学生 形成良好的思维品质，从而提高学生的思维能力，逐步养成严

2、谨的科学态度，实现情感态度 与价值观的教学目标。为此，我在教学中充分利用高一数学新教材中关于函数定义域的教学 内容，探索培养学生形成良好的数学思维品质的途径。 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两 大本质要素之一，函数的定义域 ( (或自变量的允许值范围) )似乎是非常简单的，然而在解决问 题中不加以注意，常常会使人误入歧途。 一、 定义域对于函数解析式的影响 例 1.1.有一根长为 100c100cm m 的细铁丝，现要折成一个矩形线圈(没有铁丝重合部分) ，求线 圈的面积 S S 与矩形长 x x 的函数解析式。 解：设矩形线圈的长为 x cmx c

3、m，则宽为(50 (50 x) cm x) cm ,由题意得： S 二 x(50X), 故函数关系式为： S =x(50 -x). 如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 x的取值范围。也就是 说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 x取负数或不小于 5050 的数时，S S 的值是负数，即 矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 x的范围：0 ： x ： 50 即:函数关系式为： S 二 x(50 x) ( 0 ： x : 50 ) 这个例子说明，在应用函数的方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范 围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就说明学

4、生思维缺乏严密性。若注意到定义域的 变化，就说明学生在解题过程中体现出较好的思维严密性。 二、 定义域对函数最值的影响 函数的最值是指函数在给定的定义域上能否取到最大 ( (小) )值的问题。如果不注意定义 域，将会导致最值的错误。如： 例 2 2:求函数y=x2-2x-4在2 2, 5 5上的最值. 解： y = x2-2x-4 = (x-1)2-5 , 当 X 时，ymin - -5. . 初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照在 实数集上求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化，这说明学生思维缺乏灵 活性。 其实以上错误结论只是对二次函数 y

5、二ax2 bx c(a . 0)在 R R 上适用，而在指定的定 义域p,q上，它的最值应受其定义域影响，可分如下情况讨论： 当 p p _ q_ q 时， 2a b f(X)min = f ： 2a 4a f (x)max = maxf (p), f(q) 即最大值是 f (p), f (q)中最大的一个值。 故本题还要继续做下去： / -2 _1 _5 , f (-2) =(-2)2-2 (-2)-4=4 , f(x)max =maxf(-2), f(5) =f (5)=11 函数y=x2-2x-4在2 2, 5 5上的最小值是5 5,最大值是 1111. 此例说明，若能注意定义域的取值范

6、围对函数最值的影响，并在解题过程中加以考虑, 便体现出学生思维的灵活性。 三、定义域对值域的影响 函数的值域是该函数全体函数值的集合， 当定义域和对应法则确定， 函数值也随之而定。 因此在求函数值域时，应注意函数值域受到定义域的制约。如： 例 3 3:求函数y =4x -5 2x -3的值域. 错解：令 t = 2x -3,则2x 二 t2 3 2 2 7 y =2(t 3) -5 t =2t t 1 - 8 故所求的函数值域是?,；). 剖析：经换元后，应有 t =、一 2x - 3 - 0 ,而函数 2t2 t 1在0,+ 0,+ g g) )上是增函数, 所以当 t=0t=0 时，b :

7、 p 时 2a =f (p), f (x)max 当.q时 2a 二 f (P), f(x)min y=f(x)在p,q上为单调递增函数,故 f (q)； y = f(x)在p, q上为单调递减函数,故 f(X)min f(X)max f (q)； y = f(x)在p,q上最值情况是: 2 4ac - b f (5) = 52 - 2 5 - 4 = 11 ym. =1 =1 . 故所求的函数值域是1, 1, + + . 以上例子说明，函数定义域是何等的重要，若能注意自变量隐含的取值范围，缜密地检 查解题过程，考虑到换元之后要限定引入变量 t t 的取值范围，就可以避免以上错误结果的产 生。

8、也就是说，学生若能在解答题目后， 检验已经得到的结果， 善于找出和改正自己的错误， 便体现出良好的思维批判性。 四、 定义域对函数单调性的影响 函数单调性是指函数在给定的定义域上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，所 以讨论函数单调性必须在给定的定义域上进行，求函数的单调区间必须在函数定义域内讨 论。 例 4 4 :指出函数f（X）= X2 2x的单调区间. 解：先求定义域： X2 2x _ 0 , x _0或x 乞-2 , 函数定义域为（-：，-2U0,=）. 令u = x 2x ,知在 （- ：,-1上时，u u 为减函数；在x -1, ：）时，u u 为增函数。 又- f （u、.u

9、 在0,=）是增函数， 二函数f（x）二x2 2x在（-二，-2上是减函数，在0,=）上是增函数。 即函数f（x） =、x 2x的单调递增区间0,7），单调递减区间是（-：，-2。 如果在解题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，错误的得到单调递 增区间为-1,二：）,单调递减区间为（-：，-1就说明学生对函数单调性的概念一知半解， 在 解题时机械地对题型、套公式，而没有领会问题的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。 五、 函数的奇偶性与定义域 由函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性应先考虑该函数的定义域是否关于坐标原点成 中心对称，如果定义域关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性

10、。否则再根据奇偶性 定义进一步加以判断。 例 5 5:判断函数y = x3, x -1,3的奇偶性. 解： 2 -1,3,而- 2 -1,3, 函数定义域1,31,3关于坐标原点不对称 函数y = x3,x -1,3是非奇非偶函数. 如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论： f（-x） =（-x） -x -f （x）, 函数y = x3,x -1,3是奇函数. 错误剖析：因为以上解法没有判断该函数的定义域是否关于原点成中心对称，机械套用 函数奇偶性定义造成的，这是学生极易忽视的步骤，也是造成错误结论的原因。 综上所述，在求解函数关系式、最值 （值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思 维过程，观察函数定义域有无改变（指对定义域为 R R 来说），对解题结果有无影响，