第七章：收益率曲线动力学

1、第七章 收益率曲线动力学在本书的第六章中，我们详细介绍了期限结构的参数模型和收益率曲线的拟合方法。在已经知道债券市场的全部品种 （假设这些品种是同质的）在某一时点的横截面数据时，我们就可以通过特定的方法得出市场的收益率曲线数据和形态。原则上来说，如果市场是有效的，那么同期限的债券品种长期来看不应存在套利空间（注 * ：注意，我们在这里对债券市场有效的假设并不包括对收益率曲线形态的任何假设） 。 也就是说，个别品种与收益率曲线间的定价偏差应是完全由随机因素引起的。在这种情况下，我们的债券投资组合所面临的最大风险就是市场风险，即收益率曲线本身的动态变化所带来的风险。事实上，债券市场的效率通常是非常

2、高的，即使是在中国债券市场这样的新兴市场上，投资者所面临的最大风险也是来自利率的波动。通常情况下，大型的债券投资组合是分散在整个期限结构上的。对于组合的管理者来说，需要时时了解到收益率曲线的信息，以调整组合和投资策略，来满足收益性和避险的要求。但是，我们即便是已经可以准确、即时地获得市场的期限结构，也并不能保证投资组合的安全性。因为传统的利率风险管理通常是通过对久期的管理，而这种方法的局限性在于它假设收益率曲线仅仅是平行移动的。现实中的收益率曲线是随时在发生着各种形态变化的，单纯对横截面数据进行研究是不够的，我们还必须了解收益率曲线的形态变化，导致其形态变化的原因，以及整条曲线上的不同点对于这

3、些原因的敏感程度。这样，就要求我们的研究重点从“静态方法”转向“动态方法”，对于收益率来说，即是由对其横截面数据的研究转向时间序列数据的研究。从某种意义上讲，在整个前面一章的内容，都是为了准确地“获取数据”提供技术上的支持。而本章开始，我们才开始正式研究这些数据。当代数量金融学的对时间序列数据的研究方法已经非常完善。然而， 对于收益率曲线来说，我们所观测到的是一条连续的曲线的时间序列变化，它包含了许多具体的期限点的点利率（注 *：这里的点利率并不是即期利率的英文名称（Spot Rate）相对应，请读者不要混淆）的运动。在考虑债券投资组合面对的利率风险时，我们必须将每一个期限点的点利率看作投资组

4、合的一个风险因子。这就造成了一个实际的困难：即使我们只考虑有限多（离散的）的点利率， 它们的动态变化也是处在一个高维的向量空间中，通常的如单位根或协整检验之类的方法在这样的条件下显得繁琐而缺乏效率。考察收益率曲线的变化及其成因，需要借鉴于一些新近被引入数理金融学中研究方法，如主成因分析（ PrincipleComponent Analysis ） ，这种方法在处理多维变量时具有很多优点，但目前国内的研究中对它的应用还非常不足，我们将在本章中对此方法详细介绍。在数理模型之外，经济学家们也提供了一些“更宏观”的模型来解释收益率曲线，这些理论虽然已经广为人知，但在近年来它们也得到了新的分析方法和数据

5、的证实。我们在本章中提供的内容从体系角度上看是比较松散的，但对收益率曲线的形态、变化及其成因的理论和研究方法则是本章的主要线索，而将收益率曲线的变化看作一个动力学问题，对我们的研究也有所帮助。基于这些原因，我们将本章的题目概括为收益率曲线动力学。但这并不表明我们要以研究物理系统的方法来纯粹地对待利率期限结构（虽然研究方法的确有所借鉴）。7-1朴素的收益率曲线变化分解收益率曲线的基本形态对收益率曲线来说，最直观的研究方法就是观察它的图形。我们经常听到利率水平“向上”或“向下”的说法， 这样的说法所描述的是不同期限的点利率同时按同等变动幅度变化。我们已经知道的是，不同期限的利率变化是并不一定是完全

6、一致的，它们甚至可以朝相反的方向变化，这就形成了各式各样的收益率曲线形态。收益率曲线的形态和变化往往同宏观经济环境有关, 经济的相关关系。我们可以就美国的收益率曲线近二十年的变化过程看看其同图7-1:美国国债收益率曲线（1984# 12月）一般而言，短期债券的收益率较低，因为投资人的资金的风险相对较小。将资金投入到30年的债券毕竟要承受今后三十年的众多变化。因此投资三十年的债券一般情况下要有更高的收益率才能吸引投资人。所以正常的收益率曲线应随期限的增加而缓慢平滑上升。 但是在有些时候，收益率曲线会变型为一些其他形状， 这些特殊的形状 往往反映的是一个经济的关键转折点。当这些形状出现时，就要重新

7、对经济宏观走势进行判断。因为很难通过文字来表述清楚这些形态的具体特征，研究人员对收益率曲线的形状大体上进行了总结和分类。通常，收益率曲线的基本形态可以被分为四种：正常型，陡峭型，倒挂型，和平坦型。让我们来看看这些形态的收 益率曲线在美国出现的历史时期和当时经济形势的关系。1、正常收益率曲线（图7-1）13.00%12.00%11.00%10.00%9.00%8.00%7.00%90 DAY YEAR 3 YR10YR20YR 30YR当美国经济较为正常地增长，低通货膨胀，且资金面变化不大时，收益率曲线属于正常，缓慢平滑向上。在没有大的经济波动的情况下，承担较长到期期限的投资人获得较高的投资收益

8、率，因而有这样的曲线。1984年12月是美国战后最长的经济扩张期。GDP成长在2%到5%之间。而随后两年的美国股市也在其后两年有强劲增长。这种曲线形状往往在经济扩张和股市增长的中期，市场普遍性的谨慎乐观。2、陡峭型收益率曲线 （图7-2）此种形状中三十年国债同三个月短期国债的利差超过3% ,短期和长期利率有非常陡峭的增长，这表明长期债券投资人认为经济在未来将加速增长。这种形状一般出现在经济膨胀期的初期，紧跟在经济畏缩之后。此时前期经济呆滞而导致短期利率低水平的状况依然存在，但是一旦经济活动对资本需求开始形成后，利率将开始升高。长期债券投资人担心被锁定在利率，立刻会要求更高的长期收益率回报。而短

9、期资金的贷方会面对较小的利率风险，因为他们只须在借贷到期后投资到更高的收益率品种上。1992年四月，长短期收益率相差 5%,表明投资人预期强劲的经济增长，导致长期债券收益率拔高。事实确实如 此。GDP在1993增长3%。而到了 1994年十月，短期利率已上升 2%,使得长短期的息差得以缓解，收益率曲 线也趋于正常。3、倒挂型收益率曲线（图7-3）倒挂型有点不可思议。为什么债券投资人愿意持有比更短到期日债券为低的长期债券呢？其中的答案可以这样解释。长期债券持有人如果认为今后长期利率水平比现在更低的话，那他会接受这种形状。他们更愿意锁定长期债券的当前收益率水平。这个形状发生在1981年八月。这一年

10、的早些时候，美联储主席在预计经济放缓后，开始调低联邦资金利率，债券投资人意识到这是他们锁定今后几年10%收益率的最后机会，于是大量购入长期国债,从而压低了收益率曲线的远端。这个集体的市场智慧再次得到验证。GDP的增长十分糟糕。随着经济的倒退短期利率大幅下降。三十年债券的收益率从14%降到7%,短期利率则从 15%开始，逐步降到 5-6%。而第二年的股市也损失惨重。虽然倒挂型出 现情况较少，但也不可忽略。出现这种情况，经济的衰退或经济危机也将接踵而至，而整个利息水平将跌至低位。4、平坦型或驼背型收益率曲线（图7-4）要从正常或陡峭过渡到倒挂型，收益率曲线必须经过一个平台型区域，或许中间区域也带有

11、一点驼峰。但反之不尽然，即平坦型并不总转化为倒挂型。市场总是有其不可预测性。但是一个平坦的收益率曲线经常会伴随经济滑坡，在经历过一段平坦曲线后，利率水平往往也会降低。1989年就是这样的情形。三十年债券的收益率小于三年的。这个现象持续了大约五个月。随后曲线扁平化，再后来才在1990初变得较为正常。这并不是错误报警、因为从GDP可以看出经济在六月份下滑，并在 1991年陷入经济衰退。而月票市场也在1990年中期大幅跌落。短期与中期收益率下降了四个百分点。收益率曲线形态变化的基本类型在四种基础的收益率曲线形态下，让我们继续来研究收益率曲线通常发生的形态变化。从历史的数据和理论研究都可以发现，收益率

12、曲线形态的变化明显地受到宏观经济因素的影响，而其中最主要的影响是我们熟悉的“经济周期”导致的收益率曲线变化。举个例子来说，在经济形势刚刚走出低谷的时期，企业盈利开始增加，快速成长的动力要求更多的劳动力和生产资料，这将会加速物价和工资水平的上涨；另一方面，对资本的需求将会增加，而资本的来源则主要是国民储蓄转化为投资，膨胀的投资需求将导致利率水平的上升，所有的这些因素将使整个收益率曲线向上方移动。这一时刻，人们感受到的是“利率水平的上升”。但我们需要注意的是，此时的利率上升并不一定体现为收益率曲线上每一点的同步同幅上升，即所谓的“平行移动”实际上，我们也可以将收益率曲线的形态变化划分为几个基本的类

13、型，因为这种归类相对直观而简单，并且主要注重直接观差图形的变化而不涉及更复杂的数据和模型的研究，因此我们把这种分类方法成为朴素的收益率曲线变化分解。虽然这种归类法相对简单， 但我们在后面的内容中会发现， 这种朴素归类方法的科学性在很大程度上 会得到更先进的研究方法的证实。基本上，我们可以把收益率曲线的变化分为三种类型：平行移动，旋转扭动和蝴蝶形移动。请注意，这三种变化 有时候不是单独出现的，收益率曲线形态变化经常同时包含两种或三种变化类型。1、平行移动（图7-5）4.00%3.50%3.00%2.50%2.00%1.50%请读者回忆本书曾经介绍过的久期和凸度的概念，当时我们指出，以久期和凸度分

14、析方法只有在收益率曲线平行移动的条件下才是有效的。我们看到，图7-5是平行移动的收益率曲线变化的一个例子。所谓平行移动，就是收益率曲线上每一点利率水平都在同一期间内发生了完全相同的变化。例如图7-5所示，若5年即期利率由1.88%上升至2.18%,则20年即期利率则由 3.24%上升至3.54%,同样也是上升了 30个基点。收益率曲线的平行移动是最常见的移动方式。当然，“绝对平行”的移动通常是不会出现的，但我们经常可以看到“大致平行”的收益率曲线移动方式。 如图7-6,中国交易所市场国债即期利率曲线在 2002年初和年底的收益 率曲线就几乎是平行的（ 注*:当然，2002年内的交易所市场收益率

15、曲线还出现了其他形式的变化，在图7-6种我们只考察年初和年底的变化状况），不过长期债的收益率下降幅度要稍大一些。这样的观察结果似乎提供给久期和凸度分析方法一些实证上的支持。有时候，债券研究人员往往会不自觉地假设收益率曲线只发生平行移动。如果把经济因素对收益率曲线的影响看待的比较简单和直接，我们也可以从直观上接受这一观点，即收益率曲线在大多数情况下都是平行移动的。可是实际上，我们所讲“平行移动是最常见的移 动方式”，是指大多数观察到的收益率曲线形态变化都“包含”平行移动，即通常各个期限的点利率的变动方向 是相同的，但其个别的变动幅度却往往不完全一致。4.05%3.55%3.05%2.55%2.0

16、5%1.55%2、（图 7-7）3.90%3.40%2.90%2.40%1.90%1.40%051015202530扭动的收益率曲线也可以被视为“旋转”的收益率曲线。如图 7-7所示，收益率曲线的近端和远端的变化方向是相反的，即收益率曲线的斜率发生了变化，然而收益率曲线的弯曲程度几乎没有发生变化。当然，这里的“方向相反”指剔除了平行移动变化之后的“相反”，收益率曲线斜率的变化当然也可能发生近端和远端变化方向一致的情况下。我们可以把收益率曲线的扭动归为两种类型：陡峭化和平坦化。导致收益率曲线发生陡峭化或者平坦化的原因可以有许多种。如前所述，收益率曲线的形态扭动大多数是受到宏观经济因素的影响。与许

17、多“滞后的”经济指标 不同的是，收益率曲线的扭动往往和宏观经济趋势的变化是同时发生的。当经济刚刚走出低谷， 特别是在通货紧缩结束的，物价水平开始表现出微弱的上涨趋势时，收益率曲线往往迅速发生明显的陡峭化变化。 这是因为长期固息债券的持有者对远期利率水平上升出现了较为一致的预期，为了规避利率风险，他们在第一时间抛出手中的长期品种，使收益率曲线的远端迅速上移。而短期品种面临的利率风险相对较小，因此抛盘也往往较少， 这使得收益率曲线的近端向上移动的幅度也就较小，整个收益率曲线明显呈现出O在很多情况下，收益率曲线的陡峭化也就意味着债券市场的陡峭化趋势（当然，也会伴随着向上的平行移动） 长期牛市结束。有

18、趣的是，实证研究发现在收益率曲线的平坦化变化却往往略慢于实际的宏观经济表现。直觉的观点告诉我们，投资人在证券市场熊市的末期往往表现得犹豫不决，但在判断牛市结束时却总是迅速地抛售风险品种，这也许可以有助于解释上述现象。3、蝴蝶型扭动（图7-8）3.90%3.40%2.90%2.40%1.90%1.40%蝴蝶型扭动的收益率曲线如图7-8所示。在整条收益率曲线的中段并不发生很大的变化，而收益率曲线的近端和远端则出现明显的同方向大幅度变化。随着时间的流逝我们观察这种变化，会发现整条收益率曲线像蝴蝶扇动着翅膀，因此我们称收益率曲线的这种形态变化为蝴蝶型扭动。蝴蝶型扭动通常体现为收益率曲线的弯曲程度的变化

19、，而我们上面所介绍的平行移动和旋转扭动变化中，收益率曲线的弯曲程度是不变的。 收益率曲线弯曲程度的变化往往并没有很明确的经济解释。由于成熟市场上的中期债券（7-10年期）品种一般数量最多，并且此段的收益率曲线水平是市场当前利率水平的最集中反映，因此收益率曲线的中段通常是最稳定的。而相对来说，收益率曲线的近端和远端则波动性往往大于中段（注*：在本书后面将要介绍的波动性期限结构和“波动率微笑”效应的部分，我们还将从实证上来证实这一现象），因此，收益率曲线的蝴蝶型扭动是经常可以被观察到的。不过，图7-8中的收益率曲线仅仅描述了一个不存在拐点（二阶导数为0）的收益率曲线的蝴蝶型扭动，对于存在一个或更多

20、拐点的收益率曲线来说， 蝴蝶型扭动的样式可能就更为复杂。 当然，我们也可以把这样的收益率曲 线以其拐点位置划分为几小段，然后具体分析每一段中的蝴蝶型扭动情况基本上，“平行移动”、“旋转扭动”和“蝴蝶型扭动”可以概括所有可能的收益率曲线形态变化，这三种变化方式分别表现了收益率曲线绝对水平的变化、斜率的变化和弯曲程度的变化。 研究人员可以对现实中收益率曲线在一段时间内的变化进行考察，并且从直观上将其变化分解为以上三种形态变化的组合。7-2 主成因分析法：原理与应用我们在上一节已经详细地介绍了“朴素”的收益率曲线变化分解方法。将收益率曲线变化归纳为基本的三种形态，这样的方法看似简单实用，但其理论基础

21、似乎颇值得怀疑。在金融学的研究领域里，直觉得出的结果和理论推导相悖的事情时有发生。此外，我们也的确需要一种定量化的方法来帮助我们了解收益率曲线的变化成因。这就需要我们引入一种方法，可以对构成收益率曲线的一组变量（不同期限的点利率）进行整体性的研究。通常情况下，如果这些点利率都是不相关的，那么我们可以将它们作为单变量来逐个进行处理。对它们的研究也可以借助一些成熟的时间序列分析方法。这样的方法在学术研究中也许还是具有一定价值的，但现实中的收益率曲线显然必须被作为一个整体来考虑，而点利率之间也显然具有相关关系。这时候，如果我们试图去用传统方法来研究整条收益率曲线，则必须在高维的向量空间中进行数据处理

22、，这当然是非常麻烦的。为了克服这些困难， 很自然地，我们会考虑到用降低维数的方法，以初始数据中的多个点利率变量来构造数目较少的一些新的、相互独立的综合变量， 使这些综合变量能够尽可能完整地反映初始数据的统计特征。这就是主成因分析法（Principal Components Analysis）的基本思想。在统计学中，主成因分析法早已经是一种成熟的分析方法，而金融学领域中对它的应用还是近些年的事。尽管如此，主成因分析法的流行却是非常迅速的。在固定收益工具的研究领域，收益率曲线的变动因素（也可以说，其风险因子）的构成相对比较复杂，而以久期来度量债券组合风险的方法隐含了收益率曲线的平行移动假设，而我们

23、已经知道，收益率曲线的形态变化是复杂的，平行移动远远不能概括全部的可能情况。当研究人员通过主成因分析法得出了经济意义显著，更加全面却相对容易处理的收益率曲线风险因子时，这类方法的流行也就是必然的事情了。主成因分析的基本原理我们已经知道，收益率曲线的变动可以考虑为n个关键点利率的变化，例如 1个月，3个月，6个月，1年，2年直至30年的30多个点利率（我们计为SiSn）。我们把这些点利率作为 n个存在相关关系的变量来考虑。为了将复杂的问题（同时处理30多个变量）转化成为一个简单的问题，我们希望以这n个相关变量的初始数据，来构造一组新的 m个（mwn）独立的综合变量 PC。对于一组参数pi, P2

24、,，Pn,我们将综合变量 PC作为初始变量S的一个线性组合，即PC =PiS1 +p2s2 +P3s3 +=PTS（7-1）其中，P=（P1,P2,Pn）, S=（Si,S2,，Sn）。对于自由参数向量 p,我们要求其应使综合变量PC满足下列条件：1、综合变量PC的方差最大；2、在n维空间中的n个点Si Sn到超平面PC的距离之和最小；3、以式7-1的形式进行多元线性回归，参数向量p是这个多元线性回归的最优估计量；4、综合变量PC与变量S1 Sn的相关系数平方和最大。可以证明，上述条件 1 3是变量S1Sn的方差-协方差矩阵求特征值问题，而条件 4是变量S1Sn的相关系 数矩阵求特征值问题。我

25、们知道，对于实对称矩阵 2,可以将其分解为，10 . 0 1T 0. . 丁E=X,M =X，X（7-2）". . . 了 . 0K其中，对角矩阵 A中的入1,入2,，入n为实对称矩阵2的特征值，而 X为一个正交矩阵，其列向量为对应 于特征值 入i的特征向量（注*:对于NXN阶实对称矩阵来说，其必然有 N个实特征根（但不一定都是不同的）和 N个正交的 特征向量Ci, C2,，Cn。即对于任意的i，j,有CiTCj=0。但若矩阵非对称，则上述结论不一定为真）。也就是我们所需要的参数向量（Pi, P2,，Pn）,由于特征向量间是相互正交（即相互独立的），而且我们知道，对于某一特征值入i,

26、我们据（7-2 ）,有Pi ,2.Pnhi 1Pi,2Rn(7-3)实际上，我们解（7-2）所得到的特征向量矩阵（正交矩阵X）就是n个相互独立的参数向量组成的矩阵，即Pi,i P2,iPi,2.X =.Pi,n .Pn,1 1Pn,2.Pn,n j(7-4)通常，我们构造协方差矩阵 2时，基础数据选取的是初始变量SiSn的增量A SiASn。因此，这里的综合变量PC是变量ASi A Sn的线性组合（注*:在应用主成因分析法时，我们实际上是要考察整条收益率曲线的变化情况，因此对于收益率曲线上 n个点利率来说，我们选取其变化的增量作为初始数据）。由于解（7-2）得出的是n组正交向量，也就是说，满足

27、前面 4个条件，且包含所有初始变量信息的新的综合变量PC有n个，可以写作：PG 1P,iPi,2.Pi,n -但1PC2.=XT.P2,i.P2,n .*加2.PCn 一g 11Pn,i.Pn,n _络一也就是 pCi =Pi，i, Pi,2-S2 - Pi,n '."Sn(7-5)(7-6)其中，综合变量 PCi, PC2,，PCn称为协方差矩阵2的n个主成份（PrinciPal ComPonent）。特别是，对应 最大的特征值 入的特征向量Pi,被称为第一主成份（First PrinciPal ComPonent）,而次大的入2对应的特征向量 P2。被称为第二主成分。依次

28、类推，我们可以得出 n个主成分。注意一点，由于特征向量之间都是彼此相互正交 的，因此它们的线性组合，即 n个主成份彼此间都是相互独立的。而且我们知道，因为特征向量矩阵X是一个正交矩阵，我们也可以将（7-5）写作一平一Rip2,i.Mi 1一PCil毋2=pi,2.pn,2*PC2.*1.pi,n.pi,ni.PCn-(7-7)式（7-7）和式（7-5）具有不同的经济意义，前者实际上将每一个点利率写作n个主成份的线性组合，因此。例如，第一主成份每变化1单位，则对应的点利率 Si变化pi,i单位，依次类推，我们可以得出每一主成份的变化对 每一个点利率S变化的边际影响。这个边际影响如被称为每一主成份

29、对应于每一个变量Sj的因子载荷（FactorLoading）。还有一点，由特征向量的性质我们可以知道，对于每一主成份来说，它所对应的全部因子载荷nn(7-8).二 pi,j2 =" pi,j2 =1i 1j 1（注* :也就是特征向量矩阵 X的任意一行（列）元素的平方和等于1）特征值的经济意义在主成因分析法的应用中，我们可以选取的研究对象通常有两种选择，即选取点利率增量A SiASn （点利率的时间序列数据差分后取得）的协方差矩阵或是相关系数矩阵。一般情况下，选取这两种矩阵的计算结果是比较接近的，但如果我们选取的是点利率的协方差矩阵2作为，则条件4还不能保证被满足。在有些应用中，研究

30、人员回将数据标准化，将变量 A &ASn的标准化为均值为0,方差为1的标准化数据，这样得出的协方差矩阵 和相关系数据是相同的。但实际应用中，我们并不建议采取这样的做法。上述的这种方法在一些初始数据变量单位不一致的问题中经常被用到。但收益率曲线上的数据不存在单位的问题，而且数据的标准化则需要对变量A SiASn的分布状况进行假设，这也是我们所不希望的。事实上，条件 i、2、3就可以满足主成因分析所需要的假设，因此通常我们选取 的是点利率增量的协方差矩阵 2来进行研究，而不考虑相关系数矩阵，或者将其放在一个稍次要的位置上。选取协方差矩阵2的另一个好处在于，它赋予了特征值以明确的经济意义。由

31、（7-2）我们已经知道，矩阵 2可以被分解为E=XAXT,而X是正交矩阵，也就是说有 A=XT1X（7-9）而对于X中的任一列，即2的任一特征向量，我们记作Ck gPk-Pk”,pk,n T ,关于对角矩阵A中相应的特征值入k,有K =CkT1Ck（7-i0）而我们知道，主成份 PCk是变量A Sias的线性组合，且参数对应相应的特征向量PCi =C 运=R,i 劣 +pi,2 0 +pi,n，生n（7-ii）那么，主成份PCk的方差为nnVar(PCk) =£ Pk； Var (酸)+ Z Pk,i，Pk,j Cov(酸,屿)(7-12)i ±i 1,j 1而如果矩阵2是

32、变量ASA Sn的方差-协方差矩阵，即Var(.S)Cov(.S,.S).Cov(.Sn,S)Cov(曲心) Var3).(7-13) 一 .CovgASn):Cov(曲，烙).Cov(ASn,瑾)Var(焰)_我们由(7-10), (7-12)和(7-13),显然有兀=Var(PCk)(7-14)即特定的主成份的方差就是相应的特征值。知道了主成份的方差，由一个重要的好处，就是我们可以由相应的因子载荷，求出点利率变化对于主成份变动的敏感度，这个敏感度是基于主成份的“多少标准差变动"，这样，我们可以避免抽象地讲“一个主成份”变动是多少，而是去考虑“一个标准差的主成份”变动会带来多少影响

33、。而以主成因分析法来研究债券投资组合的风险状况也需要借助以上的方法，关于这个问题，本书的第14章将会有详细的介绍。主成份贡献率我们知道，对于一个 NXN阶实对称矩阵2 （N个初始变量的协方差矩阵）来说，必然可以取得N个线性无关的特征向量，而每一个特征向量都可以组成一个主成份，也就是说，N个相关的初始变量被解释成了N个独立的综合变量。表面上看，似乎并没有降低问题的维数。实际上，每一个主成份对于初始变量的解释能力（或者说 影响力）是不同的，我们事实上可以忽略掉解释能力较弱的，也就是方差较小的主成份。由特征值的性质可以知道，实对称矩阵的特征值， 也就是主成份的方差 入1,入2,，入n为，与变量量A&

34、amp;A Sn的方差之间有如下关系：工 +% +% =Var（弊）-+Var（iS2） +Var（*n）（7-15）即所有主成份的方差之和等于所有初始变量的方差之和。而式（7-15）的经济意义在于，主成份实际上包含了所有点利率变化的信息，而方差越大的主成份，包含的信息就越多，因此我们称nP = %/ E A（7-16）j 土为第i个主成份的贡献率或解释能力，它反映了第i个主成份包含了多少所有初始变量的信息。显然有ZPi=1o通常，我们在对角矩阵 A中是将特征值从大至小沿对角线排列的，因此我们又称KnPK =、i / .一 , j i也 j七为前K个主成份的累计贡献率或累计解释能力，它反映了最

35、重要的前K个主成份对所有初始变量的信息的反映程度。通常情况下，前两个或前三个主成份就可以反映绝大多数信息（通常在95%）以上。这样，在实际应用中我们只需要考虑最重要的 2 3个主成份的变动及其影响即可。此外，我们还可以进一步考虑某一个主成份PCk与某一特定点利率变动 A S的相关系数。我们前面已经介绍了因子载荷的意义。实际上，主成份与变量间的相关系数也是一种因子负荷量。我们如果选取相关系数矩阵或标准化后的数据矩阵作为主成份分析的基础，因子负荷量记为FL(PCKd§),有FL(PCk,曲)=仄 Pi,K(7-17)上式中的Pi,K为第K个特征值入对应的特征向量的第i个分量，也就是我们前

36、面一小节中所说的第K个主成份变动一单位引起的 A S的变动量。7-3 主成因分析法：实证研究与经济意义以及相关的一些结论，让我们来看一个例子。如表7-1和表7-2（点利率周变动量的方差-协方差矩阵）的主成份、特征值（主美国国债收益率曲线的主成因分析为了介绍主成因分析法在应用领域中的实用效果， 所示，它们分别为美国国债即期利率曲线历史变动 成份方差）、主成份标准差和主成份解释能力。请读者注意一点：由于我们的原始数据直接以1基点（1 Basis Point）作为基本单位，因此，在计算特征值（方差）和主成份标准差时，为了表示上的清楚，我们也将数据单位表示为1 BP。表7-2美国收益率曲线主成份特征值

37、、标准差和贡献率表7-1 美国收益率曲线主成份3 Months0.28459-0.54194-0.64812-0.36873-0.23151-0.030560.0627030.104066 Months0.36283-0.409420.0619410.452120.462710.526030.0263530.0313481 YR0.3868-0.258690.206630.1895-0.04859-0.56447-0.36598-0.499933 YR0.39335-0.057260.40414-0.03054-0.03045-0.366820.363830.640225 YR0.393640

38、.157380.26814-0.2484-0.378080.371140.43775-0.4629810 YR0.36750.251580.13152-0.37213-0.024540.28805-0.703490.259620 YR0.320850.45616-0.431530.59682-0.36107-0.01757-0.014010.1252630 YR0.300130.41513-0.30769-0.25770.6746-0.219420.20575-0.17589特征值(BPs)1314.777.85912.6836.51435.28872.64432.35262.1623标准差(

39、BPs)36.268.823.562.552.301.631.531.47贝献率92.31%5.47%0.89%0.46%0.37%0.19%0.17%0.15%首先，我们可以发现贡献率最高，也就是方差最大的的第一和第二个主成份解释了92.311% + 5.467% = 97.778%的收益率曲线变动状况，而如果再考虑上第三个主成份，则前三个主成份就可以解释98.669%的收益率曲线变动。可以说，这样的解释能力已经足够了，我们可以忽略后面5个影响力微弱的主成份。我们继续来考察主成份对特定点利率的边际影响（因子载荷），由Pi,i = 0.28459 ,我们可知，第一主成份每变动一个单位，则相应地，3个月即期利率将变动 0.28459单位。但这样的结果显然让人感到迷惑，因为我们并不能准确地度量抽象的“一单位”到底是多少，而且我们也不知道 主成份变化“一单位”的概率。因此，有必要将主成份中具体的因子载荷明确定义，以使我们的主成因分析具有 明确的经济意义。事实上，我们由上一节的内容已经知道，某一点利率对相应主成份的具体得因子负荷量是主成份变动的标准差乘以相应的边际影响，由此，我们也