将军饮马问题——初中数学经典专题

1、第一讲将军饮马问题¥门_学习要点与方法点拨一'主要内容（1）将军饮马问题的概念。<2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。（3）将军饮马问题与勾股定理。二、本章重点 掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、 几何图形和勾股定理等的综合习题。事课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质：勾股定理的性质：三角形、矩形、正方形的性质：三角 形的三边关系、平移的性质。模块精讲一、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程 前来向海伦求教一个百思不得其解的问

2、题：如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边， 让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B 点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？ 思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。例

3、1,如图，一匹马从S点出发，先去河0P边喝水，再去草地0Q吃草，然后再回到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短？例1图例2图二、将军饮马与坐标系例2,已知A(2, 3)、B(3,2), M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的 最小值，并求出此时M、N的坐标。思路：作对称两段折线一作一次对称一转化折线三段折线一作两次对称一转化折线连线段一最小值例3,已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(O,m)、N(0,m+1),求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的 m的值。运用平移的性质例4,已知A(4,1)、B(-3, -2),试在x轴上找一点C,是|AC-BC|最

4、大，求出点C的坐标和这个 最大值。构造三角形，运用三角形的边长关系三、将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定 点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1 .怎么对称，作谁的对称？简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的.(不确 定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是 一个点。那么是哪一条线? 一般而言都是动点所在直线。2 .对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对

5、不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一 个定点。3 .所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点,实际就是我们所画直线和已知直线的交 点C4,将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓 展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！ 或者说边长和角度的对称才是最关键。2R第一讲吴老师FOREST四、将军饮马与勾股定理例5,如图，将军的军营在A处，与河岸的距离0A=4km,将军的家在B处。且QA=7km, QB=8km, 他下班回家的路上先把马牵到小

6、河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。0 小河A-q! B 例5图例6,如图，ZP0Q = 20° , A为0Q上的点, 在0Q上取点A2,求AA A也+ A?B的最小值。例 7, ZA0B = 45° , P 是 NA0B 内一点，P(例6图 0A A：QB为0P上的点，且0A=1, 0B=2,在0B上取点A,) = 10, Q、R分别是0A、0B上的动点，束ZiPOR周P长的最小值。五、三角形、正方形中的将军饮马例8,如图，在等边aABC中，AB=6,求EM+EC的最小值oBDC例8图例9,如图，在锐,角ABC中，AB二42AD±BC, E是

7、AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2,ANEB例9图ZBAC=45° , NBAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。例10,如图，正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2, 最小值为O/ 也 日；BC BQCN是AC上的一动点，DN+MN的例11图例10图9K第一讲吴老师FOREST例11,接 PB、 PQ,在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连则PBQ周长的最小值为cm例12, 一次函数厂kx + b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0) , B (0, 4). (1)求

8、该函数的解析式；(2) 0为坐标原点,设0A、AB的中点分别为C、D,P为0B上一动点，求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.例13,如图，在坐标系xOy中，有一条河， 河岸分别为x轴和直线MN,直线MN与y轴的P 交点为A(0,2), P、Q两地位于河的两岸，且 P (0, 5) > Q(5,-1)o现在需要在河上架一座桥， (桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q两地，求M 桥的端点B、C的坐标，使得从P地到Q地的 路程最短。将军饮马的四则类型:总结：将军饮马问题二轴对称问题二最短距离问题(轴对称是工具，最短距离是题眼)o所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最

9、短距离是题眼，也就意味着 归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出 现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。?学习效果能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径 问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的 异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑 推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思 想.课后巩固习AC+BC 的1,已知A(-1,4), B(1,1),在x轴上找一

10、点C,使AC+BC最小。则C点的坐标是 最小值是2,已知A(7,3), B(-3,1), M是x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当AN+NM+MB最小时，M的坐标 是, N的坐标是.3,已知 A(-4,4), B(-1,-3), M (0, m), N(0, m+1),当 BM+MN+AN 最小时，点 M 的坐标是,最 小值是 O4,已知A(-4,5), B(2,-2),在x轴上找一点C,则当| AC-BC|最大时，点C的坐标是,最大 值是 o5,如图，点A,B位于直线1的同侧，到直线1的距离AC = 10, BD = 30,且CD=30,在直线1上找到一点M,是AM+BM最短，则最短距离是

11、o题5图题6图6,如图，ZA0B = 45°，点P在NA0B内，且0P=3,点M, N分别为射线0A, 0B上的动点，则PMN 的周长的最小值为 O7,如图，ZA0B = 40°，点 P, Q 都在 NA0B 内，ZA0P = ZB0Q = 10° ,且 0P = 0Q = 6,作点 P 关于0A的对称点P- 作点Q关于0B的对称点Q1 ,则P1Q1 = o8,如图，ZAOB = 60°，点 P, Q 都在 NAOB 内，ZAOP = ZBOQ = 15° ,且 OP = 8, OQ = 60 在射 线OA、OB上分别存在点M, N,是PM+MN+NQ的值最小，则最小值是9,如图，ZABC中，AB=2, NBAC=30° ,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，则这个 最小值是多少？题9图例10图10,如图所示，正方形ABCD的面积为12, ZABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为 o11,如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cmt NABC=45° , E为边BC上的一个动点，P为BD上的 一个动点，求PC+PE的最小值.12,如图，在锐角4ABC中，AB = 4, ZBAC =