2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)学案新人教B版必修5

1、 1. 1.1 正弦定理（一） 【学习目标】1.掌握正弦定理的内容及其证明方法 .2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解 决简单的解三角形问题. ET问题导学 - 知识点一正弦定理的推导 a b c 思考2在一般的 ABC中，+ s-= C还成立吗？课本是如何说明的? a b c 梳理 在任意 ABC中，都有 A= B= C证明方法除课本提供的方法外，还可借 sin A sin B sin C 助三角形面积公式，外接圆或向量来证明. 知识点二 正弦定理的呈现形式 .); bsin A csin A 2. a=矿B=矿C=2Rsin A； a 思考1 ,sin C= 如图，在Rt ABC中, 2

2、 3. sin A=石，sin B= 2R3 知识点三 解三角形 般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的 _ 已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做_ 题型探究 类型一定理证明 例1 在钝角 ABC中，证明正弦定理. 反思与感悟 （1）本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系， 充分挖掘这些联系可以使你理解 更深刻，记忆更牢固. a b 要证 = ,，只需证asin B= bsin A,而asin B, bsin A都对应CD初看是神来 sin A sin B 之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的 分析解题能力. 跟踪训练1 如图，锐角 ABC的外接圆0半径

3、为R,角A B、C所对的边分别为 a, c.求证: a sin A 2R b, 4 类型二 用正弦定理解三角形 例2 已知 ABC根据下列条件，解三角形： a= 20, A= 30, C= 455 a b b c sin A sin B，sin B sin C 每个等式涉及四个元素， 所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： 已知三角形的任意两角与一边； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角. 跟踪训练2 在厶ABC中，已知a= 18, B= 60, C= 75，求b的值. 类型三边角互化 命题角度1化简证明问题 例 3 在任意 ABC中，求证：a(

4、sin B sin C) + b(sin C sin A + c(sin 命题角度2运算求解问题 n 例4 在厶ABC中, A= , BO 3,求厶ABC勺周长的最大值. 3 a b c 反思与感悟利用-=齐二寸厂2R或正弦定理的变形公式a= ksin c = ksin qk0)能够使三角形边与角的关系相互转化. 反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式: a c sin A sin CA sin B) = 0. A, b= ksin B, 6 跟踪训练3 在厶ABC中，角A、B C的对边分别是 a、b、c,若A： B： C= 1 : 2 : 3,求a : b : c 的值. 当堂训练 1.

5、 在厶ABC中，一定成立的等式是( ) A. asin A= bsin B B. acos A= bcos B C. asin B= bsin A D. acos B= bcos A 2 .在 ABC中, sin A= sin C,则厶 ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3 .在 ABC中，已知 BC=&, sin C= 2sin A,则 AB= _ 4 .在 ABC中, a=, b=迈，B=-4，贝y A= _ . 厂规律与右法 - - ! a b c 1.定理的表示形式： = = =2R, sin A sin B sin C 或 a=

6、 ksin A, b= ksin B, c = ksin C( k0). 2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化： 一方面可以化边为角, 函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.转化为三角 7 a b c sin A sin B sin C. 连接BO并延长，交外接圆于点 A,连接A C,则圆周角/ A- / A 合案精析 问题导学 知识点一 思考1 a b c sin A sin B sin C c a b c 思考2在一般的厶ABC中, = = 仍然成立，课本采用边AB上的高CD bsin sin A sin B sin C A= asin B来证明.

7、 知识点二 b c 1. ABC外接圆的半径 sin B sin C b c 3 2R 2R 知识点三 元素解三角形 题型探究 类型一 例1 证明 如图，过C作 CDLAB垂足为D, 根据正弦函数的定义知: CD= sin / CAD- sin(180 A) = sin A, D是BA延长线上一点, CD =sin a B. CD bsin A= asin B. a b sin A sin B 同理, b _ c sin B- sin C. 跟踪训练1 证明 8 A B为直径，长度为2R BC a A CB= 90,. sin A= AB= 2R 类型 例 2 解 T A= 30 , C= 4

8、5 .B= 180(冊 C = 105, 由正弦定理得 as in B 20sin 105 b= sin A= sin 30 =40sin(45 + 60) =10( .6+ 2), asin C 20sin 45 sin A sin 30 .B= 105, b= 10( 6+ 2) , c = 20 2. 跟踪训练2 解 根据三角形内角和定理， A= 180 (B+ C = 180 (60 + 75 ) = 45 根据正弦定理， 类型三 命题角度1 例3 证明 由正弦定理，令 a= ksin 代b= ksin B, c= ksin C, k0.代入得 左边=k(sin Asin B sin

9、Asin C+ sin Bsin C sin Bsin A+ sin Csin A sin Csin B) =0 =右边， 所以等式成立. 命题角度2 例 4 解设 AB= c, BC= a, CA= b. 由正弦定理， 得A= B=矿C= =2 3. sinT b= 2 3sin B, c = 2J3sin C a + b+ c = 3 + 2寸3sin B+ 2)3sin C =3 + 2 3sin B+ 2 3sin i B/ sin a a A= 2R 即 2R =20 2, asin sin 18s in 60 sin 45 =9 6. 9 =3 + 33sin B+ 3cos B n 当B=m时， ABC勺周长有最大值9. 跟踪训练3 解/ A+ B+ C= n , A : B： C= 1 : 2 : 3, n ,、2 n 1. C 2.B 3.2 5 4. y或-y =3 + 2；/3si n B+ 1 cos B+ 2Sin B c = ksin C= k, a